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Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Do 25.04.2013
Autor: Martinius

Hallo liebe Leute,

weiss zufällig jemand von Euch, ob man in Geogebra Kurven in Polarkoordinaten zeichnen lassen kann? Ich finde da nichts im Handbuch.

Besten Dank für eine Antwort,

LG, Martinius

        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Fr 26.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo liebe Leute,
>  
> weiss zufällig jemand von Euch, ob man in Geogebra Kurven
> in Polarkoordinaten zeichnen lassen kann? Ich finde da
> nichts im Handbuch.
>  
> Besten Dank für eine Antwort,
>  
> LG, Martinius


Ja, das sollte gehen, denn GeoGebra kann Kurven in
Parameterdarstellung verarbeiten:

Kurve[Ausdruck a1, Ausdruck a2, Parameter t, Startwert a, Endwert b]:
Erzeugt die kartesische Parameterkurve für den gegebenen
x-Ausdruck a1 und den y-Ausdruck a2 mit dem Parameter
t im Intervall [a, b].    
Beispiel: Die Eingabe c = Kurve[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]
erzeugt einen Kreis mit Radius 2 um den Koordinatenursprung.

LG .   Al-Chwarizmi




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Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:56 Fr 26.04.2013
Autor: Martinius

Grüß Dich Al-Chwarizmi

& habe Dank für Deine Antwort!

Ich dachte da an etwa 2 konzentrische Kreise um den Ursprung (die sind mir klar) und eine archimedische Spirale.

Die archimedische Spirale, also [mm] r=f(\varphi), [/mm] - kann man diese auch in Parameterform formulieren?

LG, Martinius

Bezug
                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:03 Fr 26.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag Martinius,

> Die archimedische Spirale, also [mm]r=f(\varphi),[/mm] - kann man
> diese auch in Parameterform formulieren?

Natürlich:

S = Kurve[f(t) cos(t), f(t) sin(t), t, 0, tmax]

Bei einer archimedischen Spirale wäre übrigens f
eine lineare Funktion von t . Beispiel:

k = 1/10

S = Kurve[k t cos(t), k t sin(t), t, 0, 10 [mm] \pi] [/mm]

ergibt eine archimedische Spirale mit 5 vollen
Umläufen, welche in $\ O(0|0)$ beginnt und in
$\ [mm] P(\pi\,|0)$ [/mm]  endet:
  [Dateianhang nicht öffentlich]
LG ,   Al-Chw.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Sa 27.04.2013
Autor: Martinius

Grüezi Al-Chwarizmi,

Dank Deiner Hilfe konnte ich gestern noch zügig ein Arbeitsblatt für meine NH-Schülerinnen fertig stellen!

Ich (als mathematischer Laie) hätte da noch eine letzte Frage: kann man eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve immer in eine Parameterdarstellung umformen (& umgekehrt)- oder geht das nur in Ausnahmefällen?

LG, Martinius

Bezug
                                        
Bezug
Polarkoordinaten: mit Übungsaufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Sa 27.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> kann man eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve
> immer in eine Parameterdarstellung umformen (& umgekehrt)-
> oder geht das nur in Ausnahmefällen?
>  
> LG, Martinius


Guten Tag Martinius,

das Erste ist natürlich stets möglich, nämlich in der
schon angegebenen Weise:

Ist eine Kurve k in polarer Parameterform gegeben durch

      k:   [mm] $\begin{cases} r(t) \\ \varphi(t) \end{cases}\qquad a\le t\le [/mm] b$

so kann man dies auch cartesisch schreiben:

      k:   [mm] $\begin{cases} x(t)\ =\ r(t)*cos(\varphi(t)) \\ y(t)\ =\ r(t)*sin(\varphi(t)) \end{cases}\qquad a\le t\le [/mm] b$

und damit die Kurve z.B. mittels Geogebra zeichnen.

Hat man r als Funktion von [mm] \varphi [/mm] , kann man einfach den
Parameter [mm] t:=\varphi [/mm] nehmen und ist zurück bei obigem Fall.

