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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 08.04.2015 | | Autor: | WiWi15 |
Ich beschäftige mich grade mit Polyedern und verstehe einige Sachen noch nicht so ganz.
Also um Polyeder zu verstehen benötigt man die Definition eines Halbraums. Laut unserer definition ist ein Halbraum folgendes:
Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Sei l: [mm] V\to \IR [/mm] eine Linearform nicht identisch 0 und [mm] c\in \IR. [/mm] Dann heißt
[mm] H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}
[/mm]
ein Halbraum in V. Die affine Hyperebene [mm] \delta [/mm] H: h(x)=c heißt Rand des Halbraums.
Desweiteren wird gesagt: Es reicht diesen Typ von ungleichungen zur Darstellung eines Halbraumes zu betrachten da [mm] h(x)\leq [/mm] c [mm] \Leftrightarrow -h(x)\geq [/mm] -c gilt.
Dort liegt mein erstes Problem. Warum reicht es nun die obige Gleichung zu betrachten. [mm] h(x)\geq [/mm] c und [mm] h(x)\leq [/mm] c sind doch zwei verschiedene Sachen. Klar kann ich das gesuchte wieder mit [mm] "\geq" [/mm] ausdrücken. Ich denke auch mal so ist es gemeint. Das man jeden halbraum [mm] h(x)\leq [/mm] c einfach als [mm] -h(x)\geq [/mm] c schreiben kann oder?
Dabei handelt es sich aber um zwei verschiede Halbräume
Polyeder haben wir nun wie folgt definiert: Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Ein Polyeder [mm] P\subset [/mm] V ist ein Durchschnitt [mm] $H_1\cap [/mm] ... [mm] \cap H_k$ [/mm] endlich vieler Halbräume.
Nun kommt meine größte Schwierigkeit:
Bemerkung:
1) Der ganze Raum V ist kein Polyeder.
Das kann man wie folgt einsehen: Sei [mm] h\in [/mm] V*, [mm] h\not=0, [/mm] dann ist dim Bild h=1 und damit ist h surjektiv, also gibt es zu [mm] c\in \IR [/mm] ein [mm] a\in [/mm] V mit h(a)<c und somit [mm] a\not\in H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}
[/mm]
So an dieser Bemerkung verstehe ich zwei dinge nicht.
Erst einmal warum ist [mm] h\in [/mm] V* und nicht in V. Ich dachte die Lineare Abbildung stammt ebenfalls aus dem Vektorraum V.
Das dim Bild h=1 gelten muss ist klar wenn [mm] h:V\to \IR [/mm] surjektiv. Aber das verstehe ich noch nicht wirklich. Ich weiss doch über h nur das es eine Lineare abbildung ist die nach [mm] \IR [/mm] gilt. Dann ist eigentlich h automatisch auf der ganzen graden definiert da für zwei Vekotren [mm] v_1,v_2\in [/mm] V ja gilt
[mm] h(v_1+v_2)=h(v_1)+h(v_2) [/mm] und [mm] h\not=0. [/mm] Also erreiche ich theor. alle reelen Zahlen. Wobei ich dann ja die surjektiv eingesehen hätte oder sehe ich das falsch?
Wenn h=0 zugelassen wird, kann man [mm] V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \} [/mm] schreiben. In diesem Fall soll V als Polyeder zugelassen sein.
Also die 0 ist ja wichtig, da jeder Vektorraum die 0 enthält. Nun kann man mit der Menge ganz V darstellen, wenn [mm] V=\{x\in V: h(x)\geq c, -h(x)\geq -c\} [/mm] aber letzters braucht man theor ja nicht.
Ist das so im Ansatz richtig oder kann mir wer weiterhelfen?
Bin etwas am verzweifeln :/
mfg. WiWi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Do 09.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich beschäftige mich grade mit Polyedern und verstehe
> einige Sachen noch nicht so ganz.
>
> Also um Polyeder zu verstehen benötigt man die Definition
> eines Halbraums. Laut unserer definition ist ein Halbraum
> folgendes:
>
> Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Sei l: [mm]V\to \IR[/mm] eine Linearform
> nicht identisch 0 und [mm]c\in \IR.[/mm] Dann heißt
>
> [mm]H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
>
> ein Halbraum in V.
Oben schreibst Du l und nun h ? Es ist also $h:V [mm] \to \IR$ [/mm] linear.
> Die affine Hyperebene [mm]\delta[/mm] H: h(x)=c
> heißt Rand des Halbraums.
>
> Desweiteren wird gesagt: Es reicht diesen Typ von
> ungleichungen zur Darstellung eines Halbraumes zu
> betrachten da [mm]h(x)\leq[/mm] c [mm]\Leftrightarrow -h(x)\geq[/mm] -c
> gilt.
