matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenkomplexe ZahlenPotenzen komplexer Zahlen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "komplexe Zahlen" - Potenzen komplexer Zahlen
Potenzen komplexer Zahlen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzen komplexer Zahlen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:30 Mi 14.10.2009
Autor: flare

Aufgabe
Finden Sie für natürliche n alle Lösungen der Gleichungen

[mm] z^n=1, z^n=i [/mm]

Hallo Leute hatte vor kurzen meine erste Vorlesung zum Thema komplexer Zahlen und irgendwie hab ich mich da noch nicht ganz durchgewurschtelt.

ich stelle das erstmal nach Euler um.

[mm] z^n= [/mm] ( [mm] \left| z \right|*e^{i*x})^n [/mm]

Nun versuche ich nach n umzuformen
[mm] (e^{ix})^n =\bruch{1}{\left| z^n \right|} [/mm]  
[mm] ln((e^{ix})^n) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|}) [/mm]
n*i*x  =  [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|}) [/mm]
[mm] n^2*ix= [/mm] -ln(z)
n = +- [mm] \wurzel{\bruch{-ln(z)}{ i*x}} [/mm]  

derive spuckt mir aber das aus ??
n = +- /bruch [mm] {2*\pi*i}{ln(z)} [/mm]

wo liegt mein Fehler und wie kommt der Typ auf [mm] 2\pi [/mm]
darf ich die eulersche Form auch als

[mm] \left| z^n \right|*e^{i*2*\pi*k}^n [/mm] angeben?

Danke für jede Hilfe

PS: Sorry, wenn die Formatierung noch ein bisschen doof aussieht

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Moivre-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Mi 14.10.2009
Autor: Loddar

Hallo flare,

[willkommenmr] !!


Hattet ihr auch schon die MBMoivre-Formel? Damit lassen sich derartige Wurzeln komplexer Zahlen am schnellsten ermitteln.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mi 14.10.2009
Autor: flare

Also der Name der Formel sagt mir nichts, aber an sich kenne ich es.

Das eine dort ist die Polarform, geht es mit dieser einfacher?

Bezug
                        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Mi 14.10.2009
Autor: Loddar

Hallo flare!


Ja.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 Mi 14.10.2009
Autor: flare

Hallo Loddar,

ok vielen Dank.

Hab ich den bei meinem Ansatz an sich was falsch gemacht?

Gruß flare

Bezug
        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:11 Mi 14.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Finden Sie für natürliche n alle Lösungen der
> Gleichungen
>  
> [mm]z^n=1, z^n=i[/mm]
>  
> Hallo Leute hatte vor kurzen meine erste Vorlesung zum
> Thema komplexer Zahlen und irgendwie hab ich mich da noch
> nicht ganz durchgewurschtelt.
>  
> ich stelle das erstmal nach Euler um.
>  
> [mm]z^n=[/mm] ( [mm]\left| z \right|*e^{i*x})^n[/mm]
>  
> Nun versuche ich nach n umzuformen
>  [mm](e^{ix})^n =\bruch{1}{\left| z^n \right|}[/mm]  
> [mm]ln((e^{ix})^n)[/mm] = [mm]ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})[/mm]
>  n*i*x  
> =  [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})[/mm]

Das ist so nicht richtig, denn es gibt keine globale Umkehrfunktion der e-Funktion im Komplexen.

Zunächst einmal folgt aus [mm] $z^n=1$, [/mm] dass [mm] $|z^n| [/mm] = [mm] |z|^n=1$ [/mm] ist, und damit $|z|=1$.

Deine Gleichung ist also

[mm] (e^{ix})^n = 1 [/mm]

oder

  [mm] e^{ixn} = 1 [/mm]

Und jetzt frage dich: für welche Werte von $i*n*x$ ist die e-Funktion gerade 1?

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mi 14.10.2009
Autor: flare

Das einzige was ich bezüglich e^(i*x) kenne, ist, dass e^(/pi*i)=-1 ergibt
Das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
Dann kenn ich noch [mm] e^0=1, [/mm] daraus folgt dann erstmal, dass n=0 eine Lösung ist.

Dann weiß ich noch, dass wenn der Betrag von z = 1 ist, dass es irgendwie auf dem Einheitskreis liegen soll.
Und zwar mit dem Zahlenpaar (1,0)?
Also für den Winkel  2*/pi*k,
muss für n was einsetzen in e^(n*i*x), damit das rausommt?

