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Polarkoordinaten: Umwandeln
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mo 10.11.2014
Autor: Skyrula

Aufgabe
Ich soll die Einheitsvektoren [mm] \vec{e}_{r} [/mm] und [mm] \vec{e}_{\phi} [/mm] welche in Polarkoordinaten dargestellt sind, durch die Einheitsvektoren [mm] \vec{e}_{x} [/mm] und [mm] \vec{e}_{y} [/mm] eines kartesischen Koordinatensystems darstellen. Dabei gilt, dass der Winkel [mm] \phi [/mm] von x-Richtung zur y-Richtung zu nehmen ist und dadurch wohl ein Vorzeichen hat.


Morgen zusammen,

mein Ansatz ist folgender:

Wenn die Polarkoordinaten [mm] (r,\phi) [/mm] gegeben sind,  weiß ich,  das die Kartesische Koordinate dazu so lauten müssen:

[mm] x=r*cos\phi [/mm] ; [mm] y=r*sin\phi [/mm]

Aber da ich Einheitsvektoren von Polar- in das kartesische-Koordinatensystem umwandeln muss, bräuchte ich eine kleine Hilfe.

Danke im Voraus!!



Edit:

Das sind die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten:

[mm] \vec{e}_{r}=\vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi)} [/mm]
[mm] \vec{e}_{\phi}=\vektor{-sin(\phi) \\ cos(\phi)} [/mm]

Und diese sind die Einheitsvektoren kartesisch:

[mm] \vec{e}_{x}=\vektor{e_{1}*x \\ e_{2}*x} [/mm]
[mm] \vec{e}_{y}=\vektor{e_{1}*y \\ e_{2}*y} [/mm]

Stimmen diese Formen?

Wie bringe ich die Einheitsvektoren der Polarkoordinaten nun Mathematisch korrekt auf die Form für Einheitsvektoren im kartesischen-Koordinatensystem?


        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Mo 10.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Skyrula

> Ich soll die Einheitsvektoren [mm]\vec{e}_{r}[/mm] und
> [mm]\vec{e}_{\phi}[/mm] welche in Polarkoordinaten dargestellt sind,
> durch die Einheitsvektoren [mm]\vec{e}_{x}[/mm] und [mm]\vec{e}_{y}[/mm]
> eines kartesischen Koordinatensystems darstellen. Dabei
> gilt, dass der Winkel [mm]\phi[/mm] von x-Richtung zur y-Richtung zu
> nehmen ist und dadurch wohl ein Vorzeichen hat.
>  
> Morgen zusammen,
>  
> mein Ansatz ist folgender:
>  
> Wenn die Polarkoordinaten [mm](r,\phi)[/mm] gegeben sind,  weiß
> ich,  das die Kartesische Koordinate dazu so lauten
> müssen:
>  
> [mm]x=r*cos\phi[/mm] ; [mm]y=r*sin\phi[/mm]
>  
> Aber da ich Einheitsvektoren von Polar- in das
> kartesische-Koordinatensystem umwandeln muss, bräuchte ich
> eine kleine Hilfe.
>  
> Danke im Voraus!!
>  
>
> Edit:
>  
> Das sind die Einheitsvektoren in Polarkoordinaten:
>  
> [mm]\vec{e}_{r}=\vektor{cos(\phi) \\ sin(\phi)}[/mm]     [notok]
>  
> [mm]\vec{e}_{\phi}=\vektor{-sin(\phi) \\ cos(\phi)}[/mm]     [notok]

Dies sind die Darstellungen dieser beiden Vektoren
in kartesischen Koordinaten !


  

> Und diese sind die Einheitsvektoren kartesisch:
>  
> [mm]\vec{e}_{x}=\vektor{e_{1}*x \\ e_{2}*x}[/mm]     [notok]
>  
> [mm]\vec{e}_{y}=\vektor{e_{1}*y \\ e_{2}*y}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

     [notok]

Das passt gar nicht ...


Vielleicht solltest du noch beachten, dass man mit einem
in Polarkoordinaten dargestellten Vektor, geschrieben in
der Form

        $\vec{v}\ =\ \pmat{r\\ \varphi}$

(was man in der Regel und aus gutem Grund nicht so schreibt)
gar nicht wie mit einem (kartesisch notierten) Vektor
rechnen kann. Schon für eine Addition wie zum Beispiel

        $\pmat{2\\ \frac{\pi}{6}}\ +\ \pmat{4\\ \frac{\pi}{3}}}$

muss man die Summanden zuerst in kartesische Form
umwandeln, dann die Addition ausführen und zum
Schluss das Ergebnis wieder "polarisieren"  ;-) .

LG  ,   Al-Chwarizmi





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