>
> Dort liegt mein erstes Problem. Warum reicht es nun die
> obige Gleichung zu betrachten. [mm]h(x)\geq[/mm] c und [mm]h(x)\leq[/mm] c
> sind doch zwei verschiedene Sachen. Klar kann ich das
> gesuchte wieder mit [mm]"\geq"[/mm] ausdrücken. Ich denke auch mal
> so ist es gemeint. Das man jeden halbraum [mm]h(x)\leq[/mm] c
> einfach als [mm]-h(x)\geq[/mm] c schreiben kann oder?
Nein. Die Ungl. [mm]h(x)\leq c [/mm] ist gleichbedeutend mit der Ungl. [mm]-h(x)\geq -c [/mm] .
Definition: eine Teilmenge H von V heißt ein Fredraum , wenn es ein d [mm] \in \IR [/mm] und eine lineare Abbildung $f:V [mm] \to \IR$ [/mm] gibt mit:
$ [mm] H=\{x\in V: f(x)\leq d \} [/mm] $
Beweise nun folgenden
Satz: für eine Teilmenge H von V sind äquivalent:
(1) H ist ein Halbraum;
(2) H ist ein Fredraum.
> Dabei handelt es sich aber um zwei verschiede Halbräume
>
>
> Polyeder haben wir nun wie folgt definiert: Sei V ein
> [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Ein Polyeder [mm]P\subset[/mm] V ist ein
> Durchschnitt [mm]H_1\cap ... \cap H_k[/mm] endlich vieler
> Halbräume.
>
> Nun kommt meine größte Schwierigkeit:
>
> Bemerkung:
> 1) Der ganze Raum V ist kein Polyeder.
> Das kann man wie folgt einsehen: Sei [mm]h\in[/mm] V*, [mm]h\not=0,[/mm]
> dann ist dim Bild h=1 und damit ist h surjektiv, also gibt
> es zu [mm]c\in \IR[/mm] ein [mm]a\in[/mm] V mit h(a)<c und somit [mm]a\not\in H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
>
> So an dieser Bemerkung verstehe ich zwei dinge nicht.
> Erst einmal warum ist [mm]h\in[/mm] V* und nicht in V.
> Ich dachte
> die Lineare Abbildung stammt ebenfalls aus dem Vektorraum
> V.
Nein. h ist eine auf dem Vektorraum V def. Abbildung !
>
> Das dim Bild h=1 gelten muss ist klar wenn [mm]h:V\to \IR[/mm]
> surjektiv. Aber das verstehe ich noch nicht wirklich. Ich
> weiss doch über h nur das es eine Lineare abbildung ist
> die nach [mm]\IR[/mm] gilt. Dann ist eigentlich h automatisch auf
> der ganzen graden definiert da für zwei Vekotren
> [mm]v_1,v_2\in[/mm] V ja gilt
> [mm]h(v_1+v_2)=h(v_1)+h(v_2)[/mm] und [mm]h\not=0.[/mm] Also erreiche ich
> theor. alle reelen Zahlen. Wobei ich dann ja die surjektiv
> eingesehen hätte oder sehe ich das falsch?
Ist [mm]h:V\to \IR[/mm] linear, so ist der Bildraum h(V)=Bild(h) ein Untervektorraum von [mm] \IR. [/mm] Somit gilt dim Bild(h) [mm] \le [/mm] 1.
Ist h nicht die Nullabbildung, so ist dim Bild(h)=1 und somit [mm] Bild(h)=\IR.
[/mm]
h ist dann also sorjektiv.
>
> Wenn h=0 zugelassen wird, kann man [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
> schreiben. In diesem Fall soll V als Polyeder zugelassen
> sein.
> Also die 0 ist ja wichtig, da jeder Vektorraum die 0
> enthält. Nun kann man mit der Menge ganz V darstellen,
> wenn [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq c, -h(x)\geq -c\}[/mm] aber letzters
> braucht man theor ja nicht.
>
> Ist das so im Ansatz richtig
Welcher Ansatz ?
FRED
> oder kann mir wer
> weiterhelfen?
> Bin etwas am verzweifeln :/
>
> mfg. WiWi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 09.04.2015 | | Autor: | WiWi15 |
> > Ich beschäftige mich grade mit Polyedern und verstehe
> > einige Sachen noch nicht so ganz.
> >
> > Also um Polyeder zu verstehen benötigt man die Definition
> > eines Halbraums. Laut unserer definition ist ein Halbraum
> > folgendes:
> >
> > Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Sei l: [mm]V\to \IR[/mm] eine Linearform
> > nicht identisch 0 und [mm]c\in \IR.[/mm] Dann heißt
> >
> > [mm]H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
> >
> > ein Halbraum in V.
