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Polynominterpolations-Operator: Beweis so richtig ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Sa 31.01.2015
Autor: SusanneK

Aufgabe
Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm] bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
[mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
Man weise folgendes nach:
[mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]

Hallo,
in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm] werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm] und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung ist 1.

Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]

Kann man das so machen ?

Danke im Voraus, Susanne


        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:50 So 01.02.2015
Autor: hippias


> Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> Man weise folgendes nach:
>  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> Hallo,
>  in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
>  Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung
> ist 1.
>  
> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> Kann man das so machen ?

Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht das Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall $[a,b]$ gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher wird dies i.a. $>1$ sein.
Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?

Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen Funktionen mit Supremumsnorm $1$.

Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage

> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  

keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm [mm] $||.||_{\infty}$ [/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist z.B. [mm] $||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|$. [/mm]

>  
> Danke im Voraus, Susanne
>  


Bezug
                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 So 01.02.2015
Autor: SusanneK

Hallo hippias,
danke für Deine Hilfe !

> > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
> >  

> > Man weise folgendes nach:
>  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> >  

> > Hallo,
>  >  in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
>  >  Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> Gleichung
> > ist 1.
>  >  
> > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> > Kann man das so machen ?
>  Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht das
> Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
>  Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?

(zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)

Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die Stützstellen eingesetzt - danke.
Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x und damit 1.

>  
> Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
>  
> Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
>  > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also

> > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].

  
Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?

LG und danke, Susanne

Bezug
                        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 01.02.2015
Autor: hippias


> Hallo hippias,
>  danke für Deine Hilfe !
>  
> > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> > >  

> > > Man weise folgendes nach:
>  >  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Hallo,
>  >  >  in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
>  >  >  Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> > Gleichung
> > > ist 1.
>  >  >  
> > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Kann man das so machen ?
>  >  Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht
> das
> > Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> > [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> > wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
>  >  Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
>  
> (zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die
> Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)
>  
> Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die
> Stützstellen eingesetzt - danke.
>  Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome
> [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante
> 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x
> und damit 1.

Das stimmt, und das habe ich uebersehen! Aber: Du addierst nicht die [mm] $L_{i}$, [/mm] sondern ihre Betraege. Da kommt dann in der Summe nicht mehr ohne weiteres $1$ heraus.

>  
> >  

> > Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> > Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
>  >  
> > Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
>  >  > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also

> > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> > [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> > z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].
>    
> Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?

Ich verstehe die Frage nicht: Wenn Du die Definition wissen moechtest, dann solltest Du sie nachschlagen. Laut Aufgabenstellung gilt [mm] $||\mathcal{L}_n||_{\infty}= \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}$. [/mm]

>  
> LG und danke, Susanne

Ich moechte uebrigens nicht sagen, dass es nicht $=1$ ist, denn so intensiv habe ich mich der Frage nicht beschaeftigt. Aber Deine Herleitung ueberzeugt mich nicht.

Bezug
                                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 So 01.02.2015
Autor: SusanneK


> > Hallo hippias,
>  >  danke für Deine Hilfe !
>  >  
> > > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  >  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> >  

> > > >  

> > > > Man weise folgendes nach:
>  >  >  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Hallo,
>  >  >  >  in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > > > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > > > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > > > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
>  >  >  >  Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> > > Gleichung
> > > > ist 1.
>  >  >  >  
> > > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Kann man das so machen ?
>  >  >  Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich
> nicht
> > das
> > > Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> > > [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> > > wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
>  >  >  Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
>  >  
> > (zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die
> > Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)
>  >  
> > Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die
> > Stützstellen eingesetzt - danke.
>  >  Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome
> > [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante
> > 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x
> > und damit 1.
>  Das stimmt, und das habe ich uebersehen! Aber: Du addierst
> nicht die [mm]L_{i}[/mm], sondern ihre Betraege. Da kommt dann in
> der Summe nicht mehr ohne weiteres [mm]1[/mm] heraus.
> >

Puh, stimmt - danke !
Aber wie addiert man denn den Betrag eines Polynoms ?
Ich kann hier doch keine Fallunterscheidung für x machen ?

> > >  

> > > Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> > > Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
>  >  >  
> > > Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
>  >  >  > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also

> > > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> > > [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> > > z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].
>  >    
> > Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?
>  Ich verstehe die Frage nicht: Wenn Du die Definition
> wissen moechtest, dann solltest Du sie nachschlagen. Laut
> Aufgabenstellung gilt [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}= \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].


Oh...tut mir leid....ich meinte schon [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] und nicht [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}[/mm], was laut Aufgabenstellung gegeben ist...aber [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] gibt es gar nicht.
Irgendwie verstehe ich diesen Operator immer weniger.
In den Stützstellen stimmt er mit f überein, aber was ist mit den anderen Punkten im Intervall [a,b] ?

