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Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 22.06.2003
Autor: Fab

Also erstmal eine oder ein paar wo ich ne lösung habe aber nicht weiß ob sie
richtig ist!!!
also 1.)
[mm] (5^2 [/mm] / [mm] 5^4) [/mm] * 25 ^ 4
=5^(2-4) * [mm] 25^4 [/mm]
=5^(-2) * [mm] 25^4 [/mm]
[mm] =1/5^2 [/mm] * [mm] 25^4 [/mm]
=gekürzt 1 * [mm] 5^4 [/mm]
=725

2.)
[mm] (225^3 [/mm] * [mm] 16^5) [/mm] / [mm] (144^4 [/mm] * [mm] 200^2) [/mm]
[mm] =(15^2^3 [/mm] * [mm] 4^2^5) [/mm] / [mm] (12^2^4 [/mm] * [mm] 200^2) [/mm]
[mm] =(15^6 [/mm] * 4^10) / [mm] (12^8 [/mm] * [mm] 200^2 [/mm]
=GEKÜRZT [mm] 3^6 [/mm] / [mm] (3^8 [/mm] * [mm] 40^2) [/mm]
=weitergekürzt 1 / [mm] 120^2 [/mm]
=1 / 14400

3.)
[x^(2n+1) * y^(2n-1) / a^(2n-1) * b^(2n+1)]   /   [x^(2n-1) * y^(2n+1) /
a^(2n+1) * b^(2n-1)]
=[(xb)^(2n+1) * (ay)^(2n-1)]                            /    [(xb)^(2n-1) *
(ay)^(2n+1)

also das sind erst einmal die wo ich ne Lösung habe aber nicht weiß ob sie
richtig ist!


        
Bezug
Potenzen: 1. Aufgabe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> Also erstmal eine oder ein paar wo ich ne lösung habe aber
> nicht weiß ob sie
> richtig ist!!!
> also 1.)
> [mm] (5^2 [/mm] / [mm] 5^4) [/mm] * 25 ^ 4
> =5^(2-4) * [mm] 25^4 [/mm]
> =5^(-2) * [mm] 25^4 [/mm]
> [mm] =1/5^2 [/mm] * [mm] 25^4 [/mm]

Bis hierhin ist es richtig.

> =gekürzt 1 * [mm] 5^4 [/mm]

Das ist falsch.
Du hattest [mm] \frac{1}{5^2} \cdot 25^4 [/mm].
[mm] = \frac{1}{5^2} \cdot \left(5^2\right)^4 [/mm]
[mm] = \frac{1}{5^2} \cdot 5^{2\cdot 4} [/mm]
[mm] = \frac{1}{5^2} \cdot 5^{8} [/mm]
[mm] = 5^{-2} \cdot 5^{8} [/mm]
[mm] = 5^{-2+8} [/mm]
[mm] = 5^{6} [/mm]
[mm] = 15625[/mm]

Übrigens würde ich bei solchen Potenzaufgaben die Bruch-Rechenregeln gar nicht mehr anwenden (also z.B. kürzen), sondern nur Potenzgesetze. Also z.B. so:

[mm] \frac{5^2}{ 5^4} \cdot 25^4 [/mm]
[mm] = 5^{2 - 4} \cdot 25^4 [/mm]
[mm] = 5^{-2} \cdot 5^8 [/mm]
[mm] = 5^{-2+8} [/mm]
[mm] = 5^{6} [/mm]

Das geht irgendwie schneller...

Die anderen Aufgaben kommen gleich...

Marc.


Bezug
                
Bezug
Potenzen: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 So 22.06.2003
Autor: Fab

ok stimmt
das sieht mit potenzgesetzen viel einfacher aus


Bezug
                
Bezug
Potenzen: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:43 So 22.06.2003
Autor: Fab

aso wie hast du das mit den Bruchstriche und so gemacht?!