>
> Oben schreibst Du l und nun h ? Es ist also [mm]h:V \to \IR[/mm]
> linear.
Stimmt schuldigung. Es sollte natürlich h sein. Ich werde das korrigieren.
>
>
>
>
>
> > Die affine Hyperebene [mm]\delta[/mm] H: h(x)=c
> > heißt Rand des Halbraums.
> >
> > Desweiteren wird gesagt: Es reicht diesen Typ von
> > ungleichungen zur Darstellung eines Halbraumes zu
> > betrachten da [mm]h(x)\leq[/mm] c [mm]\Leftrightarrow -h(x)\geq[/mm] -c
> > gilt.
> >
> > Dort liegt mein erstes Problem. Warum reicht es nun die
> > obige Gleichung zu betrachten. [mm]h(x)\geq[/mm] c und [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > sind doch zwei verschiedene Sachen. Klar kann ich das
> > gesuchte wieder mit [mm]"\geq"[/mm] ausdrücken. Ich denke auch mal
> > so ist es gemeint. Das man jeden halbraum [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > einfach als [mm]-h(x)\geq[/mm] c schreiben kann oder?
>
>
> Nein. Die Ungl. [mm]h(x)\leq c[/mm] ist gleichbedeutend mit der
> Ungl. [mm]-h(x)\geq -c[/mm] .
>
>
> Definition: eine Teilmenge H von V heißt ein Fredraum ,
> wenn es ein d [mm]\in \IR[/mm] und eine lineare Abbildung [mm]f:V \to \IR[/mm]
> gibt mit:
>
> [mm]H=\{x\in V: f(x)\leq d \}[/mm]
>
>
>
> Beweise nun folgenden
>
> Satz: für eine Teilmenge H von V sind äquivalent:
>
> (1) H ist ein Halbraum;
>
> (2) H ist ein Fredraum.
>
Okay nach (1) [mm] \exists c\in \IR, [/mm] sodass für eine Lineare Abbildung [mm] h:V\to \IR [/mm] gilt [mm] h(x)\geq [/mm] c [mm] \Rightarrow (-h)(x)\leq [/mm] -c.
Setzt man nun für d:= -c und f(x):= (-h)(x). Damit gibt es zu dem gewählt [mm] d\in \IR [/mm] die zugehörige lineare Abbildung f(x), sodass [mm] f(x)\leq [/mm] d.
Also (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2).
Ganz analog gilt das ganze für (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1).
Also ist jeder Fredraum (lustiger name ^^) ein Halbraum und umgekehrt.
Somit reicht es die Ungleichung aus (1) zu betrachten.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> > Dabei handelt es sich aber um zwei verschiede Halbräume
> >
> >
> > Polyeder haben wir nun wie folgt definiert: Sei V ein
> > [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Ein Polyeder [mm]P\subset[/mm] V ist ein
> > Durchschnitt [mm]H_1\cap ... \cap H_k[/mm] endlich vieler
> > Halbräume.
> >
> > Nun kommt meine größte Schwierigkeit:
> >
> > Bemerkung:
> > 1) Der ganze Raum V ist kein Polyeder.
> > Das kann man wie folgt einsehen: Sei [mm]h\in[/mm] V*, [mm]h\not=0,[/mm]
> > dann ist dim Bild h=1 und damit ist h surjektiv, also gibt
> > es zu [mm]c\in \IR[/mm] ein [mm]a\in[/mm] V mit h(a)<c und somit [mm]a\not\in H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
>
> >
> > So an dieser Bemerkung verstehe ich zwei dinge nicht.
> > Erst einmal warum ist [mm]h\in[/mm] V* und nicht in V.
>
>
>
>
>
> > Ich dachte
> > die Lineare Abbildung stammt ebenfalls aus dem Vektorraum
> > V.
>
> Nein. h ist eine auf dem Vektorraum V def. Abbildung !
Ah stimmt da habe ich etwas durcheinander geworfen. Dann macht [mm] h\in [/mm] V* auch Sinn.
>
> >
> > Das dim Bild h=1 gelten muss ist klar wenn [mm]h:V\to \IR[/mm]
> > surjektiv. Aber das verstehe ich noch nicht wirklich. Ich
> > weiss doch über h nur das es eine Lineare abbildung ist
> > die nach [mm]\IR[/mm] gilt. Dann ist eigentlich h automatisch auf
> > der ganzen graden definiert da für zwei Vekotren
> > [mm]v_1,v_2\in[/mm] V ja gilt
> > [mm]h(v_1+v_2)=h(v_1)+h(v_2)[/mm] und [mm]h\not=0.[/mm] Also erreiche ich
> > theor. alle reelen Zahlen. Wobei ich dann ja die surjektiv
> > eingesehen hätte oder sehe ich das falsch?