LG und danke, Susanne
  


Bezug
                                        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Mo 02.02.2015
Autor: hippias

Ich mache das ausnahmsweise, denn ich erwarte, dass die Studenten sich selbst ihre Definitionen heraussuchen koennen und in den Vorlesungen aufpassen.

Fuer eine stetige Funktion [mm] $g:[a,b]\to \IR$ [/mm] ist [mm] $||g||_{\infty}:= \sup_{x\in[a,b]} [/mm] |g(x)|$. Da $g$ stetig ist und $[a,b]$ kompakt, wird das Supremum angenommen. Daher ist [mm] $||g||_{\infty}$ [/mm] der betragsmaessig [mm] groe\ss [/mm] te Funktionswert von $g$.

Also suchst Du den betragsmaessig [mm] groe\ss [/mm] ten Wert von [mm] $\mathcal{L}_{n}(f)$ [/mm] unter den Bedingung, dass [mm] $||f||_{\infty}=1$ [/mm] ist.

Ich schaetze, man kann es so zeigen, dass linke Seite [mm] $\leq$ [/mm] rechte Seite und umgegekehrt.

Z.B. sei [mm] $L_{i}$ [/mm] Polynom mit [mm] $L_{i}(x_{j})= \delta_{i,j}$. [/mm] Dann ist [mm] $\mathcal{L}_{n}(f)= \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})L_{i}$. [/mm] Ehe wir zum Supremum uebergehen, schatze erst nun zuerst [mm] $|\mathcal{L}_{n}(f)|$ [/mm] nach oben ab. Beachte auch, dass $f$ betragsmaessig [mm] $\leq [/mm] 1$ ist.

Bezug
                                                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Mo 02.02.2015
Autor: SusanneK

Hallo hippias,
die Definition der Supremumsnorm war mir schon klar. Ich habe die Funktion dieses Operators [mm]\mathcal{L}(f)[/mm] nicht verstanden.
Tut mir leid, da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt.

Auf jeden Fall vielen Dank für Deine Hilfe !!
LG, Susanne


Bezug
        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Mo 02.02.2015
Autor: fred97


> Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].

Was soll den das bedeuten ???   Im Folgenden schreibe ich [mm] L_n [/mm] statt [mm] \mathcal{L}_n [/mm]

Ich gehe davon aus, dass [mm] \Pi_n [/mm] die Mengge aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n bedeutet.

Was tut [mm] L_n [/mm] ?  Du schreibst: $ [mm] (\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm] $. Das ergibt keinen Sinn !

Zunächst bez. ich mit [mm] l_j [/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den Stützstellen $ [mm] x_0,..,x_n \in [/mm] [a,b] $  (j=0,...,n).

Ist nun  f [mm] \in [/mm] C[a,b], so setze

     [mm] p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j. [/mm]

Dann ist [mm] L_n [/mm] def. durch

    [mm] L_n(f):=p_f. [/mm]

So das hätten wir.


>  
> Man weise folgendes nach:
>  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]


Das soll wohl lauten:

[mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].

Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:

[mm] sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} [/mm] = [mm] \max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\} [/mm]

Wir setzen [mm] M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}. [/mm]



So nun nehmen wir uns ein [mm] f\in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f||_{\infty}=1 [/mm] her. Dann ist für x [mm] \in [/mm] [a,b]:

  [mm] |L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le [/mm] M.

Also:  [mm] |L_n(f)(x)| \le [/mm] M für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].

Das bedeutet: [mm] ||L_n(f)||_{\infty} \le [/mm] M.

Nun war  [mm] f\in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f||_{\infty}=1 [/mm] beliebig, also folgt:

   [mm] $sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le [/mm] M$.

So, nun finde Du ein [mm] f_0 \in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f_0||_{\infty}=1 [/mm] derart, dass

    $ [mm] ||L_n(f_0)||_{\infty} [/mm] = M$


Dann haben wir.

  [mm] $sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= [/mm] M$.

FRED


>  
> Hallo,
>  in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
>  Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung
> ist 1.
>  
> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>  
> Kann man das so machen ?
>  
> Danke im Voraus, Susanne
>  


Bezug
                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mo 02.02.2015
Autor: SusanneK

Hallo Fred,
ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!

> > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> Was soll den das bedeuten ???   Im Folgenden schreibe ich
> [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
>  
> Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
>  
> Was tut [mm]L_n[/mm] ?  Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> Das ergibt keinen Sinn !
>  
> Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]  (j=0,...,n).
>  
> Ist nun  f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
>  
> [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
>  
> Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
>  
> [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
>  
> So das hätten wir.
>  

Ah...danke !!!

