matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenkomplexe ZahlenPolarform Winkelberechnung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "komplexe Zahlen" - Polarform Winkelberechnung
Polarform Winkelberechnung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polarform Winkelberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 So 26.04.2009
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie die Polarform von z...

also |z| sowie cos [mm] \alpha [/mm] u. sin [mm] \alpha. [/mm]

1. z= 1 + 2i

2. z = 77i

3.  z = -5 -12i

4. -3 -3i


Moin,

meine Frage ist, warum bei den Aufgaben z.T. verschiedene Winkel herauskommen für cos bzw. sin?

Müsste nicht immer derselbe Winkel [mm] \alpha [/mm] herauskommen?
Und wenn nicht, warum nicht bzw. wie dann?

z = a + b*i   --- Formel 0


1. z= 1 + 2i

r = |z| = [mm] \wurzel{a^2 +b^2} [/mm]    --- Formel 1

|z| = [mm] \wurzel{5} [/mm]  

cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{a}{|z|} [/mm]   --- Formel 2

sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{b}{|z|} [/mm]    --- Formel 3

z = r*(cos [mm] \alpha [/mm] + i*sin [mm] \alpha) [/mm]   --- Formel 4

cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 63,43°

sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 63,43°


2. z = 77i

|z| = 77  

cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{0}{77} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 90°

sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{77}{77} [/mm] = 1   => [mm] \alpha [/mm] = 90°


3.  z = -5 -12i

|z| = 13  

cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-5}{13} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 112,62°

sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{12}{13} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 67,38°


4. -3 -3i

|z| = [mm] \wurzel{18} [/mm]  

cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-3}{\wurzel{18}} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = 135°

sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{-3}{\wurzel{18}} [/mm]   => [mm] \alpha [/mm] = - 45°


Danke & Gruß
Wolfgang

        
Bezug
Polarform Winkelberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 26.04.2009
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Bestimmen Sie die Polarform von z...
>
> also |z| sowie cos [mm]\alpha[/mm] u. sin [mm]\alpha.[/mm]
>  
> 1. z= 1 + 2i
>  
> 2. z = 77i
>  
> 3.  z = -5 -12i
>  
> 4. -3 -3i
>
>
> Moin,
>
> meine Frage ist, warum bei den Aufgaben z.T. verschiedene
> Winkel herauskommen für cos bzw. sin?
>  
> Müsste nicht immer derselbe Winkel [mm]\alpha[/mm] herauskommen?
>  Und wenn nicht, warum nicht bzw. wie dann?
>  
> z = a + b*i   --- Formel 0
>  
>
> 1. z= 1 + 2i
>  
> r = |z| = [mm]\wurzel{a^2 +b^2}[/mm]    --- Formel 1
>  
> |z| = [mm]\wurzel{5}[/mm]  
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{a}{|z|}[/mm]   --- Formel 2
>  
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{b}{|z|}[/mm]    --- Formel 3
>  
> z = r*(cos [mm]\alpha[/mm] + i*sin [mm]\alpha)[/mm]   --- Formel 4
>  
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 63,43°
>  
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 63,43°
>
>
> 2. z = 77i
>  
> |z| = 77  
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{0}{77}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 90°
>  
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{77}{77}[/mm] = 1   => [mm]\alpha[/mm] = 90°
>
>
> 3.  z = -5 -12i
>  
> |z| = 13  
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-5}{13}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 112,62°
>  
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{12}{13}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 67,38°
>


Nun, da [mm]\cos\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]90^{\circ} \le \alpha \le 270^{\circ}[/mm]
und [mm]\sin\left(\alpha\right) \ge 0[/mm] für [mm]0^{\circ} \le \alpha \le 180^{\circ}[/mm],
muß [mm]\alpha[/mm] im Intervall [mm]\left[90^{\circ}, 180^{\circ}\right][/mm] liegen.


Demnach ist  hier [mm]\alpha=112,62^{\circ}[/mm] dir richtige Lösung.


>
> 4. -3 -3i
>
> |z| = [mm]\wurzel{18}[/mm]  
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-3}{\wurzel{18}}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = 135°
>  
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{-3}{\wurzel{18}}[/mm]   => [mm]\alpha[/mm] = - 45°
>


Weder der eine noch der andere Winkel stimmt, denn

da [mm]\cos\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]90^{\circ} \le \alpha \le 270^{\circ}[/mm]
und [mm]\sin\left(\alpha\right) \le 0[/mm] für [mm]180^{\circ} \le \alpha \le 360^{\circ}[/mm],
muß [mm]\alpha[/mm] im Intervall [mm]\left[180^{\circ}, 270^{\circ}\right][/mm] liegen.


>
> Danke & Gruß
>  Wolfgang


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Polarform Winkelberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 So 26.04.2009
Autor: hase-hh

Moin!

d.h.

1. die Formeln stimmen?

2. die Formel 4 ist nur von einem Winkel [mm] \alpha [/mm] abhängig?

3. die Anwendung von Formel 2 bzw. Formel 3 allein führt nur "zufällig"
   zum richtigen Ergebnis.  Ich meine damit, dass ich beide Formeln
   benutzen muss, und erst dann entscheiden kann (je nach dem in
   welchen Quadranten die Lösungen liegen können), welcher Wert der
   richtige ist?

Bezug
                        
Bezug
Polarform Winkelberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 So 26.04.2009
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,


> Moin!
>  
> d.h.
>
> 1. die Formeln stimmen?


Ja.


>  
> 2. die Formel 4 ist nur von einem Winkel [mm]\alpha[/mm] abhängig?


Ja.


>  
> 3. die Anwendung von Formel 2 bzw. Formel 3 allein führt
> nur "zufällig"
> zum richtigen Ergebnis.  Ich meine damit, dass ich beide
> Formeln
> benutzen muss, und erst dann entscheiden kann (je nach dem
> in
>     welchen Quadranten die Lösungen liegen können), welcher
> Wert der
>     richtige ist?  


Zuerst mal betrachtest Du  die Vorzeichen von [mm]\sin\left(\alpha\right)[/mm] und [mm]\cos\left(\alpha\right)[/mm] durch die Formeln 2 und 3.

Daraus ergibt sich das Intervall, in welchem der Winkel [mm]\alpha[/mm] liegt.

Dann kannst Du mit den Formeln 2 bzw. 3 zu Werke gehen.


Gruß
MathePower


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]