PS:Wieso wurde mein Thema verschoben :P?
Komplexe Zahlen stehen in Berlin nich im Rahmenplan des Leistungskurses Mathematik und die Aufgabe ist meine erste Übung vonner Vorlesung anner Uni gewesen :)





Bezug
                        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mi 14.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Das einzige was ich bezüglich e^(i*x) kenne, ist, dass
> e^(/pi*i)=-1 ergibt

Richtig. Und wenn du das quadrierst, ergibt sich

[mm] e^{\pi i}^2 = e^{2\pi i} = 1 [/mm]

>  Das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
>  Dann kenn ich noch [mm]e^0=1,[/mm] daraus folgt dann erstmal, dass
> n=0 eine Lösung ist.

Du meinst, dass [mm] $e^0=1$ [/mm] eine Lösung ist. n ist vorgegeben.

Wie eben schon geschrieben, haben wir [mm] $e^{2\pi i} [/mm] = 1$. Und natürlich auch jede ganzzahlige Potenz davon, also

[mm] e^{2\pi i}^k = e^{2\pi i k} = 1[/mm] für [mm] $k=1,2,\dots$. [/mm]

Und wenn du das mit [mm] $z^n=e^{inx}=1$ [/mm] vergleichst, was bekommst du dann für x heraus?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mi 14.10.2009
Autor: flare

wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm] e^{ i*2* \pi *n } [/mm] und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
Ist das dann schon das Ergbnis?

Liebe Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Mi 14.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
>  Ist das dann schon das Ergbnis?

Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle Lösungen bestimmen!

Wenn [mm] $z=e^{ix}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $z^n=e^{inx}$. [/mm] Das soll 1 sein. Andererseits ist [mm] $e^{2\pi ik}=1$. [/mm] Welche Werte sind also für x möglich?

Viele Grüße
  Rainer

Bezug
                                                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Mi 14.10.2009
Autor: flare


> Hallo!
>  
> > wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> > und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
>  >  Ist das dann schon das Ergbnis?
>  
> Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle
> Lösungen bestimmen!
>  
> Wenn [mm]z=e^{ix}[/mm] ist, dann ist [mm]z^n=e^{inx}[/mm]. Das soll 1 sein.
> Andererseits ist [mm]e^{2\pi ik}=1[/mm]. Welche Werte sind also für
> x möglich?
>  
> Viele Grüße
>    Rainer

Wenn ich beide e-funktionen gleichsetze(da ich ja weiß,dass einer 1 ist und 1 will ich) habe [mm] e^{2\pi ik}=e^{inx}, [/mm] warum darf ich dann für x nicht [mm] \bruch{2*\pi*k}{n} [/mm] einsetzen?

Auf was anderes komm ich jetzt nicht mehr, habe mich irgendwie festgefahren :(



Bezug
                                                        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mi 14.10.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> > Hallo!
>  >  
> > > wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> > > und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
>  >  >  Ist das dann schon das Ergbnis?
>  >  
> > Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle
> > Lösungen bestimmen!
>  >  
> > Wenn [mm]z=e^{ix}[/mm] ist, dann ist [mm]z^n=e^{inx}[/mm]. Das soll 1 sein.
> > Andererseits ist [mm]e^{2\pi ik}=1[/mm]. Welche Werte sind also für
> > x möglich?
>  >  
> > Viele Grüße
>  >    Rainer
>
> Wenn ich beide e-funktionen gleichsetze(da ich ja
> weiß,dass einer 1 ist und 1 will ich) habe [mm]e^{2\pi ik}=e^{inx},[/mm]
> warum darf ich dann für x nicht [mm]\bruch{2*\pi*k}{n}[/mm]
> einsetzen?

Das ist richtig, das hast du bisher aber nicht geschrieben (vielleicht hast du es gemeint, aber hingeschrieben hast du was anderes).

Die Zahlen

[mm] z_k = e^{2\pi ik/n} [/mm]

erfüllen die Gleichung

[mm] z_k^n=1 [/mm].

Das gilt für alle ganzen Zahlen [mm] $k\in \IZ$. [/mm] Aber: wieviele von der [mm] $z_k$ [/mm] sind verschieden? Zum Beispiel ist

[mm] z_{k+n} = e^{2\pi i(k+n)/n} = e^{2\pi ik/n+2\pi in/n} = e^{2\pi ik/n +2\pi i} = e^{2\pi ik/n} * e^{2\pi i} = e^{2\pi ik/n} = z_k [/mm], für alle  [mm] $k\in \IZ$. [/mm]

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung [mm] $z^n=1$ [/mm] in [mm] $\IC$? [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                                                
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Mi 14.10.2009
Autor: flare

Ok, die Lösung hab ich erstmal verstanden.

Durch den Einheitskreis weiß ich, dass ich nur Lösungen betrachten muss, die von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] gehen, da sie sich sonst ja wiederholen.

Oder :) ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Potenzen komplexer Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:58 Do 15.10.2009
Autor: leduart

Hallo
richtig. (nicht Oder)
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]