>
> >  

> > Man weise folgendes nach:
>  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
>
> Das soll wohl lauten:
>  
> [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].

Oh...Du hast natürlich recht !
Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.

>  
> Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
>  
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
>  
> Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
>  
>
>
> So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
>  
> [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> M.
>  
> Also:  [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
>  
> Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
>  
> Nun war  [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> folgt:
>
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>  
> So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> derart, dass
>  
> [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
>

Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm] kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?  

>
> Dann haben wir.
>  
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= M[/mm].
>  
> FRED
>  
>
> >  

LG und danke, Susanne

Bezug
                        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Mo 02.02.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!
>  
> > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> >  

> > Was soll den das bedeuten ???   Im Folgenden schreibe ich
> > [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
>  >  
> > Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> > vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
>  >  
> > Was tut [mm]L_n[/mm] ?  Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> > Das ergibt keinen Sinn !
>  >  
> > Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> > Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]  (j=0,...,n).
>  >  
> > Ist nun  f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
>  >  
> > [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
>  >  
> > Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
>  >  
> > [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
>  >  
> > So das hätten wir.
>  >  
> Ah...danke !!!
>  >

> > >  

> > > Man weise folgendes nach:
>  >  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> >  

> >
> > Das soll wohl lauten:
>  >  
> > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
>  
> Oh...Du hast natürlich recht !
>  Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.
>  
> >  

> > Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
>  >  
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> > [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
>  >  
> > Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
>  
> >  

> >
> >
> > So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> > her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
>  >  
> > [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> > M.
>  >  
> > Also:  [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
>  >  
> > Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
>  >  
> > Nun war  [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> > folgt:
> >
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>  
> >  

> > So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> > derart, dass
>  >  
> > [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
>  >

> Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm]
> kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens
> ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst
> wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?  

Ich verstehe nicht, was Du meinst !

FRED

>
> >
> > Dann haben wir.
>  >  
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= M[/mm].
>  
> >  

> > FRED
>  >  
> >
> > >  

> LG und danke, Susanne


Bezug
                                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:17 Mo 02.02.2015
Autor: SusanneK


> > Hallo Fred,
>  >  ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!
>  >  
> > > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
>  >  >  >  [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > Was soll den das bedeuten ???   Im Folgenden schreibe ich
> > > [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
>  >  >  
> > > Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> > > vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
>  >  >  
> > > Was tut [mm]L_n[/mm] ?  Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> > > Das ergibt keinen Sinn !
>  >  >  
> > > Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> > > Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]  (j=0,...,n).
>  >  >  
> > > Ist nun  f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
>  >  >  
> > > [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
>  >  >  
> > > Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
>  >  >  
> > > [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
>  >  >  
> > > So das hätten wir.
>  >  >  
> > Ah...danke !!!
>  >  >

> > > >  

> > > > Man weise folgendes nach:
>  >  >  >  [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > >
> > > Das soll wohl lauten:
>  >  >  
> > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
>  
> >  

> > Oh...Du hast natürlich recht !
>  >  Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.
>  >  
> > >  

> > > Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
>  >  >  
> > > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> > > [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
>  >  >  
> > > Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > >
> > >
> > > So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> > > her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
>  >  >  
> > > [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> > > M.
>  >  >  
> > > Also:  [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
>  >  >  
> > > Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
>  >  >  
> > > Nun war  [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> > > folgt:
> > >
> > > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>  
> >  

> > >  

> > > So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> > > derart, dass
>  >  >  
> > > [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
>  >  >

> > Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm]
> > kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens
> > ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst
> > wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?  
>
> Ich verstehe nicht, was Du meinst !

Mir ist nicht klar, wieso ich zeigen soll, dass es ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm] gibt.
Mit der konstanten Funktion 1 hat man das doch immer. Aber wenn ich das einsetze, dann erhalte ich wieder [mm]|L_n(1)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm] M.
Damit habe ich doch nichts gewonnen ?

LG und danke, Susanne




Bezug
                                        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:39 Di 03.02.2015
Autor: SusanneK

Jetzt habe ich lange nach einer Funktion gesucht mit Norm 1 und bin auf die Vorzeichenfunktion sgn gestoßen, die jeden Funktionswert positiv macht.
Damit ist dann [mm]||L_n||_{\infty}\ge |L_n(f)(x)|[/mm] und wenn man durch f=sgn nur positive Werte zwischen den Betragsstrichen erhält, dann ist
[mm]|L_n(f)(x)|=\sum_{j=0}^n|l_j(x)|[/mm]
und insgesamt erhält man die Gleichheit.
Geht es so ?

LG und danke, Susanne



Bezug
                                                
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Do 05.02.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Polynominterpolations-Operator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 04.02.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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