Polare und Tangenten < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Do 29.01.2015 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Im [mm] $\IR^2$ [/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
$ [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1 $ und der Punkt [mm] p(\bruch{5}{7},\bruch{5}{7}) [/mm] gegeben.
Berechnen Sie die Gleichung der Polare von p bzgl. K.
Berechnen Sie die Gleichungen der Tangente von p an den Kreis K. |
Servus,
Als Übung hatte ich mal eine ähnliche Aufgabe nur bei dieser komme ich gerade nicht so richtig klar..
[mm] $x^2+y^2 [/mm] = 1 $, $ [mm] p(\bruch{5}{7},\bruch{5}{7}) [/mm] $
Mittelpunkt $ m = (0,0) $, radius $ r = 1 $
1) Lage von p bzgl Kreis:
$ [mm] (\bruch{5}{7})^2+(\bruch{5}{7})^2=1,02 [/mm] > 1 $
daraus folgt p liegt außerhalb des Kreises.
nun direkt dazu meine erste Frage... ich bin mir mit der 1,02 nicht sicher wenn man es abrundet ist es 1 und das ist nicht > 1? :S
Berechnung der Polaren von p:
$ [mm] (x_p-x_m)(x-x_m)+(y_p-y_m)(y-y_m) [/mm] $
dort bekomme ich [mm] $\bruch{5}{7}x$+$\bruch{5}{7}y$ [/mm] = 1
umgeformt: [mm] $y=\bruch{7}{5}-x$
[/mm]
ist es bis hierhin richtig?
Gleichsetzen von Polare und Kreis:
$ [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] = [mm] \bruch{7}{5}-x [/mm] $
nun wüsste ich nicht mehr weiter ... könnte mir einer helfen bitte..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Im [mm]\IR^2[/mm] seien der Kreis K mit der Gleichung
>
> [mm]x^2+y^2 = 1[/mm] und der Punkt [mm]p(\bruch{5}{7},\bruch{5}{7})[/mm]
> gegeben.
>
> Berechnen Sie die Gleichung der Polare von p bzgl. K.
> Berechnen Sie die Gleichungen der Tangente von p an den
> Kreis K.
> Servus,
>
> Als Übung hatte ich mal eine ähnliche Aufgabe nur bei
> dieser komme ich gerade nicht so richtig klar..
>
> [mm]x^2+y^2 = 1 [/mm], [mm]p(\bruch{5}{7},\bruch{5}{7})[/mm]
>
> Mittelpunkt [mm]m = (0,0) [/mm], radius [mm]r = 1[/mm]
>
> 1) Lage von p bzgl Kreis:
> [mm](\bruch{5}{7})^2+(\bruch{5}{7})^2=1,02 > 1[/mm]
>
> daraus folgt p liegt außerhalb des Kreises.
>
> nun direkt dazu meine erste Frage... ich bin mir mit der
> 1,02 nicht sicher wenn man es abrundet ist es 1 und das ist
> nicht > 1? :S
Mein Gott, immer die bekloppte Rechnerei mit Dezimalzahlen !
[mm] (\bruch{5}{7})^2+(\bruch{5}{7})^2= \bruch{50}{49}>1.
[/mm]
Klar ?
>
> Berechnung der Polaren von p:
>
> [mm](x_p-x_m)(x-x_m)+(y_p-y_m)(y-y_m)[/mm]
Du meinst sicher
[mm](x_p-x_m)(x-x_m)+(y_p-y_m)(y-y_m)=1[/mm]
>
> dort bekomme ich [mm]\bruch{5}{7}x[/mm]+[mm]\bruch{5}{7}y[/mm] = 1
O.K.
>
> umgeformt: [mm]y=\bruch{7}{5}-x[/mm]
>
> ist es bis hierhin richtig?
Ja.
>
> Gleichsetzen von Polare und Kreis:
>
> [mm]\wurzel{1-x^2} = \bruch{7}{5}-x[/mm]
Das ist so nicht ganz korrekt. Du suchst die Schnittpunkte von Kreis und Polare. Dazu musst Du [mm]y=\bruch{7}{5}-x[/mm] in die Gleichung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] einsetzen.
Du bekommst eine quadratische Gleichung für x (abc - Formel, pq-Formel ...)
FRED
>
> nun wüsste ich nicht mehr weiter ... könnte mir einer
> helfen bitte..
>
> LG
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Do 29.01.2015 | | Autor: | capri |
Danke...
habe nun die Gleichung: [mm] $x^2-x+\bruch{2}{5} [/mm] = 0 $
mit $p,q$ $ Formel $ habe ich eine Nullstelle bei [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] da der innere Wert der Wurzel im negativen Bereich ist..
so dann habe ich $ [mm] \bruch{7}{5}-\bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{23}{20}$
[/mm]
Tangente:
$ [mm] m_1 [/mm] = [mm] \bruch{y_p-y_1}{y_p-y_1} [/mm] $
auf meinem Zettel steht zwar diese Formel aber kann es sein, dass ich die falsch abgeschrieben habe?
wenn nicht, hätte ich [mm] $m_1 [/mm] = 1$
dann hätte ich insgesamt $t(x)=x+1$? :S stimmt das?
LG
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Hallo!
Guck dir deine Formel für die Steigung doch mal genau an. Fällt dir da nichts auf?
Und gesetz den Falls, daß du da tatsächlich was falsch abgeschrieben hast: Was genau ist denn die Steigung einer Graden? Also, wie ermittelst du sie, wenn du den Grafen einer Graden siehst? Du solltest da schon in der Lage sein, die Formel selbst hin zu schreiben 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 29.01.2015 | | Autor: | capri |
Guten abend nochmal.. ich glaube ich bin bisschen verwirrt..
versuche mal einen anderen Ansatz..
die steigung an einem Punkt P ist ja gleich der ersten Ableitung an der stelle Punkt p..
wenn ich [mm] $y=\bruch{7}{5}-x$ [/mm] habe.. die erste Ableitung ist $-1$ und
$y'(-1)=-1$ also ist meine Steigung -1?
LG
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> Guten abend nochmal.. ich glaube ich bin bisschen
> verwirrt..
>
> versuche mal einen anderen Ansatz..
> die steigung an einem Punkt P ist ja gleich der ersten
> Ableitung an der stelle Punkt p..
>
> wenn ich [mm]y=\bruch{7}{5}-x[/mm] habe.. die erste Ableitung ist [mm]-1[/mm]
> und
> [mm]y'(-1)=-1[/mm] also ist meine Steigung -1?
Hallo,
das stimmt: die Polare an K durch P hat die Steigung m=-1.
Dazu hätte man allerdings eine Differentialrechnung benötigt, denn aus der Mittelstufe weiß man, daß in der Geradengleichung y=mx+b das m die Steigung der Geraden ist.
Das macht Dich aber nicht so arg viel schlauer.
Zur Tangente; Du kennst nun zwei Punkte der gesuchten Tangente: den Pol P und den Berührpunkt [mm] P_1, [/mm] den Du zuvor berechnet hast. (Eigentlich hättest Du zwei Punkte bekommen müssen.)
Daraus kannst Du entweder mit der 2-Punkte -Form der Geradengleichung oder mit dem Wissen, daß dann [mm] m_t=\bruch{y_P-y_1}{x_P-x_1}, [/mm] die Gleichung der Tangente berechnen.
LG Angela
>
> LG
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