Bezug
                        
Bezug
Potenzen: 1. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

das ist nicht so einfach, denn dafür mußt das das Text-Satz-System TeX kennen.
Für einen Bruch müßtest du schreiben:

[mm] [mm] \frac{zaehler}{nenner} [/mm] [/mm] = [mm]\frac{zaehler}{nenner}[/mm]

Beim Senden (oder auch schon in der "Vorschau", siehe Knopf unten) wird dann ein entsprechendes Bildchen statt [mm] ... [/mm] eingefügt


Bezug
        
Bezug
Potenzen: 2. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:48 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo,

> 2.)
> [mm] (225^3 [/mm] * [mm] 16^5) [/mm] / [mm] (144^4 [/mm] * [mm] 200^2) [/mm]
> [mm] =(15^2^3 [/mm] * [mm] 4^2^5) [/mm] / [mm] (12^2^4 [/mm] * [mm] 200^2) [/mm]
> [mm] =(15^6 [/mm] * 4^10) / [mm] (12^8 [/mm] * [mm] 200^2 [/mm]
> =GEKÜRZT [mm] 3^6 [/mm] / [mm] (3^8 [/mm] * [mm] 40^2) [/mm]

Hier ist das Kürzen schon wieder etwas schief gelaufen, aber zum Glück (s.o.) kann man ja darauf verzichten.

Wir hatten:
[mm] =(15^6 [/mm] * 4^10) / [mm] (12^8 [/mm] * [mm] 200^2) [/mm]

Zuerst entferne ich den Nenner, mit dieser Potenzregel: [mm2] \frac{1}{x^n} = x^{-n} [/mm2]:

[mm] =(15^6 \cdot 4^{10}) \cdot (12^8 \cdot 200^2)^{-1} [/mm]

So, jetzt haben wir schon mal keine Brüche mehr.
Anwendung dieser Potenzregel: [mm2] (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n [/mm2]:

[mm] =15^6 \cdot 4^{10} \cdot 12^{-8} \cdot 200^{-2} [/mm]

Ich drücke jetzt alle Basen in ihrer Primfaktorzerlegegung aus:

[mm] =(3\cdot 5)^6 \cdot (2^2)^{10} \cdot (3\cdot 2^2)^{-8} \cdot (2^3 \cdot 5^2)^{-2} [/mm]

Jetzt haben wir gleich nämlich nur noch Potenzen mit Primzahlen als Basis...

[mm] =3^6 \cdot 5^6 \cdot 2^{20} \cdot 3^{-8} \cdot 2^{-16} \cdot 2^{-6} \cdot 5^{-4} [/mm]

... die man jetzt ganz einfach zusammenfassen kann:

[mm] = 2^{20} \cdot 2^{-16} \cdot 2^{-6} \cdot 3^6 \cdot 3^{-8} \cdot 5^6 \cdot 5^{-4} [/mm]

[mm] = 2^{-2} \cdot 3^{-2} \cdot 5^2 [/mm]

Ausrechnen:

[mm] = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} \cdot 25 [/mm]

[mm] = \frac{25}{36} [/mm]

So, gleich zur dritten Aufgabe...

Marc


Bezug
                
Bezug
Potenzen: 2. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 So 22.06.2003
Autor: Fab

Puuuuh
da muss man ersteinmal drauf kommen!
Also wenn ich das jetzt so sehe denke ich "is ja einfach"
aber wenn ich ds selber mache komme ich da níe drauf!


Bezug
                        
Bezug
Potenzen: 2. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

ja, da stimme ich dir zu :-), aber durch Übung hat man das irgendwann drauf. Ich finde diese Aufgaben eigentlich immer ganz leicht, wenn man es vermeidet, zu Kürzen (weil Brüche in diesem Zusammenhang unübersichtlich sind und daher Fehlerquellen sind). Durch dieses eine Potenzgesetz [mm] (1/x^n [/mm] = x^(-n)) wird man die Brüche aber ganz schnell los.

Jetzt kommt der "Trick" mit der Primfaktorzerlegung, womit man viele Potenzen mit gleicher Basis erhält, die man ja dann zusammenfassen kann.

Diese beiden Sachen sind doch eingentlich ziemliche einfache Regeln, die zwar nicht immer der cleverste Weg sind, aber doch immer zum Ziel führen.

So, bin auch schon gleich mit der dritten Aufgabe fertig :-)

Der Mac.


