Polynome multiplizieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Di 26.05.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe | Es seien a(x), b(x) [mm] \in \IR[x], [/mm] definiert durch:
a(x) := [mm] \sum_{l=0}^m l\cdot x^l [/mm] = [mm] (x+2x^2+3x^3+..+m\cdot x^m) [/mm] und b(x) := [mm] \sum_{l=0}^n x^l [/mm] = [mm] (1+x+x^2+..+x^n), [/mm] wobei m [mm] \geq [/mm] n [mm] \geq [/mm] 1.
a) Berechnen Sie explizit die Koeffizienten von c(x) := a(x) [mm] \cdot [/mm] b(x) |
Hallo,
diese Aufgabe ist ein großes Fragezeichen für mich.
Was mir Kopfzerbrechen bereitet ist das "explizit". Wie soll ich denn explizite Koeffizienten berechnen wenn die Polynom theoretisch unendlich lang sein können, also keine Grenzen für m und n existieren?
Wie fängt man sowas an? Mein einziger Ansatz bisher war es einfach die beiden Polynome zu multiplizieren, also [mm] (l\cdot [/mm] x) [mm] \cdot (x^l) [/mm] = [mm] l\cdot x^{2l}.
[/mm]
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
Du musst auf jeden Fall das Distributivgesetz bei der Multiplikation anwenden; dann wuerde ich nach Potenzen von $x$ neu ordnen. Z.B. [mm] $(x+2x^{2})(1+x)= x+2x^{2}+ x^{2}+2x^{3}= x+3x^{2}+2x^{3}$.
[/mm]
Eine explizite Darstellung der Koeffizienten wird sicherlich bedeuten, dass Du Dir ein Bildungsgesetz ueberlegen sollst. Vermutlich springt es ins Auge, wenn Du ein paar Beispiele rechnest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Di 26.05.2015 | | Autor: | Ceriana |
Ich habe jetzt mal einige Beispiele durchgerechnet, kann aber keine Ähnlichkeiten erkennen. Oder ist mit expliziter Darstellung (bzw. Bildungsgesetz) einfach gemeint dass ich das ohne Summenformel aufschreibe, sprich:
[mm] (a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + .. + [mm] a_{m-1}) \cdot (b_0 [/mm] + [mm] b_1 [/mm] + .. + [mm] b_{n-1})?
[/mm]
Das wäre ja viel zu einfach, daher denk ich dass das falsch ist..
Man könnte es natürlich noch aufschreiben als
[mm] a_0 \cdot b_0 [/mm] + [mm] a_0 \cdot b_1 [/mm] + .. + [mm] a_0 \cdot b_{n-1}
[/mm]
+ [mm] a_1 \cdot b_0 [/mm] + [mm] a_1 \cdot b_1 [/mm] + .. + [mm] a_1 \cdot b_{n-1}
[/mm]
+ ...
+ [mm] a_{m-1} \cdot b_0 [/mm] + [mm] a_{m-1} \cdot b_1 [/mm] + .. + [mm] a_{m-1} \cdot b_{n-1}
[/mm]
aber das bringt außer Schreibarbeit keinen wirklichen Mehrwert.. Kann man mit [mm] $lx^l$ \cdot x^l [/mm] = [mm] lx^{2l} [/mm] nichts anfangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
Schreib das mal vernuenftig mit den fehlenden Potenzen von $x$ auf, damit man den Term wieder als Polynom mit geordneten Potenzen von $x$ schreiben kann. Die so gewonnnen Faktoren vor den $x$-Potenzen sind die gesuchten Ausdruecke.
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Hallo Ceriana,
> Ich habe jetzt mal einige Beispiele durchgerechnet, kann
> aber keine Ähnlichkeiten erkennen. Oder ist mit expliziter
> Darstellung (bzw. Bildungsgesetz) einfach gemeint dass ich
> das ohne Summenformel aufschreibe, sprich:
>
> [mm](a_0[/mm] + [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2[/mm] + .. + [mm]a_{m-1}) \cdot (b_0[/mm] + [mm]b_1[/mm] + .. +
> [mm]b_{n-1})?[/mm]
Das ist sinnlos, da alle x-Potenzen fehlen.
> Das wäre ja viel zu einfach, daher denk ich dass das
> falsch ist..