Ist umgekehrt eine Kurve in Funktionsform mit  y = f(x)
oder implizit durch eine Gleichung  F(x,y) = 0  gegeben,
ist die Umformung in eine polare Funktionsdarstellung
eher nur in speziellen Fällen sinnvoll und nützlich.
Ich hab aber gleich ein kleines Beispiel gemacht und
stelle dies hier als kleine Aufgabe:

Aufgabe
Beschreibe die Normalparabel  $\ p:\ [mm] y=x^2$ [/mm]   und die
"kubische Parabel"  $\ k:\ [mm] y=x^3$ [/mm]  in Polarform, also
jeweils durch eine Gleichung der Form

          $\ r\ =\ [mm] r(\varphi)\ [/mm] =\ .....$



LG ,   Al-Chw.





Bezug
                                                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Sa 27.04.2013
Autor: Martinius

Grüezi Al-Chwarizmi,

> > kann man eine in Polarkoordinaten gegebene Kurve
> > immer in eine Parameterdarstellung umformen (& umgekehrt)-
> > oder geht das nur in Ausnahmefällen?
>  >  
> > LG, Martinius
>  
>
> Guten Tag Martinius,
>  
> das Erste ist natürlich stets möglich, nämlich in der
>  schon angegebenen Weise:
>  
> Ist eine Kurve k in polarer Parameterform gegeben durch
>
> k:   [mm]\begin{cases} r(t) \\ \varphi(t) \end{cases}\qquad a\le t\le b[/mm]
>  
> so kann man dies auch cartesisch schreiben:
>
> k:   [mm]\begin{cases} x(t)\ =\ r(t)*cos(\varphi(t)) \\ y(t)\ =\ r(t)*sin(\varphi(t)) \end{cases}\qquad a\le t\le b[/mm]
>  
> und damit die Kurve z.B. mittels Geogebra zeichnen.
>  
> Hat man r als Funktion von [mm]\varphi[/mm] , kann man einfach den
> Parameter [mm]t:=\varphi[/mm] nehmen und ist zurück bei obigem
> Fall.




Also wäre für die Archimedische Spirale [mm]t:=\varphi[/mm] und

k:   [mm] $\begin{cases} r(t) \\ \varphi(t) \end{cases}\qquad a\le t\le [/mm] b $    gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi(\varphi) \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]   gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]   ?



Und   [mm] $r(\varphi)\;=\;a*\varphi$ [/mm]  (in Polarkoordinaten)  


entspricht:   [mm] $\begin{pmatrix} x(\varphi) \\ y(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} b*\varphi*cos(\varphi) \\ c*\varphi*sin(\varphi) \end{pmatrix}$ [/mm]  (Parameterdarstellung)  für:    [mm] $a\;=\;b\;=\;c$ [/mm]  ?



  

> Ist umgekehrt eine Kurve in Funktionsform mit  y = f(x)
>  oder implizit durch eine Gleichung  F(x,y) = 0  gegeben,
>  ist die Umformung in eine polare Funktionsdarstellung
>  eher nur in speziellen Fällen sinnvoll und nützlich.
>  Ich hab aber gleich ein kleines Beispiel gemacht und
>  stelle dies hier als kleine Aufgabe:
>  
> Beschreibe die Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]   und die
>  "kubische Parabel"  [mm]\ k:\ y=x^3[/mm]  in Polarform, also
>  jeweils durch eine Gleichung der Form
>  
> [mm]\ r\ =\ r(\varphi)\ =\ .....[/mm]
>  
>
> LG ,   Al-Chw.