>
>
> Ist [mm]h:V\to \IR[/mm] linear, so ist der Bildraum h(V)=Bild(h)
> ein Untervektorraum von [mm]\IR.[/mm] Somit gilt dim Bild(h) [mm]\le[/mm] 1.
Okay soweit kann ich noch folgen.
> Ist h nicht die Nullabbildung, so ist dim Bild(h)=1 und
> somit [mm]Bild(h)=\IR.[/mm] h ist dann also sorjektiv.
Hier würde ich gerne verstehen warum genau die surjektivität gelten muss. Theor. könnte die lin. Abbildung h doch jeden Vektor [mm] v\in [/mm] V eine Konstante Zahll [mm] z\in \IR [/mm] zuweisen.
Dann wäre ja h(v)=z für alle [mm] v\in [/mm] V.
Es ist aber auch jedes [mm] \mu v\in [/mm] V für alle [mm] \mu \in \IR [/mm]
Dann wäre ja [mm] h(\mu [/mm] v)= [mm] \mu [/mm] h(v) = [mm] \mu [/mm] z.
Somit muss die Lineare Abbildung alle reelen Zahlen abdecken und folglich surjektiv sein, solange [mm] h\not=0 [/mm] ist oder?
Denn bestünde das Bild nur aus einen einzigen Punkt, wäre ja dim (h) = 0. Da aber jeder Vektorraum (vom 0-Vektorraum abgesehen) aus mehr als einem einzigen Punkt besteht, gilt nach obigen, dass die dim Bild (h) = 1 sein muss oder?
>
> >
> > Wenn h=0 zugelassen wird, kann man [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
> > schreiben. In diesem Fall soll V als Polyeder zugelassen
> > sein.
> > Also die 0 ist ja wichtig, da jeder Vektorraum die 0
> > enthält. Nun kann man mit der Menge ganz V darstellen,
> > wenn [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq c, -h(x)\geq -c\}[/mm] aber letzters
> > braucht man theor ja nicht.
> >
> > Ist das so im Ansatz richtig
>
>
> Welcher Ansatz ?
Ich bin mir nicht so ganz sicher warum man mit h=0, [mm] V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \} [/mm] schreiben kann. Das h=0 zugelassen werden muss ist ja relativ klar, denn anstonsten ist x=0, kein element der Menge V. Jeder Vektorraum enthält aber per Definition ein 0 Element.
Warum aber müssen alle anderen von 0 verschiedenen Zahlen [mm] x\in [/mm] V, [mm] x\not=0 [/mm] auch in der Menge [mm] M:=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}
[/mm]
enthalten sein?
>
> FRED
>
> > oder kann mir wer
> > weiterhelfen?
> > Bin etwas am verzweifeln :/
> >
> > mfg. WiWi
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Fr 10.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich beschäftige mich grade mit Polyedern und verstehe
> > > einige Sachen noch nicht so ganz.
> > >
> > > Also um Polyeder zu verstehen benötigt man die Definition
> > > eines Halbraums. Laut unserer definition ist ein Halbraum
> > > folgendes:
> > >
> > > Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Sei l: [mm]V\to \IR[/mm] eine Linearform
> > > nicht identisch 0 und [mm]c\in \IR.[/mm] Dann heißt
> > >
> > > [mm]H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
> > >
> > > ein Halbraum in V.
> >
> > Oben schreibst Du l und nun h ? Es ist also [mm]h:V \to \IR[/mm]
> > linear.
>
> Stimmt schuldigung. Es sollte natürlich h sein. Ich werde
> das korrigieren.
>
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Die affine Hyperebene [mm]\delta[/mm] H: h(x)=c
> > > heißt Rand des Halbraums.
> > >
> > > Desweiteren wird gesagt: Es reicht diesen Typ von
> > > ungleichungen zur Darstellung eines Halbraumes zu
> > > betrachten da [mm]h(x)\leq[/mm] c [mm]\Leftrightarrow -h(x)\geq[/mm] -c
> > > gilt.
> > >
> > > Dort liegt mein erstes Problem. Warum reicht es nun die
> > > obige Gleichung zu betrachten. [mm]h(x)\geq[/mm] c und [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > > sind doch zwei verschiedene Sachen. Klar kann ich das
> > > gesuchte wieder mit [mm]"\geq"[/mm] ausdrücken. Ich denke auch mal
> > > so ist es gemeint. Das man jeden halbraum [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > > einfach als [mm]-h(x)\geq[/mm] c schreiben kann oder?