Stimmt, so ist es falsch.
> Man könnte es natürlich noch aufschreiben als
>
> [mm]a_0 \cdot b_0[/mm] + [mm]a_0 \cdot b_1[/mm] + .. + [mm]a_0 \cdot b_{n-1}[/mm]
> +
> [mm]a_1 \cdot b_0[/mm] + [mm]a_1 \cdot b_1[/mm] + .. + [mm]a_1 \cdot b_{n-1}[/mm]
> +
> ...
> + [mm]a_{m-1} \cdot b_0[/mm] + [mm]a_{m-1} \cdot b_1[/mm] + .. + [mm]a_{m-1} \cdot b_{n-1}[/mm]
>
> aber das bringt außer Schreibarbeit keinen wirklichen
> Mehrwert..
Stimmt auch. Wenn, dann musst Du schon die vollständigen Polynome miteinander multiplizieren. Dann bringt der Weg aber mehr, siehe dazu meine andere Antwort, die ich gleich an die ursprüngiche Frage hängen werde.
> Kann man mit [mm]lx^l[/mm] [mm]\cdot x^l[/mm] = [mm]lx^{2l}[/mm] nichts
> anfangen?
Naja, das ist ja nur ein klitzekleiner Teil der nötigen Multiplikationen.
Grüße
reverend
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Hallo Ceriana,
erstmal zur Aufgabenstellung:
> Es seien a(x), b(x) [mm]\in \IR[x],[/mm] definiert durch:
>
> a(x) := [mm]\sum_{l=0}^m l\cdot x^l[/mm] = [mm](x+2x^2+3x^3+..+m\cdot x^m)[/mm]
> und b(x) := [mm]\sum_{l=0}^n x^l[/mm] = [mm](1+x+x^2+..+x^n),[/mm] wobei m
> [mm]\geq[/mm] n [mm]\geq[/mm] 1.
>
> a) Berechnen Sie explizit die Koeffizienten von c(x) :=
> a(x) [mm]\cdot[/mm] b(x)
>
> Hallo,
>
> diese Aufgabe ist ein großes Fragezeichen für mich.
>
> Was mir Kopfzerbrechen bereitet ist das "explizit". Wie
> soll ich denn explizite Koeffizienten berechnen wenn die
> Polynom theoretisch unendlich lang sein können, also keine
> Grenzen für m und n existieren?
Gefragt ist folgendes. Wenn Du z.B. m=436 und n=271 gegeben hast, dann sollst Du die Koeffizienten von c(x), nennen wir sie [mm] c_i, [/mm] direkt berechnen können, ohne gleich alle zu bestimmen.
Du weißt z.B., dass [mm] c_0=0 [/mm] ist.
Aber wie groß sind [mm] c_{199}, c_{343} [/mm] und [mm] c_{618}?
[/mm]
Dafür sollst Du eine explizite Formel angeben, so dass der betreffende Koeffizient unmittelbar bestimmt werden kann.
Das heißt nicht, dass die Formel einfach sein muss...
> Wie fängt man sowas an? Mein einziger Ansatz bisher war es
> einfach die beiden Polynome zu multiplizieren, also [mm](l\cdot[/mm]
> x) [mm]\cdot (x^l)[/mm] = [mm]l\cdot x^{2l}.[/mm]
Ja, genau.
Hier mal ein paar Beispiele:
m=n=1
a(x)=x
b(x)=1+x
[mm] c(x)=x+x^2
[/mm]
m=2, n=1
[mm] a(x)=x+2x^2
[/mm]
b(x)=1+x
[mm] c(x)=x+3x^2+2x^3
[/mm]
m=3, n=1
[mm] a(x)=x+2x^2+3x^3
[/mm]
b(x)=1+x
[mm] c(x)=x+3x^2+5x^3+3x^4
[/mm]
m=4, n=1
[mm] a(x)=x+2x^2+3x^3+4x^4
[/mm]
b(x)=1+x
[mm] c(x)=x+3x^2+5x^3+7x^4+4x^5
[/mm]
Für n=1 und m>n solltest Du jetzt schon auf ein Bildungsgesetz kommen.
