matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesPotenzmengen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Potenzmengen
Potenzmengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:58 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Aufgabe
Potenzmenge:
1) Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass [mm] 2^A∪2^B [/mm] ⊂ 2^(A∪B) ist und im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.
2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf X. Beweisen Sie folgende Aussagen: (i) B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F}^{} [/mm] M]= [mm] [\bigcup_{M∈F}^{} [/mm]  (B∩M) und (ii) B\ [mm] [\bigcup_{M∈F}^{} [/mm] M= [mm] \bigcup_{M∈F}^{} [/mm] (B \ M).
3)Beweisen Sie:
Es sei (G,∗) eine Halbgruppe, sodass folgende Eigenschaften erfüllt sind: (i) Es gibt ein e ∈ G mit e∗a = a für alle a ∈ G; (ii) zu jedem a ∈ G gibt es ein a0 ∈ G mit a0∗a = e.
Dann ist (G,∗) schon eine Gruppe.



Hallo liebe Gemeinde,

bei den obigen Aufgaben komme ich noch nicht so richtige weiter, bzw. fehlt mir ein Ansatz, wie ich sie beweisen kann.

Ist der Beweis bei 1) so richtig und durch welches Beispiel kann man Ungleichheit zeigen:?
x [mm] \in 2^A [/mm] u [mm] 2^B [/mm] -> x [mm] \in 2^A [/mm] oder x [mm] \in 2^B [/mm] -> x [mm] \in [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] B-> x -> AuB -> x [mm] \in [/mm] 2^AuB


        
Bezug
Potenzmengen: Aufgabe 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mi 08.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo,

Deine Idee zu Aufgabe 1) ist korrekt, überlege aber nochmal, welcher Schritt dazu führt, dass [mm] 2^{A}\cup2^{B}\subset2^{A\cup B} [/mm] ist, und im Allgemeinen nicht [mm] 2^{A}\cup2^{B}=2^{A\cup B} [/mm]

Marius
 

Bezug
        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Mi 08.11.2017
Autor: fred97


> Potenzmenge:
>  1) Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass [mm]2^A∪2^B[/mm] ⊂
> 2^(A∪B) ist und im Allgemeinen keine Gleichheit gilt.
> 2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf
> X. Beweisen Sie folgende Aussagen: (i) B∩ [ [mm]\bigcup_{M \in F}^{}[/mm]
> M]= [mm][\bigcup_{M∈F}^{}[/mm]  (B∩M) und (ii) B\
> [mm][\bigcup_{M∈F}^{}[/mm] M= [mm]\bigcup_{M∈F}^{}[/mm] (B \ M).
> 3)Beweisen Sie:
> Es sei (G,∗) eine Halbgruppe, sodass folgende
> Eigenschaften erfüllt sind: (i) Es gibt ein e ∈ G mit
> e∗a = a für alle a ∈ G; (ii) zu jedem a ∈ G gibt es
> ein a0 ∈ G mit a0∗a = e.
> Dann ist (G,∗) schon eine Gruppe.
>  
>
> Hallo liebe Gemeinde,
>  
> bei den obigen Aufgaben komme ich noch nicht so richtige
> weiter, bzw. fehlt mir ein Ansatz, wie ich sie beweisen
> kann.
>  
> Ist der Beweis bei 1) so richtig und durch welches Beispiel
> kann man Ungleichheit zeigen:?
>  x [mm]\in 2^A[/mm] u [mm]2^B[/mm] -> x [mm]\in 2^A[/mm] oder x [mm]\in 2^B[/mm] ->


x [mm]\in[/mm] A

> oder x [mm]\in[/mm] B->

Hier sollte es lauten $x [mm] \subseteq [/mm] A$ oder $x [mm] \subseteq [/mm] B$



x -> AuB

Hier: $x [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$


> -> x [mm]\in[/mm] 2^AuB
>  


Für die Ungleichheit: betrachte [mm] A=\{0\} [/mm] und [mm] B=\{1\} [/mm]

Bezug
                
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Ok, hab's verstanden. Bei [mm] 2^A [/mm] u [mm] 2^B [/mm] fehlt bei Element A=(1) und B=(2) das Element (1,2), das bei 2^(AuB) vorhanden ist.
Kann mir jetzt noch jemand bei den beiden anderen Aufgaben helfen.

Bezug
        
Bezug
Potenzmengen: Aufgabe 3)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Mi 08.11.2017
Autor: M.Rex

Hallo nochmal,

Zu Aufgabe 3)
Hier musst du die MBGruppenaxiome prüfen, da (G,∗) eine Halbgruppe ist, natürlich nur noch die Axiome, die zusätzlich zur MBHalbgruppe dazukommen.



Marius

Bezug
                
Bezug
Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben sind?

Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Mi 08.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre
> Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale
> Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine
> Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese
> ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben
> sind?

so wie du die Aufgabenstellung wiedergegeben hast gebe ich dir Recht: da gibt es nichts zu beweisen.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Was könnte ich denn dort beweisen, vielleicht die beiden einzelnen aussagen zum neutralen Element und der Inverse? Gibt das Sinn diese zu beweisen?

Bezug
                                        
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Mi 08.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Was könnte ich denn dort beweisen, vielleicht die beiden
> einzelnen aussagen zum neutralen Element und der Inverse?
> Gibt das Sinn diese zu beweisen?

Nein, denn die sind ja vorgegeben. Du könntest noch begründen, weshalb Abgeschlossenheit und Assoziativgesetz weiterhin gelten, das ist aber auch offensichtlich.

