matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumePolynome, Matrizen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Polynome, Matrizen
Polynome, Matrizen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Polynome, Matrizen: eindeutig bestimmt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Sa 24.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Gegeben sei der Polynomring $K[T]$ und [mm] $Y\in K[T]^{n\times n}$. [/mm]
Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte Matrizen [mm] $Y_0, Y_1,...,Y_r\in K^{n\times n}$ [/mm] gibt mit

[mm] $Y=Y_0T+Y_1T^2+...+Y_rT^r$ [/mm]



Hi,

ich habe gerade Probleme mit dieser Aufgabe. Vor allem mit dem 'eindeutig bestimmt'.

Also die Matrix Y hat ja Polynome als Einträge. Zum Beispiel:

[mm] $Y=\begin{pmatrix} 3T^2+2T+1&5T^5-3T^2\\ T&4\end{pmatrix}$ [/mm]

Dann könnte ich diese ja so zerlegen:

[mm] $Y=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&0\\ 1&0\end{pmatrix}T+\begin{pmatrix} 3&-3\\ 0&0\end{pmatrix}T^2+\begin{pmatrix} 0&5\\ 0&0\end{pmatrix}T^5$ [/mm]

Sowas ist dann natürlich eindeutig bestimmt, oder irre ich mit der Interpretation?

        
Bezug
Polynome, Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Sa 24.05.2014
Autor: Teufel

Ok, also wie du eine Zerlegung konstruierst ist dir klar. Jetzt nimm einfach an, dass du 2 Darstellungen hast (Summe mit [mm] Y_i [/mm] und Summe mit $Y'_i$), d.h. sie unterscheiden sich an einer Stelle i. An dieser gilt [mm] $Y_i \not [/mm] = Y'_i$, aber dann unterscheidet sich der Koeffizient von der i-ten Potenz von T von irgendeinem Polynom.

Bezug
                
Bezug
Polynome, Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Sa 24.05.2014
Autor: YuSul

Und das würde bereits ausreichen?
Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, auch wenn es natürlich "klar" ist.

Bezug
                        
Bezug
Polynome, Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:18 So 25.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Und das würde bereits ausreichen?
> Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, auch wenn
> es natürlich "klar" ist.

Hallo,

Du hast dann doch zwei Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring [mm] K^{n\times n}, [/mm]
und irgendwo habt Ihr sicher etwas über die Gleichheit von Polynomen notiert:
sie sind gleich, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen.

LG Angela


Bezug
                                
Bezug
Polynome, Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 So 25.05.2014
Autor: YuSul

Dann würde ich es nun so notieren:

Sei

[mm] $Y=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r$ [/mm]

angenommen es gibt eine zweite Darstellung

[mm] $Y=Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r$ [/mm]

Dann ist

[mm] $Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r$ [/mm]

Und mit einem Koeffizientenvergleich folgt

[mm] $Y_0=Y_0'$ [/mm] usw.

Bezug
                                        
Bezug
Polynome, Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:04 So 25.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Dann würde ich es nun so notieren:
>  
> Sei
>
> [mm]Y=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r[/mm]
>  
> angenommen es gibt eine zweite Darstellung
>  
> [mm]Y=Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r[/mm]

Hallo,

Du gehst davon aus, daß der Grad der zweiten Darstellung derselbe ist.
Wenn man schon von einer zweiten Darstellung ausgeht, würde man der auch einen anderen Grad erlauben, oder?
Wenn nicht, müßte man einen Grund dafür sagen.

>  
> Dann ist
>  
> [mm]Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r[/mm]
>  
> Und mit einem Koeffizientenvergleich folgt

Natürlich vergleicht man Koeffizienten, aber ich würde mich ausdrücklich auf die Def. über die Gleichheit von Polynomen beziehen.

LG Angela

>  
> [mm]Y_0=Y_0'[/mm] usw.


Bezug
                                                
Bezug
Polynome, Matrizen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:07 So 25.05.2014
Autor: YuSul

Dann vergleicht man also die Polynome welche später als Eintrag in der Matrix vorkommen?

Bezug
                                                        
Bezug
Polynome, Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 25.05.2014
Autor: YuSul

Also, wenn ich für die zweite Darstellung auch einen höheren Grad erlauben würde, dann würde das ohnehin direkt sich wieder auf den "echten" Grad reduzieren, weil wieder der Koeffizientenvergleich dafür sorgt, dass die Summen höheren Grades Null wären.

Ich verstehe nicht so recht was du damit meinst ich solle mich explizit auf die Gleichheit von Polynomen beschränken. Ist das nicht im Grunde das selbe?

Bezug
                                                                
Bezug
Polynome, Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 Mo 26.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Also, wenn ich für die zweite Darstellung auch einen
> höheren Grad erlauben würde, dann würde das ohnehin
> direkt sich wieder auf den "echten" Grad reduzieren, weil
> wieder der Koeffizientenvergleich dafür sorgt, dass die
> Summen höheren Grades Null wären.

Hallo,

ja, natürlich läuft es darauf hinaus, daß die zweite Darstellung dieselbe wie die erste ist. Das sollst Du ja zeigen.

Aber wenn Du annimmst, daß es eine zweite Darstellung gibt, mußt Du doch erstmal annehmen, daß sie einen anderen Grad (größer oder kleiner) und andere Koeffizieten hat, und dann machst Du vor, daß das nicht sein kann.


>  
> Ich verstehe nicht so recht was du damit meinst ich solle
> mich explizit auf die Gleichheit von Polynomen
> beschränken. Ist das nicht im Grunde das selbe?

Nicht beschränken. Beziehen.
Der Koeffizientenvergleich ist eine Folge davon, wie die Gleichheit von Polynomen definiert ist.
Weil man weiß, was die Gleichheit von Polynomen ist, vergleicht man die Koeffizienten.

LG Angela






Bezug
                                                        
Bezug
Polynome, Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:14 Mo 26.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Dann vergleicht man also die Polynome welche später als
> Eintrag in der Matrix vorkommen?

Hallo,

ich weiß nicht, was Du meinst.
Vielleicht formulierst Du die Frage etwas deutlicher.

LG Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]