Mühsamer dann für größeres n. Wieder ein paar Beispiele:
m=3, n=3
[mm] a(x)=x+2x^2+3x^3
[/mm]
[mm] b(x)=1+x+x^2+x^3
[/mm]
[mm] c(x)=x+3x^2+6x^3+6x^4+5x^5+3x^6
[/mm]
m=4, n=3
[mm] a(x)=x+2x^2+3x^3+4x^4
[/mm]
[mm] b(x)=1+x+x^2+x^3
[/mm]
[mm] c(x)=x+3x^2+6x^3+10x^4+9x^5+7x^6+4x^7
[/mm]
Zwischenbemerkung: 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 9=2+3+4, 7=3+4, 4=4.
Da sieht man doch schon mehr…
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 28.05.2015 | | Autor: | Ceriana |
Hallo und danke für deine Antwort, die hat mich weitergebracht. Sorry dass ich erst jetzt antworten kann, hatte viel um die Ohren.
Ich habe mal versucht deine Additionen bzw. dieses "Bildungsgesetz" zu formalisieren:
[mm] \left(\sum\limits_{i=1}^m \left(\frac{i^2+i}{2}\cdot x^i\right)\right)+\left(\sum\limits_{j=1}^n \left(\frac{m(m+1)-(j^2+j)}{2}\cdot x^{j+m}\right)\right)
[/mm]
Das funktioniert, aber ich weiß nicht ob das mit "explizit Koeffizienten angeben" gemeint ist. Meinst du das ist die gesuchte Lösung der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und danke für deine Antwort, die hat mich
> weitergebracht. Sorry dass ich erst jetzt antworten kann,
> hatte viel um die Ohren.
>
> Ich habe mal versucht deine Additionen bzw. dieses
> "Bildungsgesetz" zu formalisieren:
>
> [mm]\left(\sum\limits_{i=1}^m \left(\frac{i^2+i}{2}\cdot x^i\right)\right)+\left(\sum\limits_{j=1}^n \left(\frac{m(m+1)-(j^2+j)}{2}\cdot x^{j+m}\right)\right)[/mm]
>
> Das funktioniert, aber ich weiß nicht ob das mit "explizit
> Koeffizienten angeben" gemeint ist. Meinst du das ist die
> gesuchte Lösung der Aufgabe?
das müßtest Du mal vorrechnen und ggf. beweisen. Ich schaue einfach
mal hier:
https://matheraum.de/read?i=1055931
rein:
Bei Dir wäre
a*b = $ [mm] \summe_{k=0}^{m} \summe_{l=0}^{n} a_{k}\cdot{}b_{l}\cdot{}x^{k}\cdot{}x^{l} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} a_{k}\cdot{}b_{u-k})\cdot{}x^{u} [/mm] $
Die [mm] $c_u:=\summe_{k=0}^{u} a_{k}\cdot{}b_{u-k}$ [/mm] sind dabei die gesuchten Koeffizienten; dabei sind *neu
auftauchende Koeffizienten* auf den Wert 0 zu setzen. Es gilt damit:
[mm] $c_u=\summe_{k=0}^{u} a_{k}\cdot{}b_{u-k}=\sum_{k=0}^u k=\frac{u}{2}(u+1)$
[/mm]
jedenfalls für [mm] $u=0,...,n\,.$
[/mm]
Nun sei $u > n$, also $u=n+p$ mit einem $p [mm] \in \IN$ [/mm] ($0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
(I) [mm] $c_u=\summe_{k=0}^{u} a_{k}\cdot{}b_{u-k}=\summe_{k=0}^{n+p} a_{k}\cdot{}b_{n+p-k}\stackrel{a_k = 0 \text{ für }k > m}{=}\summe_{k=0}^{\min\{m, n+p\}} a_{k}\cdot{}b_{n+p-k}=\summe_{k=0}^{p-1} a_{k}\cdot{}\underbrace{b_{n+p-k}}_{=0,\text{ weil ?}}\;\;+\;\summe_{k=p}^{\min\{m, u\}} a_{k}\cdot{}b_{n+p-k}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=p}^{\min\{m, u\}} k=\sum_{k=0}^{\min\{m, u\}}k\;\;-\;\sum_{k=0}^{p-1}k=\frac{\min\{m, u\}}{2}(\min\{m, u\}+1)-\frac{p-1}{2}*p$
[/mm]
Testen wir das mal: Bei reverend war am Ende
[mm] $m=4\,,$ [/mm] und $n=3$.