Ich versuch mal:

1)  Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]

[mm] $tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^2}{x}=\;x$ [/mm]  und also  [mm] $\varphi\;=\; [/mm] arctan(x)$   und   [mm] $r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}$ [/mm]

Damit:  [mm] $\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^4} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))^2+(tan(\varphi))^4} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ tan(\varphi)*\wurzel{1+(tan(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\wurzel{1+(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)})^2} \end{pmatrix}$ [/mm]  


[mm] $\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{tan(\varphi)}{(cos(\varphi)}) \end{pmatrix}$ [/mm]



2)  Kubische Parabel  [mm]\ p:\ y=x^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



$tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^3}{x}=\;x^2$  und  $x=\wurzel{tan(\varphi)}$   und also  $\varphi\;=\; arctan(x^2)$   und   $r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}$

Damit:  $\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi)  \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x^2) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^6} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))+(tan(\varphi))^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)} \right)^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\left(1+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}\right)^2 \right)} \end{pmatrix}$  


$\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi)  \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^3}*\left((cos(\varphi))^2+(sin(\varphi))^2}\right)} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{tan(\varphi)}{\left(cos(\varphi)\right)^2}} \end{pmatrix}$  


Hoffentlich ohne allzuviel Fehler.


LG, Martinius

Bezug
                                                        
Bezug
Polarkoordinaten: Ergebnisse grafisch testen !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 So 28.04.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Martinius,

> Also wäre für die Archimedische Spirale [mm]t:=\varphi[/mm] und
>
> k:   [mm]\begin{cases} r(t) \\ \varphi(t) \end{cases}\qquad a\le t\le b[/mm]
>    gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi(\varphi) \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]
>   gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]    ?

>  
> Und   [mm]r(\varphi)\;=\;a*\varphi[/mm]  (in Polarkoordinaten)  
>
> entspricht:   [mm]\begin{pmatrix} x(\varphi) \\ y(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} b*\varphi*cos(\varphi) \\ c*\varphi*sin(\varphi) \end{pmatrix}[/mm]
>  (Parameterdarstellung)  für:    [mm]a\;=\;b\;=\;c[/mm]  ?

Ich sehe nicht ein, weshalb du da noch (überflüssige)
Konstanten b und c reinbringst ...


>  >  Aufgabe:
>  >  
> > Beschreibe die Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]   und die
>  >  "kubische Parabel"  [mm]\ k:\ y=x^3[/mm]  in Polarform, also
>  >  jeweils durch eine Gleichung der Form
>  >  
> > [mm]\ r\ =\ r(\varphi)\ =\ .....[/mm]

>
> Ich versuch mal:
>  
> 1)  Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]
>  
> [mm]tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^2}{x}=\;x[/mm]  und
> also  [mm]\varphi\;=\; arctan(x)[/mm]

An dieser Stelle sollte man Vorsicht walten lassen,
weil aus dem Tangenswert eines Winkels dieser Winkel
nicht immer eindeutig zurückgewonnen werden kann.
    

> und   [mm]r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}[/mm]         [ok]
>  
> Damit:  [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^4} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))^2+(tan(\varphi))^4} \end{pmatrix}\;\underbrace{\ =\ }_{\mbox{\Huge{\red{\*}}}}\;\begin{pmatrix} \varphi \\ tan(\varphi)*\wurzel{1+(tan(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\wurzel{1+(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)})^2} \end{pmatrix}[/mm]
>  

Hinweis: die mit einem Stern bezeichnete Umformung
gilt nicht für alle [mm] \varphi [/mm]  !!


> [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{tan(\varphi)}{(cos(\varphi)}) \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> 2)  Kubische Parabel  [mm]\ p:\ y=x^3[/mm]
>  
> [mm]tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^3}{x}=\;x^2[/mm]  und  
> [mm]x=\wurzel{tan(\varphi)}[/mm]   und also  [mm]\varphi\;=\; arctan(x^2)[/mm]
>   und   [mm]r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>  
> Damit:  [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x^2) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^6} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))+(tan(\varphi))^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)} \right)^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\left(1+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}\right)^2 \right)} \end{pmatrix}[/mm]
>  
>
> [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^3}*\left((cos(\varphi))^2+(sin(\varphi))^2}\right)} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{tan(\varphi)}{\left(cos(\varphi)\right)^2}} \end{pmatrix}[/mm]

Da es hier um explizite Polardarstellungen geht,
würde es genügen, jeweils die Funktion   [mm] $\varphi\mapsto r(\varphi)$ [/mm]  
anzugeben.