> >
> >
> > Nein. Die Ungl. [mm]h(x)\leq c[/mm] ist gleichbedeutend mit der
> > Ungl. [mm]-h(x)\geq -c[/mm] .
> >
> >
> > Definition: eine Teilmenge H von V heißt ein Fredraum ,
> > wenn es ein d [mm]\in \IR[/mm] und eine lineare Abbildung [mm]f:V \to \IR[/mm]
> > gibt mit:
> >
> > [mm]H=\{x\in V: f(x)\leq d \}[/mm]
> >
> >
> >
> > Beweise nun folgenden
> >
> > Satz: für eine Teilmenge H von V sind äquivalent:
> >
> > (1) H ist ein Halbraum;
> >
> > (2) H ist ein Fredraum.
> >
>
> Okay nach (1) [mm]\exists c\in \IR,[/mm] sodass für eine Lineare
> Abbildung [mm]h:V\to \IR[/mm] gilt [mm]h(x)\geq[/mm] c [mm]\Rightarrow (-h)(x)\leq[/mm]
> -c.
> Setzt man nun für d:= -c und f(x):= (-h)(x). Damit gibt
> es zu dem gewählt [mm]d\in \IR[/mm] die zugehörige lineare
> Abbildung f(x), sodass [mm]f(x)\leq[/mm] d.
>
> Also (1) [mm]\Rightarrow[/mm] (2).
>
> Ganz analog gilt das ganze für (2) [mm]\Rightarrow[/mm] (1).
> Also ist jeder Fredraum (lustiger name ^^) ein Halbraum
> und umgekehrt.
> Somit reicht es die Ungleichung aus (1) zu betrachten.
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> > > Dabei handelt es sich aber um zwei verschiede Halbräume
> > >
> > >
> > > Polyeder haben wir nun wie folgt definiert: Sei V ein
> > > [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Ein Polyeder [mm]P\subset[/mm] V ist ein
> > > Durchschnitt [mm]H_1\cap ... \cap H_k[/mm] endlich vieler
> > > Halbräume.
> > >
> > > Nun kommt meine größte Schwierigkeit:
> > >
> > > Bemerkung:
> > > 1) Der ganze Raum V ist kein Polyeder.
> > > Das kann man wie folgt einsehen: Sei [mm]h\in[/mm] V*,
> [mm]h\not=0,[/mm]
> > > dann ist dim Bild h=1 und damit ist h surjektiv, also gibt
> > > es zu [mm]c\in \IR[/mm] ein [mm]a\in[/mm] V mit h(a)<c und somit [mm]a\not\in H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > So an dieser Bemerkung verstehe ich zwei dinge nicht.
> > > Erst einmal warum ist [mm]h\in[/mm] V* und nicht in V.
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Ich dachte
> > > die Lineare Abbildung stammt ebenfalls aus dem Vektorraum
> > > V.
> >
> > Nein. h ist eine auf dem Vektorraum V def. Abbildung !
>
> Ah stimmt da habe ich etwas durcheinander geworfen. Dann
> macht [mm]h\in[/mm] V* auch Sinn.
>
>
> >
> > >
> > > Das dim Bild h=1 gelten muss ist klar wenn [mm]h:V\to \IR[/mm]
> > > surjektiv. Aber das verstehe ich noch nicht wirklich. Ich
> > > weiss doch über h nur das es eine Lineare abbildung ist
> > > die nach [mm]\IR[/mm] gilt. Dann ist eigentlich h automatisch auf
> > > der ganzen graden definiert da für zwei Vekotren
> > > [mm]v_1,v_2\in[/mm] V ja gilt
> > > [mm]h(v_1+v_2)=h(v_1)+h(v_2)[/mm] und [mm]h\not=0.[/mm] Also erreiche
> ich
> > > theor. alle reelen Zahlen. Wobei ich dann ja die surjektiv
> > > eingesehen hätte oder sehe ich das falsch?
> >
> >
> > Ist [mm]h:V\to \IR[/mm] linear, so ist der Bildraum h(V)=Bild(h)
> > ein Untervektorraum von [mm]\IR.[/mm] Somit gilt dim Bild(h) [mm]\le[/mm] 1.
>
> Okay soweit kann ich noch folgen.
>
> > Ist h nicht die Nullabbildung, so ist dim Bild(h)=1 und
> > somit [mm]Bild(h)=\IR.[/mm] h ist dann also sorjektiv.
>
> Hier würde ich gerne verstehen warum genau die
> surjektivität gelten muss.
Nix "muss" gelten. Wir haben:
[mm]Bild(h)=\IR.[/mm]
Das liefert die Surjektivität von h !!
> Theor. könnte die lin.
> Abbildung h doch jeden Vektor [mm]v\in[/mm] V eine Konstante Zahll
> [mm]z\in \IR[/mm] zuweisen.