Er hatte
[mm] $c(x)=x+3x^2+6x^3+10x^4+9x^5+7x^6+4x^7$
[/mm]
berechnet, also
[mm] $c(x)=0+1*x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+9*x^5+7*x^6+4*x^7$
[/mm]
Nach obiger Formel:
[mm] $c_0=0/2*(0+1)=0$ [/mm] passt
[mm] $c_1=1/2*(1+1)=1$ [/mm] passt
[mm] $c_2=2/2*(2+1)=3$ [/mm] passt
[mm] $c_3=3/2*(3+1)=6$ [/mm] passt
Wir haben jetzt $u=n=3$ erreicht!
Nun ist $4=3+1=n+1$, also $p=1$ und damit
[mm] $c_4=\frac{\min\{4, 4\}}{2}(\min\{4, 4\}+1)-\frac{1-1}{2}*1=\frac{\min\{4, 4\}}{2}(\min\{4, 4\}+1)=\frac{4}{2}*5=10$ [/mm] passt
Weiter $5=n+2$, also $p=2$ und damit
[mm] $c_5=\frac{\min\{4, 5\}}{2}(\min\{4, 5\}+1)-\frac{2-1}{2}*2=\frac{4}{2}(4+1)-1=10-1=9$ [/mm] passt
Weiter $6=n+3$, also $p=3$ und damit
[mm] $c_6=\frac{\min\{4, 6\}}{2}(\min\{4, 6\}+1)-\frac{3-1}{2}*3=10-3=7$ [/mm] passt
Weiter $7=n+4$, also $p=3$ und damit
[mm] $c_7=10-\frac{4-1}{2}*4=10-6=4$ [/mm] passt
Bei der Herleitung der Formel muss man sich noch irgendwo klarmachen,
dass [mm] $c_u=0$ [/mm] für $u [mm] \ge m+n+1\,$ [/mm] - bzw. besser formuliert:
Man braucht nur [mm] $c_u$ [/mm] für alle $u [mm] \in \{0,\dots,m+n\}\,.$
[/mm]
Dafür hilft nochmal ein Blick in die erste Zeile von (I), ganz nach rechts!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien a(x), b(x) [mm]\in \IR[x],[/mm] definiert durch:
>
> a(x) := [mm]\sum_{l=0}^m l\cdot x^l[/mm] = [mm](x+2x^2+3x^3+..+m\cdot x^m)[/mm]
> und b(x) := [mm]\sum_{l=0}^n x^l[/mm] = [mm](1+x+x^2+..+x^n),[/mm] wobei m
> [mm]\geq[/mm] n [mm]\geq[/mm] 1.
>
> a) Berechnen Sie explizit die Koeffizienten von c(x) :=
> a(x) [mm]\cdot[/mm] b(x)
>
> Hallo,
>
> diese Aufgabe ist ein großes Fragezeichen für mich.
>
> Was mir Kopfzerbrechen bereitet ist das "explizit". Wie
> soll ich denn explizite Koeffizienten berechnen wenn die
> Polynom theoretisch unendlich lang sein können, also keine
> Grenzen für m und n existieren?
>
> Wie fängt man sowas an? Mein einziger Ansatz bisher war es
> einfach die beiden Polynome zu multiplizieren, also [mm](l\cdot[/mm]
> x) [mm]\cdot (x^l)[/mm] = [mm]l\cdot x^{2l}.[/mm]
bei einer solchen Produkt spricht man auch von einem *Faltungsprodukt*.
Schau' dazu mal in Deinen Unterlagen nach.
Und Du kannst auch etwa hier:
https://matheraum.de/read?i=1055944#artikelmenu
bzw. hier:
https://matheraum.de/read?i=1055948
mal reinschauen - dort habe ich das Ganze *etwas mehr für Anwender*
ein wenig zusammengeschrieben (siehe Dokumente)!
P.S. In dem letzten Dokument habe ich auch gerade gesehen, dass ich
auf
https://matheraum.de/read?i=1037283
verlinkt hatte. Das ist deswegen interessant, weil man sich so den
Algorithmus zur Berechnung des Faltungsprodukts klar machen kann.
Und meist steigt auch dadurch schon das Verständnis. 
Gruß,
Marcel
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