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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Population stabile Verteilung
Population stabile Verteilung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Population stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 So 11.05.2014
Autor: einfach_chris

Aufgabe
Parameter einer Populationsmatrix ermitteln, so dass sich langfristig eine stationäre Verteilung ergibt.

[mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & x \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,6 & 0,8 \end{pmatrix} [/mm]

Hallo!

Ein Weg, der auf die richtige Lösung führt, kann ich nicht nachvollziehen:

0,6*0,6*x+0,8=1

=> x=5/9

Für das Verständnis bräuchte ich Hilfe :)

LG,
Christian


        
Bezug
Population stabile Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 So 11.05.2014
Autor: abakus


> Parameter einer Populationsmatrix ermitteln, so dass sich
> langfristig eine stationäre Verteilung ergibt.

>

> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & x \\ 0,6 & 0 & 0 \\ 0 & 0,6 & 0,8 \end{pmatrix}[/mm]

>

> Hallo!

>

> Ein Weg, der auf die richtige Lösung führt, kann ich
> nicht nachvollziehen:

>

> 0,6*0,6*x+0,8=1

>

> => x=5/9

>

> Für das Verständnis bräuchte ich Hilfe :)

>

> LG,
> Christian

>
Das Produkt 0,6*0,6 kannst du als EINE Zahl schreiben. 
Dann folgt der Rechenbefehl: Subtrahiere auf beiden Seiten 0,8.
Es folgt noch eine beidseitige Division.
Kommst du klar?
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Population stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 So 11.05.2014
Autor: einfach_chris

Hallo,

danke für die Antwort, aber die Umformung ist mir klar :)

Das Verständnis, warum dieser Rechenweg eine korrekte Lösung liefert (sozusagen der Sinn dahinter) fehlt mir...

LG

Bezug
                        
Bezug
Population stabile Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 11.05.2014
Autor: abakus


> Hallo,

>

> danke für die Antwort, aber die Umformung ist mir klar :)

>

> Das Verständnis, warum dieser Rechenweg eine korrekte
> Lösung liefert (sozusagen der Sinn dahinter) fehlt mir...

>

> LG

Wie wäre es denn dann mal mit einer konkreten Aufgabenstellung? Ich kann lediglich erahnen, dass aus irgendwelchen Dingen/Personen/Entwicklungszuständen/... innerhalb eines bestimmten Zeitraums andere Zustände werden.
Das geht nicht verlustfrei ab, denn die Spaltensummen sind nicht 1 (irgendwo stirbt also etwas oder verschwindet aus dem System).
Also: wie lautet die Aufgabe, die unter anderem diese Übergangsmatrix enthält, konkret?
Gruß Abakus

Bezug
                                
Bezug
Population stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 So 11.05.2014
Autor: einfach_chris

Also es geht um eine Populationsentwicklung mit drei Entwicklungsstufen: Jungtiere, Mittelalte Tiere, Altiere


Bezug
                                        
Bezug
Population stabile Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 So 11.05.2014
Autor: abakus


> Also es geht um eine Populationsentwicklung mit drei
> Entwicklungsstufen: Jungtiere, Mittelalte Tiere, Altiere

>
Vorderste Spalte:
Kein Jungtier ist im nachsten Jahr noch ein Jungtier 
--> 0
60% der Jungtiere sind nächstes Jahr mittelalt
--> 0,6  (der Rest wird Kalbfleisch)
Kein Junbgtier wird innerhalb nur eines Jahres zum Alttier
--> 0
Zweite Spalte:
Mittelalte Tiere werden nicht zu Jungtieren
--> 0
Nach einem Jahr sind sie nicht mehr mittelalt
--> 0
60% werden Alttiere (der Rest ist Steak oder Wurst geworden).
Dritte Spalte:
Einige Alttiere erzeugen Jungtiere (für deren Anzahl bzw. Anteil steht das x).
Aus Alttieren werden nicht wieder mittelalte Tiere
-->0
Einige Alttiere (80%) dürfen Alttiere bleiben und werden nicht sofort verwurstet.
Der Anteil der Alttiere (100% bzw. 1) setzt sich zusammen aus den 80% überlebenden Alttieren und den 60% (also das 0,6-fache) der mittelalten Tiere des Vorjahres, die wiederum das 0,6-fache der vor zwei Jahren geborenen Tiere sind (deren Anteil das x-fache der damals vorhandenen Altttiere ist).
Bei einen stationären Prozess ist die Geburtenrate jetzt genau so groß wie vor 2 Jahren, also ebenfalls x.
Gruß Abakus

Bezug
                                                
Bezug
Population stabile Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:29 So 11.05.2014
Autor: einfach_chris

Hallo Abakus,

danke für die Antwort. Nun habe ich es mir rechnerisch selbst hergeleitet. Wenn man die Eigenwerte der Matrix berechnen will und annimmt, dass Lambda 1 ist (stationäre Verteilung), dann kommt man bei der Determinantenberechnung auf den Wert 5/9 bei dieser Matrix. Zusätzlich kann man noch mit dem Eigenvektor die entsprechenden Anteile der stationären Verteilung bestimmen.

Man, das war für mich ein harter Brocken :)

LG


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