>
> Dann wäre ja h(v)=z für alle [mm]v\in[/mm] V.
Mach Dir klar, dass eine konstante lineare Abbildung die Nullabbildung ist !!
Oben ist h [mm] \ne [/mm] 0.
> Es ist aber auch jedes [mm]\mu v\in[/mm] V für alle [mm]\mu \in \IR[/mm]
> Dann wäre ja [mm]h(\mu[/mm] v)= [mm]\mu[/mm] h(v) = [mm]\mu[/mm] z.
> Somit muss die Lineare Abbildung alle reelen Zahlen
> abdecken und folglich surjektiv sein, solange [mm]h\not=0[/mm] ist
> oder?
> Denn bestünde das Bild nur aus einen einzigen Punkt,
> wäre ja dim (h) = 0. Da aber jeder Vektorraum (vom
> 0-Vektorraum abgesehen) aus mehr als einem einzigen Punkt
> besteht, gilt nach obigen, dass die dim Bild (h) = 1 sein
> muss oder?
>
> >
> > >
> > > Wenn h=0 zugelassen wird, kann man [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
> > > schreiben. In diesem Fall soll V als Polyeder zugelassen
> > > sein.
> > > Also die 0 ist ja wichtig, da jeder Vektorraum die 0
> > > enthält. Nun kann man mit der Menge ganz V darstellen,
> > > wenn [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq c, -h(x)\geq -c\}[/mm] aber letzters
> > > braucht man theor ja nicht.
> > >
> > > Ist das so im Ansatz richtig
> >
> >
> > Welcher Ansatz ?
>
> Ich bin mir nicht so ganz sicher warum man mit h=0,
> [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm] schreiben kann.
Das ist doch trivial ! Sei [mm] $F:=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}$. [/mm] Zu zeigen ist V=F.
1. ist x [mm] \in [/mm] V, so ist h(x)=0, also auch h(x) [mm] \ge [/mm] 0 und somit x [mm] \in [/mm] F.
Fazit: V [mm] \subseteq [/mm] F.
2. Die Inklusion F [mm] \subseteq [/mm] V ist klar.
FRED
> Das h=0
> zugelassen werden muss ist ja relativ klar, denn anstonsten
> ist x=0, kein element der Menge V. Jeder Vektorraum
> enthält aber per Definition ein 0 Element.
> Warum aber müssen alle anderen von 0 verschiedenen Zahlen
> [mm]x\in[/mm] V, [mm]x\not=0[/mm] auch in der Menge [mm]M:=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
>
> enthalten sein?
>
> >
> > FRED
> >
> > > oder kann mir wer
> > > weiterhelfen?
> > > Bin etwas am verzweifeln :/
> > >
> > > mfg. WiWi
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Fr 10.04.2015 | | Autor: | WiWi15 |
Hallo Fred, vielen dank erstmal für deine Mühe :)
> > > > Ich beschäftige mich grade mit Polyedern und verstehe
> > > > einige Sachen noch nicht so ganz.
> > > >
> > > > Also um Polyeder zu verstehen benötigt man die Definition
> > > > eines Halbraums. Laut unserer definition ist ein Halbraum
> > > > folgendes:
> > > >
> > > > Sei V ein [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Sei h: [mm]V\to \IR[/mm] eine Linearform
> > > > nicht identisch 0 und [mm]c\in \IR.[/mm] Dann heißt
> > > >
> > > > [mm]H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
> > > >
> > > > ein Halbraum in V.
> > >
> > > > Die affine Hyperebene [mm]\delta[/mm] H: h(x)=c
> > > > heißt Rand des Halbraums.
> > > >
> > > > Desweiteren wird gesagt: Es reicht diesen Typ von
> > > > ungleichungen zur Darstellung eines Halbraumes zu
> > > > betrachten da [mm]h(x)\leq[/mm] c [mm]\Leftrightarrow -h(x)\geq[/mm] -c
> > > > gilt.
> > > >
> > > > Dort liegt mein erstes Problem. Warum reicht es nun die
> > > > obige Gleichung zu betrachten. [mm]h(x)\geq[/mm] c und [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > > > sind doch zwei verschiedene Sachen. Klar kann ich das
> > > > gesuchte wieder mit [mm]"\geq"[/mm] ausdrücken. Ich denke auch mal
> > > > so ist es gemeint. Das man jeden halbraum [mm]h(x)\leq[/mm] c
> > > > einfach als [mm]-h(x)\geq[/mm] c schreiben kann oder?
> > >
> > >
> > > Nein. Die Ungl. [mm]h(x)\leq c[/mm] ist gleichbedeutend mit der
> > > Ungl. [mm]-h(x)\geq -c[/mm] .