Und dann könnte man die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element beweisen, aber auch das muss man nicht, denn das gilt in jeder Gruppe.

Also wenn da sonst wirklich nichts weiteres gefordert war, dann würde ich sagen, dass diese Aufgabenstellung ziemlich 'verunglückt' ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

könnte mir denn noch jemand bei einer der Teilaufgaben von 2) einen Tipp geben. Mir ist klar, dass man das mit x [mm] \in [/mm] ... auseinanderziehen kann, aber mit dem Mengensystemzeichen ist mir nicht ganz klar, wie ich das dann fertig bekomme.

Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mi 08.11.2017
Autor: angela.h.b.


> eine Halbgruppe ist aber doch definiert durch ihre
> Assoziativiät und dann fehlen ja nur noch das neutrale
> Element und die Inverse, damit die Halbgruppe auch eine
> Gruppe ist. Was soll man denn dann noch beweisen, da diese
> ja schon als die Eigenschaften der Halbgruppe angegeben
> sind?

Hallo,

ich vermute, daß in Eurer Definition für "Gruppe" steht, daß es ein neutrales Element e gibt mit e*a=a*e=a für alle a,
und daß Du nun zeigen sollst, daß unter den angegebenen Voraussetzungen auch a*e=a ist füralle a.

Fürs inverse Element entsprechend.

LG Angela




Bezug
                                
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Mi 08.11.2017
Autor: Tobikall

Vielen Dank schonmal für eure Mühe.
Ich habe jetzt einfach mal die Eindeutigkeit der Inverse und des neutr. Elements gezeigt und gezeigt, dass es diese sowohl rechts- und linksseitig gibt.
Ich bräuchte jetzt nur noch etwas Hilfe bei Nr. 2

Bezug
        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Do 09.11.2017
Autor: angela.h.b.


> 2)Es sei X eine Menge, B ⊂ X und F ein Mengensystem auf
> X. Beweisen Sie folgende Aussagen:
> (i) B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]= [mm] \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)

Hallo,

es ist schade, daß Du gar keine eigenen Ansätze, Überlegungen oder konkrete Fragen postest. Wenn man eine Ahnng hat, an welcher Stelle es klemmt, kann man viel besser helfen.

Wenn Du die Gleichheit A=B von Mengen A,B zeigen möchtest,
mußt Du die beiden Teilmengenbeziehung [mm] A\subseteq [/mm] B  und [mm] B\subseteq [/mm] A zeigen.
Dies tut man elementweise, indem man vorrechnet, daß jedes Element aus A auch in B liegt, die andere Teilmengenbeziehung entsprechend.

Hier ist also zu zeigen:
a. B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} M]\subseteq\bigcup_{M\in F}(B\capM) [/mm] ,
    d.h. [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M] ==> [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)
b. [mm] \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M) [mm] \subseteq [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]
    d.h. ...

zu a.

Sei [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]

==> [mm] x\in [/mm] B und [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] M

[Um nun weitermachen zu können, muß man sich mit [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M beschäftigen: F ist lt. Aufgabenstellung ein Mengensystem X, also eine Menge, die Teilmengen von X enthält, und [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M ist die Vereinigung all dieser Mengen. Jedes Element von [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M liegt also in irgendeiner der Mengen des Mengensystems F.]

==> [mm] x\in [/mm] B und es gibt eine Menge [mm] A\in [/mm] F mit [mm] x\in [/mm] A

==> es gibt eine Menge A [mm] \in [/mm] F mit [mm] x\in B\cap [/mm] A

==> [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] M)

In diesem Stil bearbeite auch b.  und die nächste Teilaufgabe.

LG Angela




> und
> (ii) B\ [mm][\bigcup_{M\in F}^{}[/mm] M= [mm]\bigcup_{M\in F}^{}[/mm] (B \ M).


Bezug
                
Bezug
Potenzmengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:00 Do 09.11.2017
Autor: Tobikall

ok, danke für deinen Antwort, damit müsste die i) so richtig sein??:
mir war dabei nur nicht ganz bewusst, wie ich das mengensystemzeichen behandeln soll, den rest mit dem [mm] x\in... [/mm] kenne ich.

a) Sei $ [mm] x\in [/mm] $ B∩ [ $ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M]
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und $ [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und es gibt eine Menge $ [mm] M\in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in [/mm] $ M
==> es gibt eine Menge M $ [mm] \in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in B\cap [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in \bigcup_{M\in F}(B\cap [/mm] $ M)

b) sei [mm] x\in [/mm] [ $ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] $ (B [mm] \cap [/mm] M]
==> es gibt eine Menge M $ [mm] \in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in B\cap [/mm] $ M
==>$ [mm] x\in [/mm] $ B und es gibt eine Menge $ [mm] M\in [/mm] $ F mit $ [mm] x\in [/mm] $ M
==> $ [mm] x\in [/mm] $ B und $ [mm] x\in \bigcup_{M \in F} [/mm] $ M
==> [mm] x\in [/mm] B∩ [ [mm] \bigcup_{M \in F} [/mm] M]


Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:22 Do 09.11.2017
Autor: Tobikall

könnte mir denn noch jemand sagen, ob das so richtig ist, wie ich die 2. i) gemacht habe?

Bezug
                        
Bezug
Potenzmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Fr 10.11.2017
Autor: angela.h.b.

Hallo,

das ist so richtig -auch wenn ich lieber "es gibt ein [mm] A\in [/mm] F" geschrieben hätte, um das M nicht in zweierlei Bedeutung zu verwenden.

LG Angela

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]