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Forum "Lineare Abbildungen" - Polynome, Basis
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Polynome, Basis: Basis, Darstellungsmatrix
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Sa 17.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] $V:=\mathbb{R}_3[T]$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$

I) Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $B=\{1, T, T^2, T^3\}$ [/mm] eine Basis von V ist.

II) Gegeben sei die lineare Abbildung

[mm] $\Phi: V\to [/mm] V$

mit

[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0$ [/mm]

für [mm] $p\in [/mm] V$.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm] $\Phi$ [/mm] bezüglich der Basis $B$ und berechnen Sie die Determinante von [mm] $\Phi$. [/mm]


Hi, ich würde mich über Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.

Wenn ich zeigen will, dass B eine Basis des Vektorraums der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ ist, dann muss ich ja zeigen, dass B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.

[mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] hätte ja eine solche "Form":

[mm] $p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0$ [/mm]

Nun ja, dass B linear unabhängig ist, ist eigentlich klar, weil sich die Elemente ja alle im Grad von T unterscheiden. Also sind sie untereinander auf keinen Fall als Linearkombination darstellbar. Und das B den Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 3 erzeugt ist ja auch leicht einzusehen, aber ich weiß leider nicht wie ich dies Formal "nachrechnen" kann.

Vielen Dank für jegliche Hilfestellung.

        
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 So 18.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]V:=\mathbb{R}_3[T][/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm]
>  
> I) Zeigen Sie, dass die Menge [mm]B=\{1, T, T^2, T^3\}[/mm] eine
> Basis von V ist.
>  
> II) Gegeben sei die lineare Abbildung
>
> [mm]\Phi: V\to V[/mm]
>  
> mit
>
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]
>  
> für [mm]p\in V[/mm].
>  Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von [mm]\Phi[/mm]
> bezüglich der Basis [mm]B[/mm] und berechnen Sie die Determinante
> von [mm]\Phi[/mm].
>  
> Hi, ich würde mich über Hilfe bei dieser Aufgabe freuen.
>
> Wenn ich zeigen will, dass B eine Basis des Vektorraums der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] ist, dann muss ich ja zeigen, dass
> B ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
>  
> [mm]\mathbb{R}_3[T][/mm] hätte ja eine solche "Form":
>  
> [mm]p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0[/mm]

Hallo,

die Elemente von [mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] sehen so aus,
und damit ist es offensichtlich, daß B ein Erzeugendensystem von [mm] \mathbb{R}_3[T] [/mm] ist.

>  
> Nun ja, dass B linear unabhängig ist,

muß man nun zeigen, und man macht das genau wie immer:

Man zeigt, daß aus [mm] a_3T^3+a_2T^2+a_1T+a_0=Nullpolynom [/mm] folgt, daß die [mm] a_i [/mm] allesamt =0 sind.
Benötigen tut man die Def. der Gleichheit von Polynomen: "Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen".

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 So 18.05.2014
Autor: YuSul

Dann folgt [mm] $a_3T^3+a_2T^2+a_1T+a_0=0\cdot T^3+0\cdot T^2+0\cdot [/mm] T+0$

[mm] $a_3=a_2=a_1=a_0=0$ [/mm]

direkt aus einem Koeffizientenvergleich, wenn ich es so aufschreibe wie oben getan.

Bezug
                        
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 18.05.2014
Autor: angela.h.b.

Ja, genau.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 18.05.2014
Autor: YuSul

Wie kann ich nun hier die Darstellende Matrix angeben?

[mm] $\Phi: V\to [/mm] V$

[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p$ [/mm]

[mm] $p\in [/mm] V$

$p(1)=1$

das ist ja eine Eigenschaft einer linearen Abbildung.

[mm] $p(T)=5T^2p_2+Tp_1+p$ [/mm]

[mm] $p(T^2)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^2$ [/mm] und dies nun ausmultiplizieren? Ebenso dann

[mm] $p(T^3)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^3$ [/mm]

das macht aber irgendwie wenig Sinn. Dann hätte ich ja etwas 6ten Grades, oder zählen für die Darstellungsmatrix dann auch nur die Koeffizienten der Summanden von Grad höchstens 3?

Bezug
                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 So 18.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Wie kann ich nun hier die Darstellende Matrix angeben?
>  
> [mm]\Phi: V\to V[/mm]
>  
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]

Hallo,

die Abbildungsvorschrift ist also diese:

für [mm] p\in [/mm] V mit [mm] p=p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0 [/mm] ist

[mm] \Phi(p):=5T^2p_2+Tp_1+p_0. [/mm]

Vielleicht rechnest Du einfach mal aus Spaß an der Freud' (und damit Du die Abbildungsvorschrift verstehst) aus

[mm] \Phi(T^3+2T^2+T)= [/mm]
[mm] \Phi(4T^2+1)= [/mm]
[mm] \Phi(2T^3)= [/mm]

>  
> [mm]p\in V[/mm]
>  
> [mm]p(1)=1[/mm]
>  
> das ist ja eine Eigenschaft einer linearen Abbildung.

