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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich soll eine Aufgabe lösen und finde leider noch nicht einmal einen Ansatz. Wenn mir jemand sagen könnte unter welchem Stichwort diese Ungleichung läuft bzw. was sie bedeutet, dann wäre mir bestimmt auch schon geholfen.
a) Es sei H ein Prä-Hilbertraum über dem Körper [mm]\IK[/mm]. Zeigen Sie, dass für alle [mm]f,g \in H[/mm], [mm]g\not=0 [/mm] gilt:
[mm]f \perp g \gdw \parallel f \parallel \le \parallel f+\alpha g \parallel[/mm] für alle [mm]\alpha\in\IK[/mm] [mm]\gdw \parallel f \parallel \le \parallel f+\alpha g \parallel[/mm] für alle [mm]\alpha \in \IK[/mm][mm]\{0}[/mm] (ohne Null).
b) Ausgehend von a) definiere man in einem beliebigen Banach-Raum X über [mm]\IK[/mm] für je zwei Eelemente [mm]f,g \in X[/mm],
[mm]f \perp g \gdw \parallel f \parallel \le \parallel f+\alpha g \parallel[/mm] für alle [mm]\alpha\in\IK[/mm].
(i) Was bedeutet die Definition geometrisch?
(ii) Speziell sein [mm]X=\IR^{2}[/mm] mit der Maximumsnorm versehen. Zu welchem [mm]f\in X[/mm] mit [mm]\parallel f \parallel = 1[/mm] ist der Vektor [mm](0,1)[/mm] orthogonal? Folgt in diesem Beispiel aus [mm]f \perp g[/mm] stets [mm]g \perp f[/mm] und aus [mm]f \perp g[/mm], [mm]f \perp h [/mm] stets [mm]f \perp g+h[/mm]?
Danke schon mal im voraus für alle Ideen und Mühen Eurerseits.
Joergi
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Hallo Jörgi,
keine angst vor dieser aufgabe!  es geht zunächst darum, orthogonalität in einem (prä-)hilbertraum zu charakterisieren, ohne (explizit) das skalarprodukt zu verwenden. Diese definition wird dann im zweiten teil der aufgabe auf banachräume übertragen, die ja im allgemeinen keine skalarprodukt-struktur besitzen.
ein tip: sobald hilbertraum-struktur vorausgesetzt wird, musst du diese eigenschaft auch ausnutzen! es gilt also für [mm] $f\perp [/mm] g$
[mm] $\|f+\alpha g\|^2=(f+\alpha g,f+\alpha g)=\|f\|^2+2\alpha(f,g)+\alpha^2 \|g\|^2\ge \|f\|^2+2\alpha(f,g)$=$\|f\|^2$
[/mm]
So wäre also eine richtung der ersten äquivalenz schon gezeigt (im reellen fall, komplex geht ähnlich). versuche mal den rest!
ganz wichtig, mache dir klar, was diese eigenschaft anschaulich bedeutet.
VG
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 So 23.04.2006 | | Autor: | Joergi |
Erst einmal Hallo, und vielen Dank für Deine Mühen.
Ich habe mir Deinen Rat zu Herzen genommen, zumal ich gestehen muss, wenn ich Skalarprodukt nur höre dann fängt es schon an 
Aber dennoch habe ich mich versucht. Ich habe also mal geschaut, was Du da gemacht hast und mit Hilfe der Rechenregeln für ein Skalarprodukt das ganze mal etwas ausführlicher aufgeschrieben, was dann so aussehen würde, wenn es denn richtig ist:
[mm] \parallel f + \alpha g \parallel ^{2} = [/mm]
[mm] = + + <\alpha g,f> + [/mm]
[mm] = \parallel f \parallel^{2} + + <\alpha g,f> + \alpha^{2} * \parallel g \parallel^{2}[/mm]
[mm] = \parallel f \parallel^{2} + 2* + \alpha * \parallel g \parallel^{2}[/mm] da wir im Reellen sind
[mm] \ge \parallel f \parallel^{2} + 2* [/mm]
[mm] \ge \parallel f \parallel^{2}[/mm] insbesondere gleich wenn [mm] \alpha = 0 [/mm].
Jetzt stehe ich etwas auf dem Schlauch wenn ich die Rückrichtung zeigen muss, denn es muss ja herauskommen, dass [mm]f \prep g[/mm], aber wie fange ich an????
Ich habe schon mal auch die Hinrichtung im Komplexen gezeigt:
[mm] \parallel f + \alpha g \parallel ^{2} = [/mm]
[mm] = + + <\alpha g,f> + [/mm]
[mm] = \parallel f \parallel^{2} + + \overline{} + \alpha* \overline {\alpha}*\parallel g \parallel^{2}[/mm]
[mm] = \parallel f \parallel^{2} + \overline {\alpha}* + \overline {\alpha}* \overline{} + \alpha* \overline {\alpha}*\parallel g \parallel^{2}[/mm]
[mm] = \parallel f \parallel^{2}+ 2 * \overline {\alpha}*Re + \alpha* \overline {\alpha}*\parallel g \parallel^{2}[/mm]
[mm] \ge \parallel f \parallel^{2}+ 2 * \overline {\alpha}*Re[/mm]
[mm] \ge \parallel f \parallel^{2}[/mm]
Ich hoffe mal, das stimmt so einigermaßen wenn ich es recht verstanden habe, wie gesagt, für die Rückrichtung bräuchte ich einen Tipp zum Ansatz.
Ich habe mir auch mal zu (b) (i) überlegt, was das geometrisch bedeuten könnte, also:
Wenn [mm]f \perp g [/mm], dann ist der Verbindungsvektor ja gerade [mm]f+g[/mm]. [mm]f \perp g[/mm] bilden einen rechten Winkel, dh. nach Pythagoras ist dann der Verbindungsvektor [mm]f+g[/mm] die Hypotenuse im Dreieck.
Ist [mm]\alpha = 0 [/mm], dann ist ja [mm] \parallel f + \alpha g \parallel ^{2} \ge \parallel f \parallel^{2}[/mm] und das heißt ja nichts anderes, als dass die Seite [mm]f[/mm] und die Seite [mm]f+g[/mm] gleichschenklig sind und wir somit ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck erhalten, oder!?
Ist [mm]\alpha \not= 0 [/mm], dann ist ja [mm] \parallel f + \alpha g \parallel ^{2} \ge \parallel f \parallel^{2}[/mm], dh. [mm]f+g[/mm] ist länger als [mm]f[/mm] und somit ist [mm]f+g[/mm] genauso lang wie [mm]g[/mm], also auch ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, wenn es denn stimmt!? Man sieht wie unsicher ich bin ....
Zum Aufgabenteil (ii) habe ich auch noch gar keine Idee. Was ist denn da überhaupt gemeint?
Vielen Dank für die Geduld *schäm*
Joergi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 25.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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