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Polynomfunktion 4. Grades: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Fr 19.09.2008
Autor: mitex

Aufgabe
Der Graf einer Polynomfunktion vierten Grades hat im Ursprung einen Sattelpunkt und einen weiteren Wendepunkt W2(-2/2).
a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung f(x).
b)Berechnen Sie die Gleichung der Tangente tw2 in W2 und jenen Punkt des Grafen, der eine zu tw2 parallele Tangente hat.  

Grüß euch!

Der 1. Teil der Aufgabenstellung stellt kein Problem dar,
meine Frage betrifft Punkt b, und zwar: "Berechnen Sie jenen Punkt des Grafen, der eine zu tw2 parallele Tangente hat".

Bin komplett ratlos, habe eine derartige Aufgabenstellung noch nie gehört oder gelesen (sitze jetzt schon 1 h vor den Büchern und kann nichts derartiges herauslesen).

Könnte mit bitte jemand erklären was hier gemeint ist?


Gruß, mitex

        
Bezug
Polynomfunktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Fr 19.09.2008
Autor: Ines70

Hallo Mitex,
ich bin neu im Forum und hoffe, dass alles Klappt:
1. Du musst die Gleichung der Tangenten im Punkt W2(-2/2) bestimmen.
2. Der Anstieg der Tangenten im Punkt ist gleich dem Wert der ersten Ableitung in diesem Punkt! (Ergebnis: y= -2x-2 Tangentengleichung)
3. Den Punkt zu finden, dessen Tangente parallel zur obigen ist, kann man wie folgt: -parallele Geraden haben den gleichen Anstieg, das heißt
                -finde alle x-Werte, für die die erste Ableitung deiner Funktion -2
                ist
                -dies führt zu einer Gleichung dritten Grades (-05x³-1,5x²=-2)
                -weil ja die Tangente durch (-2/2) den Anstieg -2 hat, musst du
                  durch Umformung der Gleichung und Polynomdivision durch den
                  Term(x+2) die Gleichung reduzieren auf eine quadratische      
                  Gleichung (Ergebnis: x²+x-2 = 0 )
                - deren Lösung ist -2 und +1
                - der Punkt (1/f(1)) hat auch den Anstieg -2, deshalb heißt der gesuchte Punkt P(1/-0,625)

Ich hoffe ich konnte dir mit der erklärung helfen

Bezug
                
Bezug
Polynomfunktion 4. Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Fr 19.09.2008
Autor: mitex

Hallo Ines70,

herzlichen Dank für die schnelle Antwort, fürs erste liest sich das noch etwas verwirrend, aber ich werde mich dann noch intensiver damit beschäftigen.

Gruß, mitex

Bezug
                
Bezug
Polynomfunktion 4. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 So 21.09.2008
Autor: mitex

Grüß euch,
kann leider mit der Erklärung von Ines70 nicht wirklich viel anfangen.

Der 1. Teil der Aufgabe geht ja:
[mm] f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm]
f(0)=0
f'(0)=0
f"(0)=0
f(-2)=2
f"(-2)=0

Somit lautet die Funktionsgleichung: [mm] f(x)=\bruch{1}{8}(x^4+4x^3) [/mm]

Teil 2:

[mm] f'(x)=\bruch{1}{8}(4x^3+12x^2) [/mm]
[mm] f'(-2)=\bruch{1}{8}(-32+48)= \bruch{1}{8}*16=2 [/mm]

y=kx+d
2=2(-2)+d
d=-2

y=-2x-2


Aber jetzt:
f'(x)=-2: [mm] 4ax^3+3bx^2+2cx+d=-2 [/mm]

> -finde alle x-Werte, für die die erste Ableitung deiner
> Funktion -2 ist
>                  -dies führt zu einer Gleichung dritten
> Grades (-05x³-1,5x²=-2)
>                  -weil ja die Tangente durch (-2/2) den
> Anstieg -2 hat, musst du
> durch Umformung der Gleichung und Polynomdivision durch den
> Term(x+2) die Gleichung reduzieren auf eine quadratische    
>    
> Gleichung (Ergebnis: x²+x-2 = 0 )
>                  - deren Lösung ist -2 und +1
>                  - der Punkt (1/f(1)) hat auch den Anstieg
> -2, deshalb heißt der gesuchte Punkt P(1/-0,625)
>  
> Ich hoffe ich konnte dir mit der erklärung helfen  


Bin hier - würde ich sagen - einfach überfordert, könnte es noch jemand versuchen mir weiterzuhelfen.