Jedenfalls wäre es aber noch wichtig, dass du für
jede der beiden Darstellungen auch noch einen
passenden Definitionsbereich angibst (also welche
Werte für [mm] \varphi [/mm] eingesetzt werden sollen) !
Teste deine Formeln und vergleiche die Ergebnisse
auch graphisch mit den Graphen der Funktionen
in kartesischer Form.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
                                                                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Di 30.04.2013
Autor: Martinius

Grüß Dich Al-Chwarizmi,


> Hallo Martinius,
>  
> > Also wäre für die Archimedische Spirale [mm]t:=\varphi[/mm] und
> >
> > k:   [mm]\begin{cases} r(t) \\ \varphi(t) \end{cases}\qquad a\le t\le b[/mm]
> >    gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi(\varphi) \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]

> >   gleich   k:   [mm]\begin{cases} r(\varphi) \\ \varphi \end{cases}\qquad \varphi1\le \varphi\le \varphi2[/mm]

>    ?
>
> >  

> > Und   [mm]r(\varphi)\;=\;a*\varphi[/mm]  (in Polarkoordinaten)  
> >
> > entspricht:   [mm]\begin{pmatrix} x(\varphi) \\ y(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} b*\varphi*cos(\varphi) \\ c*\varphi*sin(\varphi) \end{pmatrix}[/mm]
> >  (Parameterdarstellung)  für:    [mm]a\;=\;b\;=\;c[/mm]  ?

>  
> Ich sehe nicht ein, weshalb du da noch (überflüssige)
>  Konstanten b und c reinbringst ...



Nun, ich dachte, so lange a=b=c sind beide Darstellungen "archimedische" Spiralen. Für [mm] b\not=c [/mm] ist es noch eine Spirale - aber nicht mehr "archimedisch" (?).


  

>
> >  >  Aufgabe:

>  >  >  
> > > Beschreibe die Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]   und die
>  >  >  "kubische Parabel"  [mm]\ k:\ y=x^3[/mm]  in Polarform, also
>  >  >  jeweils durch eine Gleichung der Form
>  >  >  
> > > [mm]\ r\ =\ r(\varphi)\ =\ .....[/mm]
>  
> >
> > Ich versuch mal:
>  >  
> > 1)  Normalparabel  [mm]\ p:\ y=x^2[/mm]
>  >  
> > [mm]tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^2}{x}=\;x[/mm]  und
> > also  [mm]\varphi\;=\; arctan(x)[/mm]
>  
> An dieser Stelle sollte man Vorsicht walten lassen,
> weil aus dem Tangenswert eines Winkels dieser Winkel
>  nicht immer eindeutig zurückgewonnen werden kann.
>      
> > und   [mm]r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}[/mm]         [ok]
>  >  
> > Damit:  [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^4} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))^2+(tan(\varphi))^4} \end{pmatrix}\;\underbrace{\ =\ }_{\mbox{\Huge{\red{\*}}}}\;\begin{pmatrix} \varphi \\ tan(\varphi)*\wurzel{1+(tan(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\wurzel{1+(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)})^2} \end{pmatrix}[/mm]
> >  

> Hinweis: die mit einem Stern bezeichnete Umformung
> gilt nicht für alle [mm]\varphi[/mm]  !!



Ja, Danke für den Hinweis. Die Wurzel ist immer positiv - der Tangens hingegen nicht.

Wobei ich mich frage, ob es negative Radien überhaupt gibt?


(Edit1:  Müsste der Term nach dem Sternchen dann in Betragsstriche geschrieben werden? Und bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] wäre der Def.-Bereich 0-180° - und für [mm] f(x)=-x^2 [/mm] wäre der Def.-Bereich 180°-360° ?)


