Polynom und abgeschlossene Abb < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Sa 27.05.2006 | | Autor: | silvia1 |
| Aufgabe 1 | | Sei P(z) in [mm] \IC [/mm] (Z) (sollen eckige Klammern sein) ein Polynom. Zeigen Sie, dass P eine abgeschlossene Abb. [mm] \IC [/mm] nach [mm] \IC [/mm] definiert, d.h., dass P abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet. |
| Aufgabe 2 | | Gilt dies auch für Polynome aus [mm] \IR [/mm] (x, y) (sollen auch wieder eckige Klammern sein)? |
mmh, mein skript und mein kopf geben nichts her.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Silvia!
> Sei P(z) in [mm]\IC[/mm] (Z) (sollen eckige Klammern sein) ein
Du solltest auf deiner Tastatur uebrigens auch eckige Klammern haben 
> Polynom. Zeigen Sie, dass P eine abgeschlossene Abb. [mm]\IC[/mm]
> nach [mm]\IC[/mm] definiert, d.h., dass P abgeschlossene Mengen auf
> abgeschlossene Mengen abbildet.
Zeige zuerst: Urbilder beschraenkter Mengen sind beschraenkt. (Wenn das nicht der Fall waere, so gaebe es eine Folge [mm] $z_n \to \infty$ [/mm] mit [mm] $f(z_n)$ [/mm] beschraenkt. Ist $f(z) = [mm] \sum_{i=0}^k a_i z^i$ [/mm] mit [mm] $a_k \neq [/mm] 0$, so ist [mm] $f(z_n) [/mm] = [mm] z_n^k [/mm] (1 + [mm] \sum_{i=0}^{k-1} a_i z_n^{k-i})$. [/mm] Die Summanden in der Summe gehen gegen $0$ fuer [mm] $z_n \to \infty$, [/mm] und somit geht das ganze (betragsmaessig) gegen [mm] $\infty$, [/mm] ein Widerspruch zu [mm] $f(z_n)$ [/mm] beschraenkt...)
Daraus folgt (mit Heine-Borel): Urbilder kompakter Mengen sind kompakt (da $f$ insb. stetig ist).
Sei nun $A [mm] \subseteq \IC$ [/mm] abgeschlossen und $B := f(A)$. Sei [mm] $z_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Folge in $B$ mit [mm] $z_n \to [/mm] z [mm] \in \IC$. [/mm] Zu zeigen ist, dass $z [mm] \in [/mm] B$ liegt. (Dann waere $B$ abgeschlossen.)
Seien [mm] $w_n \in [/mm] A$ mit [mm] $f(w_n) [/mm] = [mm] z_n$. [/mm] Nun ist $C := [mm] \{ z_n, z \mid n \in \IN \} \subseteq \IC$ [/mm] kompakt, womit auch [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] kompakt ist. Nun liegen die [mm] $w_n$ [/mm] in [mm] $f^{-1}(C)$, [/mm] womit die [mm] $w_n$ [/mm] eine konvergente Teilfolge haben. OE sei dies bereits die ganze Folge (ansonsten lass die ''schlechten'' Folgenglieder die nicht zur Konvergenz beitragen weg; an der Konvergenz [mm] $z_n \to [/mm] z$ aendert das nichts). Sei also [mm] $w_n$ [/mm] konvergent gegen $w$, welches ebenfalls in [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] liegen muss (da [mm] $f^{-1}(C)$ [/mm] abgeschlossen ist). Also ist [mm] $f(w_n) [/mm] = [mm] z_n \to [/mm] z$ und [mm] $f(w_n) \to [/mm] f(w)$ (wegen Stetigkeit), womit $f(w) = z$ ist.
Nun ist $A$ abgeschlossen und die [mm] $w_n$ [/mm] sind in $A$, womit $w$ ebenfalls in $A$ ist; damit ist $f(w) [mm] \in [/mm] f(A) = B$.
Ich hoff mal das ist jetzt nicht zu wirr; wenn du was nicht verstehst frag nach (bitte mit expliziter Angabe der Problemstelle).
> Gilt dies auch für Polynome aus [mm]\IR[/mm] (x, y) (sollen auch
> wieder eckige Klammern sein)?
> mmh, mein skript und mein kopf geben nichts her.
Sei $f(x, y) = x y$. Schau dir $A := [mm] \{ (n + 1, \frac{1}{n}) \mid n \in \IN \}$ [/mm] an. Was ist $f(A)$?
LG Felix
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