> > >
> > >
> > > Definition: eine Teilmenge H von V heißt ein Fredraum ,
> > > wenn es ein d [mm]\in \IR[/mm] und eine lineare Abbildung [mm]f:V \to \IR[/mm]
> > > gibt mit:
> > >
> > > [mm]H=\{x\in V: f(x)\leq d \}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Beweise nun folgenden
> > >
> > > Satz: für eine Teilmenge H von V sind äquivalent:
> > >
> > > (1) H ist ein Halbraum;
> > >
> > > (2) H ist ein Fredraum.
> > >
> >
> > Okay nach (1) [mm]\exists c\in \IR,[/mm] sodass für eine Lineare
> > Abbildung [mm]h:V\to \IR[/mm] gilt [mm]h(x)\geq[/mm] c [mm]\Rightarrow (-h)(x)\leq[/mm]
> > -c.
> > Setzt man nun für d:= -c und f(x):= (-h)(x). Damit
> gibt
> > es zu dem gewählt [mm]d\in \IR[/mm] die zugehörige lineare
> > Abbildung f(x), sodass [mm]f(x)\leq[/mm] d.
> >
> > Also (1) [mm]\Rightarrow[/mm] (2).
> >
> > Ganz analog gilt das ganze für (2) [mm]\Rightarrow[/mm] (1).
> > Also ist jeder Fredraum (lustiger name ^^) ein Halbraum
> > und umgekehrt.
> > Somit reicht es die Ungleichung aus (1) zu betrachten.
> >
> >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > Dabei handelt es sich aber um zwei verschiede Halbräume
> > > >
> > > >
> > > > Polyeder haben wir nun wie folgt definiert: Sei V ein
> > > > [mm]\IR-Vektorraum.[/mm] Ein Polyeder [mm]P\subset[/mm] V ist ein
> > > > Durchschnitt [mm]H_1\cap ... \cap H_k[/mm] endlich vieler
> > > > Halbräume.
> > > >
> > > > Nun kommt meine größte Schwierigkeit:
> > > >
> > > > Bemerkung:
> > > > 1) Der ganze Raum V ist kein Polyeder.
> > > > Das kann man wie folgt einsehen: Sei [mm]h\in[/mm] V*,
> > [mm]h\not=0,[/mm]
> > > > dann ist dim Bild h=1 und damit ist h surjektiv, also gibt
> > > > es zu [mm]c\in \IR[/mm] ein [mm]a\in[/mm] V mit h(a)<c und somit [mm]a\not\in H:=\{x\in V: h(x)\geq c \}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > So an dieser Bemerkung verstehe ich zwei dinge nicht.
> > > > Erst einmal warum ist [mm]h\in[/mm] V* und nicht in V.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > Ich dachte
> > > > die Lineare Abbildung stammt ebenfalls aus dem Vektorraum
> > > > V.
> > >
> > > Nein. h ist eine auf dem Vektorraum V def. Abbildung !
> >
> > Ah stimmt da habe ich etwas durcheinander geworfen. Dann
> > macht [mm]h\in[/mm] V* auch Sinn.
> >
> >
> > >
> > > >
> > > > Das dim Bild h=1 gelten muss ist klar wenn [mm]h:V\to \IR[/mm]
> > > > surjektiv. Aber das verstehe ich noch nicht wirklich. Ich
> > > > weiss doch über h nur das es eine Lineare abbildung ist
> > > > die nach [mm]\IR[/mm] gilt. Dann ist eigentlich h automatisch auf
> > > > der ganzen graden definiert da für zwei Vekotren
> > > > [mm]v_1,v_2\in[/mm] V ja gilt
> > > > [mm]h(v_1+v_2)=h(v_1)+h(v_2)[/mm] und [mm]h\not=0.[/mm] Also
> erreiche
> > ich
> > > > theor. alle reelen Zahlen. Wobei ich dann ja die surjektiv
> > > > eingesehen hätte oder sehe ich das falsch?
> > >
> > >
> > > Ist [mm]h:V\to \IR[/mm] linear, so ist der Bildraum h(V)=Bild(h)
> > > ein Untervektorraum von [mm]\IR.[/mm] Somit gilt dim Bild(h) [mm]\le[/mm] 1.
> >
> > Okay soweit kann ich noch folgen.
> >
> > > Ist h nicht die Nullabbildung, so ist dim Bild(h)=1 und
> > > somit [mm]Bild(h)=\IR.[/mm] h ist dann also sorjektiv.
> >
> > Hier würde ich gerne verstehen warum genau die
> > surjektivität gelten muss.
>
>
> Nix "muss" gelten. Wir haben:
>
> [mm]Bild(h)=\IR.[/mm]
>
> Das liefert die Surjektivität von h !!