  

>
> > [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \frac{tan(\varphi)}{(cos(\varphi)}) \end{pmatrix}[/mm]
>  
> >  

> >
> > 2)  Kubische Parabel  [mm]\ p:\ y=x^3[/mm]
>  >  
> > [mm]tan(\varphi)\;=\; \frac{y}{x}=\; \frac{x^3}{x}=\;x^2[/mm]  und  
> > [mm]x=\wurzel{tan(\varphi)}[/mm]   und also  [mm]\varphi\;=\; arctan(x^2)[/mm]
> >   und   [mm]r\;=\;\wurzel{x^2+y^2}[/mm]

>  >  
> > Damit:  [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} arctan(x^2) \\ \wurzel{x^2+y^2} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{x^2+x^6} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{(tan(\varphi))+(tan(\varphi))^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)} \right)^3} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}*\left(1+\left(\frac{sin(\varphi)}{cos(\varphi)}\right)^2 \right)} \end{pmatrix}[/mm]
> >  

> >
> > [mm]\begin{pmatrix} \varphi \\ r(\varphi) \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{sin(\varphi)}{(cos(\varphi))^3}*\left((cos(\varphi))^2+(sin(\varphi))^2}\right)} \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} \varphi \\ \wurzel{\frac{tan(\varphi)}{\left(cos(\varphi)\right)^2}} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Da es hier um explizite Polardarstellungen geht,
> würde es genügen, jeweils die Funktion   [mm]\varphi\mapsto r(\varphi)[/mm]
>  
> anzugeben.
>  
> Jedenfalls wäre es aber noch wichtig, dass du für
>  jede der beiden Darstellungen auch noch einen
>  passenden Definitionsbereich angibst (also welche
>  Werte für [mm]\varphi[/mm] eingesetzt werden sollen) !
>  Teste deine Formeln und vergleiche die Ergebnisse
>  auch graphisch mit den Graphen der Funktionen
>  in kartesischer Form.
>
> LG ,   Al-Chw.


Für die quadratische Parabel ist die Polardarstellung, also der Quotient aus Tangens und Kosinus = [mm] r(\varphi), [/mm] zwischen 0 und 180° positiv; zwischen 180° und 360° hingegen negativ. Mein Plotter zeichnet das so:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wenn ich bedenke, dass es keinen negativen Radius gibt, dann müsste das richtig sein. (Edit1: siehe oben.)


Für die kubische Parabel ist der Radikand für 90° - 180° und 270° - 360° negativ; also gibt es in diesen Quadranten keinen Radius (die Wurzel ist da nicht definiert).

[Dateianhang nicht öffentlich]


LG, Martinius

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 Mi 01.05.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Kommentar nach erster Durchsicht:

wirklich sehr schöne Polargrafiken !

Mit welcher Software hast du die erstellt ?

Und: ob man bei Polardarstellungen negative Werte
für Radien zulassen will, ist einerseits Geschmacksfrage
und andererseits eine pragmatische Frage: wenn man sich
damit (kompliziertere) Fallunterscheidungen ersparen
kann, macht es unter Umständen durchaus Sinn.

LG , Al-Chw.

Bezug
                                                                                
Bezug
Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:40 Mi 01.05.2013
Autor: Martinius

Hallo Al-Chwarizmi,

> Kommentar nach erster Durchsicht:
>  
> wirklich sehr schöne Polargrafiken !
>  
> Mit welcher Software hast du die erstellt ?




Mit "Win Funktion 19" - von einem Mathematik- (& Physik-) Lehrer namens Steffen Polster herausgegeben (seit ca. 17 Jahren auf dem Markt).

Die aktuelle Version ist:

[]http://www.amazon.de/bhv-Distribution-WinFunktion-Mathematik-Plus/dp/3828775284/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1367364051&sr=8-1&keywords=Win+Funktion

- für 24,99 Euro käuflich zu erwerben.

In manchen Fällen ist Geogebra überlegen (z. B. Regression zum logistischen Wachstum oder geometrische Zeichnungen) - obwohl in Win Funktion relativ viele Themen behandelt werden.



  

> Und: ob man bei Polardarstellungen negative Werte
>  für Radien zulassen will, ist einerseits Geschmacksfrage
>  und andererseits eine pragmatische Frage: wenn man sich
>  damit (kompliziertere) Fallunterscheidungen ersparen
>  kann, macht es unter Umständen durchaus Sinn.
>  
> LG , Al-Chw.


LG, Martinius

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