matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenPotenzreihe kompl. Koeff.
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Potenzreihe kompl. Koeff.
Potenzreihe kompl. Koeff. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzreihe kompl. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Mo 14.08.2017
Autor: X3nion

Guten Abend zusammen!

Im Forster steht ein Satz über Reziprokes einer Potenzreihe, zu dessen Beweis ich eine Mini-Frage habe:

Satz Sei f(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n} [/mm] eine Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten und Konvergenzradius 0 < r [mm] \le \infty. [/mm] Es gelte f(0) = [mm] a_{0} \not= [/mm] 0. Dann gibt es ein [mm] \rho [/mm] mit 0 < [mm] \rho \le [/mm] r, sodass f(z) [mm] \not= [/mm] 0 für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z| < [mm] \rho [/mm] und sich 1/f im Kreis

[mm] \{z \in \IC: |z| < \rho \} [/mm] in eine Potenzreihe

[mm] \frac{1}{f(z)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm]

entwickeln lässt.


Beweis

Es genügt zu zeigen: Es gibt eine Potenzreihe g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm] mit einem positiven Konvergenzradius [mm] \rho \le [/mm] r, sodass

f(z) g(z) = 1 für alle |z| < [mm] \rho. [/mm]

Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen f und g muss gleich der trivialen Potenzreihe 1 sein.

[mm] f(n)=\begin{cases} a_{0}b_{0} = 1 \\ a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} = 0 \\ a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0} = 0 a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + ... + a_{n}b_{0} = 0\\ \end{cases} [/mm]

Daraus kann man, ausgehend von [mm] b_{0} [/mm] := [mm] \frac{1}{a_{0}} [/mm] rekursiv alle [mm] b_n [/mm] berechnen gemäß

[mm] b_{n} [/mm] := - [mm] \frac{1}{a_{0}} \summe_{k=0}^{n-1} a_{n-k}b_{k} [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 1.

Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die damit eindeutig bestimmte Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius hat. Dies beweisen wir jetzt:

O.B.d.A sei [mm] a_{0} [/mm] = 1 (andernfalls multipliziere man f mit der Konstanten 1 / [mm] a_{0} [/mm] und g mit [mm] a_{0}). [/mm]

Da die Reihe

[mm] f_{1}(z) [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n} [/mm]

für |z| < r absolut konvergiert und [mm] f_{1}(0) [/mm] = 0, gibt es ein 0 < [mm] \rho [/mm] < r mit

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\rho^{n} \le [/mm] 1.

Behauptung : es gilt [mm] |b_{n}|\rho^{n} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 0.

Beweis durch vollständige Induktion.

Induktionsanfang klar, da [mm] b_{0} [/mm] = 1.

Induktionsschritt. Sei schon bekannt, dass [mm] |b_{k}|\rho^{k} \le [/mm] 1 für alle k < n. Aus der Definition von [mm] b_{n} [/mm] folgt

[mm] |b_{n}|\rho^{n} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k}|b_{k}|\rho^{k} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k} \le \summe_{m=1}^{\infty}|a_{m}|\rho^{m} \le [/mm] 1.

Damit ist die Behauptung bewiesen. Es folgt, dass die Potenzreihe

g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n} [/mm] einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat, q.e.d.


--------------------------


Meine Mini-Frage dazu: Wieso folgt aus alldem, dass die Potenzreihe g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n} [/mm] einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat?



Wäre euch wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:19 Mo 14.08.2017
Autor: fred97


> Guten Abend zusammen!
>  
> Im Forster steht ein Satz über Reziprokes einer
> Potenzreihe, zu dessen Beweis ich eine Mini-Frage habe:
>  
> Satz Sei f(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}[/mm] eine
> Potenzreihe mit komplexen Koeffizienten und
> Konvergenzradius 0 < r [mm]\le \infty.[/mm] Es gelte f(0) = [mm]a_{0} \not=[/mm]
> 0. Dann gibt es ein [mm]\rho[/mm] mit 0 < [mm]\rho \le[/mm] r, sodass f(z)
> [mm]\not=[/mm] 0 für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z| < [mm]\rho[/mm] und sich 1/f im
> Kreis
>  
> [mm]\{z \in \IC: |z| < \rho \}[/mm] in eine Potenzreihe
>  
> [mm]\frac{1}{f(z)}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm]
>  
> entwickeln lässt.
>  
>
> Beweis
>  
> Es genügt zu zeigen: Es gibt eine Potenzreihe g(z) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm] mit einem positiven
> Konvergenzradius [mm]\rho \le[/mm] r, sodass
>  
> f(z) g(z) = 1 für alle |z| < [mm]\rho.[/mm]
>  
> Das Cauchy-Produkt der Potenzreihen f und g muss gleich der
> trivialen Potenzreihe 1 sein.
>  
> [mm]f(n)=\begin{cases} a_{0}b_{0} = 1 \\ a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} = 0 \\ a_{0}b_{2} + a_{1}b_{1} + a_{2}b_{0} = 0 a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + ... + a_{n}b_{0} = 0\\ \end{cases}[/mm]
>  
> Daraus kann man, ausgehend von [mm]b_{0}[/mm] := [mm]\frac{1}{a_{0}}[/mm]
> rekursiv alle [mm]b_n[/mm] berechnen gemäß
>  
> [mm]b_{n}[/mm] := - [mm]\frac{1}{a_{0}} \summe_{k=0}^{n-1} a_{n-k}b_{k}[/mm]
> für k [mm]\ge[/mm] 1.
>  
> Es bleibt nur noch zu zeigen, dass die damit eindeutig
> bestimmte Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius hat.
> Dies beweisen wir jetzt:
>  
> O.B.d.A sei [mm]a_{0}[/mm] = 1 (andernfalls multipliziere man f mit
> der Konstanten 1 / [mm]a_{0}[/mm] und g mit [mm]a_{0}).[/mm]
>  
> Da die Reihe
>  
> [mm]f_{1}(z)[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}[/mm]
>  
> für |z| < r absolut konvergiert und [mm]f_{1}(0)[/mm] = 0, gibt es
> ein 0 < [mm]\rho[/mm] < r mit
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\rho^{n} \le[/mm] 1.
>  
> Behauptung : es gilt [mm]|b_{n}|\rho^{n} \le[/mm] 1 für alle n [mm]\ge[/mm]
> 0.
>  
> Beweis durch vollständige Induktion.
>
> Induktionsanfang klar, da [mm]b_{0}[/mm] = 1.
>  
> Induktionsschritt. Sei schon bekannt, dass [mm]|b_{k}|\rho^{k} \le[/mm]
> 1 für alle k < n. Aus der Definition von [mm]b_{n}[/mm] folgt
>  
> [mm]|b_{n}|\rho^{n} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k}|b_{k}|\rho^{k} \le \summe_{k=0}^{n-1} |a_{n-k}|\rho^{n-k} \le \summe_{m=1}^{\infty}|a_{m}|\rho^{m} \le[/mm]
> 1.
>  
> Damit ist die Behauptung bewiesen. Es folgt, dass die
> Potenzreihe
>  
> g(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}[/mm] einen
> Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm] hat, q.e.d.
>  
>
> --------------------------
>  
>
> Meine Mini-Frage dazu: Wieso folgt aus alldem, dass die
> Potenzreihe g(z) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}[/mm] einen
> Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm] hat?


Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:

[mm] $\wurzel[n]{|b_n|} \rho \le [/mm] 1$  für alle n. Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die Beh. liefert ?




>  
>
>
> Wäre euch wie immer sehr dankbar!
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Mo 14.08.2017
Autor: X3nion


> Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:

[mm] \wurzel[n]{|b_n|} \rho \le [/mm] 1 für alle n.

> Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die Beh. liefert ?

Hallo Fred und Danke für den Tipp!

a) Es folgt, dass auch [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] * [mm] \rho \le [/mm] 1, im Falle der Existenz von lim sup.

Ist nun [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] < 1,
So konvergiert die Potenzreihe absolut und es gilt für den Konvergenzradius R:

[mm] \rho \le [/mm] R = [mm] \frac{1}{\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}} [/mm]

Würde dies passen?


b) Eine kurze Frage noch: Eingangs der Beweises steht, dass es genügt, die Existenz einer Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n} [/mm]

mit einem positiven Konvergenzradius [mm] \rho \le [/mm] r zu finden,
sodass f(z) * g(z) = 1 für alle |z| < [mm] \rho. [/mm]

Gegen Ende steht wiederum geschrieben, dass es nun genügt zu zeigen, dass die Potenzreihe einen Konvergenzradius [mm] \ge \rho [/mm] hat (also nicht mehr [mm] \rho \le [/mm] r).

Ist dies so, dass mit im Falle [mm] \rho [/mm] > 0 mit [mm] \rho \le [/mm] r die Behauptung erfüllt ist, aber auch mit [mm] \rho [/mm] > r, da aus [mm] \rho [/mm] > r folgt, dass die Potenzreihe auch für irgendein [mm] \rho \le [/mm] r konvergiert?



Viele Grüße,
X3nion




Bezug
                        
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Di 15.08.2017
Autor: fred97


> > Wir ziehen die n-te Wurzel und erhalten:
>
> [mm]\wurzel[n]{|b_n|} \rho \le[/mm] 1 für alle n.
> > Siehst Du nun, wie die Formel von Cauchy - Hadamard die
> Beh. liefert ?
>
> Hallo Fred und Danke für den Tipp!
>  
> a) Es folgt, dass auch [mm]\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}[/mm]
> * [mm]\rho \le[/mm] 1, im Falle der Existenz von lim sup.
>  
> Ist nun [mm]\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}[/mm] < 1,

Was soll das denn ??? Wozu ???


>  So konvergiert die Potenzreihe absolut

Das kannst Du streichen !



>  und es gilt für
> den Konvergenzradius R:
>  
> [mm]\rho \le[/mm] R = [mm]\frac{1}{\lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n}}[/mm]
>  
> Würde dies passen?

Ja, aus $ [mm] \lim sup_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^{1/n} [/mm] $ * $ [mm] \rho \le [/mm] $ 1 folgt R [mm] \ge \rho. [/mm]


>  
>
> b) Eine kurze Frage noch: Eingangs der Beweises steht, dass
> es genügt, die Existenz einer Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n} z^{n}[/mm]
>  
> mit einem positiven Konvergenzradius [mm]\rho \le[/mm] r zu finden,
>  sodass f(z) * g(z) = 1 für alle |z| < [mm]\rho.[/mm]
>  
> Gegen Ende steht wiederum geschrieben, dass es nun genügt
> zu zeigen, dass die Potenzreihe einen Konvergenzradius [mm]\ge \rho[/mm]
> hat (also nicht mehr [mm]\rho \le[/mm] r).
>  
> Ist dies so, dass mit im Falle [mm]\rho[/mm] > 0 mit [mm]\rho \le[/mm] r die
> Behauptung erfüllt ist, aber auch mit [mm]\rho[/mm] > r, da aus
> [mm]\rho[/mm] > r folgt, dass die Potenzreihe auch für irgendein
> [mm]\rho \le[/mm] r konvergiert?

Genau so ist es .


>  
>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Potenzreihe kompl. Koeff.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Mi 16.08.2017
Autor: X3nion

Hallo Fred und Danke, nun ist es mir klar!


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]