>
>
>
> > Theor. könnte die lin.
> > Abbildung h doch jeden Vektor [mm]v\in[/mm] V eine Konstante Zahll
> > [mm]z\in \IR[/mm] zuweisen.
> >
> > Dann wäre ja h(v)=z für alle [mm]v\in[/mm] V.
>
>
> Mach Dir klar, dass eine konstante lineare Abbildung die
> Nullabbildung ist !!
Okay, eine lineare Abbildung h, hat die From h(x)=ax+b mit [mm] a,b\in \IR.
[/mm]
Desweiteren gilt für Lineare Abbildungen:
(1) [mm] h(v_1+v_2) [/mm] = [mm] h(v_1)+h(v_2) v_1,v_2\in [/mm] V
(2) [mm] h(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] h(v) [mm] v\in [/mm] V, [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Wegen (1) gilt aber für [mm] 0_v [/mm]
h(0) = h(0+0) = h(0) + h(0) [mm] \Leftrightarrow [/mm] h(0)=0.
Damit geht jede Lineare Abbildung durch den Ursprung. Gilt nun natürlich h(x)=ax+b mit a=0, so ist h(x)=b eine konstante funktion. Dammit sie linear ist muss h(0)=0 sein. Also kann eine konstante Lineare Funktion nur durch den Ursprung gehen.
> Oben ist h [mm]\ne[/mm] 0.
>
>
>
>
> > Es ist aber auch jedes [mm]\mu v\in[/mm] V für alle [mm]\mu \in \IR[/mm]
> > Dann wäre ja [mm]h(\mu[/mm] v)= [mm]\mu[/mm] h(v) = [mm]\mu[/mm] z.
> > Somit muss die Lineare Abbildung alle reelen Zahlen
> > abdecken und folglich surjektiv sein, solange [mm]h\not=0[/mm] ist
> > oder?
> > Denn bestünde das Bild nur aus einen einzigen Punkt,
> > wäre ja dim (h) = 0. Da aber jeder Vektorraum (vom
> > 0-Vektorraum abgesehen) aus mehr als einem einzigen Punkt
> > besteht, gilt nach obigen, dass die dim Bild (h) = 1 sein
> > muss oder?
> >
> > >
> > > >
> > > > Wenn h=0 zugelassen wird, kann man [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
> > > > schreiben. In diesem Fall soll V als Polyeder zugelassen
> > > > sein.
> > > > Also die 0 ist ja wichtig, da jeder Vektorraum
> die 0
> > > > enthält. Nun kann man mit der Menge ganz V darstellen,
> > > > wenn [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq c, -h(x)\geq -c\}[/mm] aber letzters
> > > > braucht man theor ja nicht.
> > > >
> > > > Ist das so im Ansatz richtig
> > >
> > >
> > > Welcher Ansatz ?
> >
> > Ich bin mir nicht so ganz sicher warum man mit h=0,
> > [mm]V=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm] schreiben kann.
>
>
> Das ist doch trivial ! Sei [mm]F:=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]. Zu
> zeigen ist V=F.
>
> 1. ist x [mm]\in[/mm] V, so ist h(x)=0, also auch h(x) [mm]\ge[/mm] 0 und
> somit x [mm]\in[/mm] F.
>
> Fazit: V [mm]\subseteq[/mm] F.
>
> 2. Die Inklusion F [mm]\subseteq[/mm] V ist klar.
Mh ja, da F aus allen [mm] x\in [/mm] V besteht für die [mm] h(x)\geq [/mm] 0 gilt und das gilt bei h(x)=0 eben für alle [mm] x\in [/mm] V.
Ich hatte irgendwie garnicht bedacht das h(x) eben immer die Nullabbildung sein muss.
Und das es für [mm] h\not=0 [/mm] nicht gilt steht ja oben.
Dumm von mir :/
> FRED
>
>
> > Das h=0
> > zugelassen werden muss ist ja relativ klar, denn anstonsten
> > ist x=0, kein element der Menge V. Jeder Vektorraum
> > enthält aber per Definition ein 0 Element.
> > Warum aber müssen alle anderen von 0 verschiedenen
> Zahlen
> > [mm]x\in[/mm] V, [mm]x\not=0[/mm] auch in der Menge [mm]M:=\{x\in V: h(x)\geq 0 \}[/mm]
>
> >
> > enthalten sein?
> >
> > >
> > > FRED
> > >
> > > > oder kann mir wer
> > > > weiterhelfen?
> > > > Bin etwas am verzweifeln :/
> > > >
> > > > mfg. WiWi
> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt.
> > >
> >
>
mfg. WiWi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 12.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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