Gruß
mitex


Bezug
                        
Bezug
Polynomfunktion 4. Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 So 21.09.2008
Autor: Sigrid

Hallo mitex,

> Grüß euch,
>  kann leider mit der Erklärung von Ines70 nicht wirklich
> viel anfangen.
>
> Der 1. Teil der Aufgabe geht ja:
>  [mm]f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm]
>  f(0)=0
>  f'(0)=0
>  f"(0)=0
>  f(-2)=2
>  f"(-2)=0
>  
> Somit lautet die Funktionsgleichung:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{8}(x^4+4x^3)[/mm]
>  
> Teil 2:
>  
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{8}(4x^3+12x^2)[/mm]
>  [mm]f'(-2)=\bruch{1}{8}(-32+48)= \bruch{1}{8}*16=2[/mm]
>  
> y=kx+d
>  2=2(-2)+d
>  d=-2
>  
> y=-2x-2
>  
>
> Aber jetzt:
>  f'(x)=-2: [mm]4ax^3+3bx^2+2cx+d=-2[/mm]

Warum schreibst Du die Gleichung nicht mit den bereits gefundenen Werten?

Du hast doch

[mm]f'(x)=\bruch{1}{8}(4x^3+12x^2)[/mm]

Jetzt suchst Du diejenigen Werte für x, für die f'(x)=2, denn die Wendetangente hat ja die Steigung 2, und damit die parallelen Tangenten auch.

Du hast also

$ [mm] \bruch{1}{8}(4x^3+12x^2) [/mm] = 2 $

$ [mm] \gdw x^3 [/mm] + 3 [mm] x^2 [/mm] - 4 = 0 $

Diese Gleichung kannst Du jetzt mit Hilfe der Polynomdivision lösen. Kennst Du die?
Eine Lösung kennst Du ja schon. das ist die Wendestelle x = -2, also dividierst Du durch (x+2).

Kommst Du jetzt weiter?

Gruß
Sigrid



> > -finde alle x-Werte, für die die erste Ableitung deiner
> > Funktion -2 ist
>  >                  -dies führt zu einer Gleichung dritten
> > Grades (-05x³-1,5x²=-2)
>  >                  -weil ja die Tangente durch (-2/2) den
> > Anstieg -2 hat, musst du
> > durch Umformung der Gleichung und Polynomdivision durch den
> > Term(x+2) die Gleichung reduzieren auf eine quadratische    
> >    

> > Gleichung (Ergebnis: x²+x-2 = 0 )
>  >                  - deren Lösung ist -2 und +1
>  >                  - der Punkt (1/f(1)) hat auch den
> Anstieg
> > -2, deshalb heißt der gesuchte Punkt P(1/-0,625)
>  >  
> > Ich hoffe ich konnte dir mit der erklärung helfen  
>
>
> Bin hier - würde ich sagen - einfach überfordert, könnte es
> noch jemand versuchen mir weiterzuhelfen.
>
> Gruß
> mitex
>  


Bezug
                                
Bezug
Polynomfunktion 4. Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:40 So 21.09.2008
Autor: mitex

Grüß dich Sigrid,

herzlichsten Dank, jetzt hatte ich den aha-Effekt.

Habe nun meine bereits errechneten Werte in die 1. Abteilung geschrieben und eine Polynomdivision durchgeführt mit dem 2. Ergenis 1, damit bekam ich die parallele Tangente am Punkt [mm] (1/\bruch{5}{8}). [/mm]

Hoffe ich brauche eure Hilfe heute nicht mehr,
liebe Grüße,
mitex

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