??? Irgendwie nicht...
p ist auch keine Lineare Abbildung...

Zu berechnen sind [mm] \Phi(1), \Phi(T), \Phi(T^2), \Phi(T^3), [/mm]
und ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst.

LG Angela

>  
> [mm]p(T)=5T^2p_2+Tp_1+p[/mm]
>  
> [mm]p(T^2)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^2[/mm] und dies nun ausmultiplizieren?
> Ebenso dann
>  
> [mm]p(T^3)=(5T^2p_2+Tp_1+p)^3[/mm]
>  
> das macht aber irgendwie wenig Sinn. Dann hätte ich ja
> etwas 6ten Grades, oder zählen für die Darstellungsmatrix
> dann auch nur die Koeffizienten der Summanden von Grad
> höchstens 3?


Bezug
                        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 So 18.05.2014
Autor: YuSul

"ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst."

Ich bin immer für negative Überraschungen gut...

[mm] $\Phi(1)=p_0 [/mm]
[mm] \Phi(T)=p_1T [/mm]
[mm] \Phi(T^2)=5p_2T^2 [/mm]
[mm] \Phi(T^3)=0$ [/mm]

Das ist bestimmt falsch, Entschuldigung. :(

Ich verstehe leider nicht für was ich hier den Wert einsetzen soll.



Bezug
                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 So 18.05.2014
Autor: angela.h.b.


> "ich bin optimistisch, daß Du das jetzt kannst."
>  
> Ich bin immer für negative Überraschungen gut...

Hallo,

die richtigen Lösungen bekommst Du, wenn Du Dir klarmachst, daß

>  
> [mm] \Phi(1)= [/mm]

[mm] \Phi(0*T^3+0*T^2+0*T+1*1)=... [/mm]

>  [mm]\Phi(T)=[/mm]

[mm] \Phi(0*T^3+0*T^2+1*T+0*1)=... [/mm]

>  [mm]\Phi(T^2)=[/mm]

[mm] \Phi(0*T^3+1*T^2+0*T+0*1)=... [/mm]

>  [mm]\Phi(T^3)=[/mm]

[mm] \Phi(1*T^3+0*T^2+0*T+0*1)=... [/mm]

>  
> Das ist bestimmt falsch, Entschuldigung. :(

Entschuldigen mußt Du Dich nicht.
Das Forum ist doch zum Fehlermachen da.
Hier zählt das ernsthafte Bemühen und der Willen, nachzudenken.

> Ich verstehe leider nicht für was ich hier den Wert
> einsetzen soll.

Ich behalte meinen Optimismus: jetzt ist's bestimmt klar!

LG Angela

>
>  


Bezug
                                        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 So 18.05.2014
Autor: YuSul

Im Grunde habe ich schon so bei meinem ersten Versuch gedacht.

Ist die Lösung dann vielleicht einfach

[mm] $\Phi(1)=1 [/mm]
[mm] \Phi(T)=1 [/mm]
[mm] \Phi(T^2)=1 [/mm]
[mm] \Phi(T^3)=1$ [/mm]

Wobei für die Darstellungsmatrix ich auch die anderen Koeffizienten, die nun alle Null sind auch noch betrachten müsste.

Dann würde ich folgende erhalten:


[mm] $\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}$ [/mm]

Wobei ich mir mit [mm] $\Phi(T^3)$ [/mm] nicht ganz sicher bin, ob es 1 oder Null ist, weil in der Abbildung [mm] T^3 [/mm] gar nicht vorkommt, also

[mm] $p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0$ [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:54 Mo 19.05.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wir wollen die darstellende Matrix bestimmen für die Abbildung [mm] \Phi [/mm] mit

$ [mm] \Phi(p):=5T^2p_2+Tp_1+p_0 [/mm] $ für alle Polynome [mm] $p=p_3T^3+p_2T^2+p_1T+p_0 [/mm] $ .

> Ist die Lösung dann vielleicht einfach
>  
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]
>  [mm]\Phi(T)=1[/mm]
>  [mm]\Phi(T^2)=1[/mm]
>  [mm]\Phi(T^3)=1$[/mm]

Hm. Meinst Du nicht, daß die Funktionswerte etwas mit der Abbildungsvorschrift zu tun haben sollten?

Ich mache jetzt mal ein Beispiel für Dich:

[mm] \Phi(5T^3+6T^2+4)=\Phi(5T^3+6T^2+0T+4)=5T^2*6+T*0+4=30T^2+4 [/mm]

LG Angela

Bezug
                                                        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:41 Mo 19.05.2014
Autor: YuSul

Okay, dann lag ich also doch mit meiner angehängten Mitteilung richtig.