Bezug
        
Bezug
Potenzen: 3. Aufgabe KORREKTUR!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 So 22.06.2003
Autor: Marc

Hallo Fab,

> 3.)
> [x^(2n+1) * y^(2n-1) / a^(2n-1) * b^(2n+1)]   /   [x^(2n-1) *
> y^(2n+1) /
> a^(2n+1) * b^(2n-1)]

Ist das ein Doppelbruch? Also so:
[mm2] \frac { \frac {x^{2n+1} \cdot y^{2n-1} } { a^{2n-1} \cdot b^{2n+1} } }{ \frac {x^{2n-1} \cdot y^{2n+1} } { a^{2n+1} \cdot b^{2n-1} } }[/mm2]
oder war das so gegeben (ist ja das gleiche):
[mm2] \frac {x^{2n+1} \cdot y^{2n-1} } { a^{2n-1} \cdot b^{2n+1} } : \frac {x^{2n-1} \cdot y^{2n+1} } { a^{2n+1} \cdot b^{2n-1} } [/mm2]

Jetzt schreibst du:

> =[(xb)^(2n+1) * (ay)^(2n-1)]                            /  
> [(xb)^(2n-1) *
> (ay)^(2n+1)

aber mir ist nicht klar, wie du z.B. auf (xb)^(2n+1) kommst; (x/b)^(2n+1) hätte ich an dieser Stelle verstanden, oder (xa)^(2n+1), aber xb als Basis? Das mußt du mir noch erklären :-)

Ich würde so rechnen:

Ersetze die Division durch den zweiten Bruch durch Multiplikation mit dessen Kehrwert:
[mm2] =\frac {x^{2n+1} \cdot y^{2n-1} } { a^{2n-1} \cdot b^{2n+1} } \cdot \frac { a^{2n+1} \cdot b^{2n-1} } {x^{2n-1} \cdot y^{2n+1} } [/mm2]

Du weißt ja, dass dies jetzt sehr ausführliche Rechenschritte sind, in der Arbeit würde ich natürlich ein paar überspringen, zum Beispiel diesen hier :-): Schreibe auf einen Bruch:

[mm2] =\frac {x^{2n+1} \cdot y^{2n-1} \cdot a^{2n+1} \cdot b^{2n-1}} { a^{2n-1} \cdot b^{2n+1} \cdot x^{2n-1} \cdot y^{2n+1} } [/mm2]

Fasse nun (getrennt) im Zähler und Nenner Potenzen mit gleichem Exponenten zusammen:

[mm2] =\frac {(ax)^{2n+1} \cdot (by)^{2n-1}} { (ax)^{2n-1} \cdot (by)^{2n+1} } [/mm2]

Jetzt haben wir zwei Möglichkeiten, das anders zu schreiben: Entweder, wir fassen Potenzen mit gleicher Basis zusammen oder Potenzen mit gleichem Exponenten; zunächst fasse ich Potenzen mit gleicher Basis zusammen:

[mm] =(ax)^{(2n+1)-(2n-1)} \cdot (by)^{(2n-1)-(2n+1)} [/mm]

[mm] =(ax)^{2n+1-2n+1} \cdot (by)^{2n-1-2n-1)} [/mm]

[mm] =(ax)^{2} \cdot (by)^{-2} [/mm]

[mm] = \frac{(ax)^{2}}{(by)^{2}} [/mm]

[mm] = \left(\frac{ax}{by}\right)^{2} [/mm]

Weitere Vereinfachungen sind nicht möglich.
Der Vollständigkeit halber fasse ich in obiger Gleichung auch noch die Potenzen mit gleichem Exponenten zusammen, aber dieser Weg ist etwas trickreicher:

[mm2] =\left(\frac{ax}{by}\right)^{2n+1} \cdot \left(\frac{by}{ax}\right)^{2n-1} [/mm2]

[mm2] =\left(\frac{ax}{by}\right)^{2n+1} \cdot \left(\frac{ax}{by}\right)^{-(2n-1)} [/mm2]

[mm2] =\left(\frac{ax}{by}\right)^{2n+1-(2n-1)} [/mm2]
[mm2] =\left(\frac{ax}{by}\right)^{2n+1-2n+1} [/mm2]
[mm2] =\left(\frac{ax}{by}\right)^{2} [/mm2]


Habe ich die Aufgabe eigentlich richtig aufgefaßt, bitte vergleiche noch mal meinen ersten Bruch mit der Aufgabenstellung.

Könntest du die anderen Aufgaben, die du mir zugeschickt hast, bitte auch noch in dieses Forumen stellen (einfach hineinkopieren, nicht wieder abtippen!)

Danke und bis gleich,
Marc


Bezug
                
Bezug
Potenzen: 3. Aufgabe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 So 22.06.2003
Autor: Fab

also danke nochmal
die aufgabe drei hast du richtig aufgefasst!
das is ja alles grotteneinfach wenn man das so sieht!
aber wenn man davor sitzt...
ok ich stelle jetzt die anderen ins forum


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