Also

[mm] $\Phi(1)=1 [/mm]
[mm] \Phi(T)=1 [/mm]
[mm] \Phi(T^2)=5 [/mm]
[mm] \Phi(T^3)=0$ [/mm]

Die Darstellungsmatrix lautet dann

[mm] $\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&5&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$ [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Mo 19.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Also
>
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]
>  [mm]\Phi(T)=1[/mm]
>  [mm]\Phi(T^2)=5[/mm]
>  [mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]

Hallo,

nein, richtig wäre

[mm]$\Phi(1)=1[/mm]
[mm]\Phi(T)=1[/mm]T
[mm]\Phi(T^2)=5[/mm][mm] T^2 [/mm]
[mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]

>  
> Die Darstellungsmatrix lautet dann
>  
> [mm]\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&5&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}[/mm]

Nein.

In der Darstellungsmatrix bzgl der Basis B:=(1, T, [mm] T^2, T^3) [/mm] stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B.

Es ist [mm] \Phi(1)=1=1*1+0*T+0*T^2+0*T^3=\vektor{1\\0\\0\\0}_{(B)}, [/mm]
und das wäre die erste Spalte der gesuchten Matrix.

LG Angela


Bezug
                                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Mo 19.05.2014
Autor: fred97


> Im Grunde habe ich schon so bei meinem ersten Versuch
> gedacht.
>  
> Ist die Lösung dann vielleicht einfach
>  
> [mm]$\Phi(1)=1[/mm]

O.K.


>  [mm]\Phi(T)=1[/mm]

Nein, sondern [mm]\Phi(T)=T[/mm]


>  [mm]\Phi(T^2)=1[/mm]

Nein, sondern  [mm]\Phi(T^2)=5T^2[/mm]


>  [mm]\Phi(T^3)=1$[/mm]

nein, sondern  [mm]\Phi(T^3)=0$[/mm]


>  
> Wobei für die Darstellungsmatrix ich auch die anderen
> Koeffizienten, die nun alle Null sind auch noch betrachten
> müsste.
>  
> Dann würde ich folgende erhalten:
>  
>
> [mm]\begin{pmatrix} 0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\ 1&0&0&0\end{pmatrix}[/mm]

Das stimmt nicht.

FRED

>  
> Wobei ich mir mit [mm]\Phi(T^3)[/mm] nicht ganz sicher bin, ob es 1
> oder Null ist, weil in der Abbildung [mm]T^3[/mm] gar nicht
> vorkommt, also
>  
> [mm]p\mapsto 5T^2p_2+Tp_1+p_0[/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:09 Mo 19.05.2014
Autor: YuSul

Hmm, und wie sieht dann die Darstellungsmatrix aus? Einfach mit Polynomen als Einträge?

Bezug
                                                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Mo 19.05.2014
Autor: fred97


> Hmm, und wie sieht dann die Darstellungsmatrix aus? Einfach
> mit Polynomen als Einträge?

???

So:

$ [mm] \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&5&0\\ 0&0&0&0\end{pmatrix} [/mm] $

FRED



Bezug
                                                                        
Bezug
Polynome, Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:16 Mo 19.05.2014
Autor: YuSul

Okay, stimmt....

Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch nicht...

Vielen Dank.

Bezug
                                                                                
Bezug
Polynome, Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mo 19.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Okay, stimmt....

Ja, der Fred, der kann das.

>  
> Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch
> nicht...

??? Was Du damit wohl meinst...

Alles muß beachtet werden, und wenn man alles beachtet, bekommt man die richtige Matrix.

LG Angela

>  
> Vielen Dank.


Bezug
                                                                                        
Bezug
Polynome, Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Mo 19.05.2014
Autor: fred97


> > Okay, stimmt....

Hallo Angela,


>  
> Ja, der Fred, der kann das.

ich danke für das Vertrauen ...

Gruß FRED

>  
> >  

> > Sonst beachtet man das a,b,c oder was auch immer ja auch
> > nicht...
>  
> ??? Was Du damit wohl meinst...
>  
> Alles muß beachtet werden, und wenn man alles beachtet,
> bekommt man die richtige Matrix.
>  
> LG Angela
>  >  
> > Vielen Dank.
>  


Bezug
                                                                                        
Bezug
Polynome, Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Mo 19.05.2014
Autor: YuSul

Damit meinte ich, dass wenn man zum Beispiel die Gleichung

3a+4b+5c=6 hat man später in der Matrix auch nicht das a, b oder c hinschreiben würde.

Vielen Dank für die Hilfe.

Bezug
        
Bezug
Polynome, Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 18.05.2014
Autor: YuSul

oder wäre [mm] $\Phi(T^2)=5$ [/mm] und dann [mm] $\Phi(T^3)=0$, [/mm] weil dies ja die Abbildungsvorschrift "macht".

Bezug
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