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Primfaktorzerlegung: Aufgabenverständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Mo 06.03.2006
Autor: cycilia

Aufgabe
Bestimme die Primfaktorzerlegung von [mm] x^4-2 \in \IZ[X] [/mm] in
(i) [mm] \IZ[X] [/mm]
(ii)  [mm] \IQ[X] [/mm]

Ich habe 2 komplexe Nullstellen und zwei aus den irrationalen Zahlen. Ist eine Primfaktorzerlegung überhaupt möglich?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mo 06.03.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Nachmittag,

um es kurz zu machen: meiner Ansicht nach nicht, d.h. genauer:

[mm] p(x)=x^4-2 [/mm] ist nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades ueber [mm] \IZ [/mm] bzw [mm] \IQ [/mm]
darstellbar.

Gruss,

Mathias

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Primfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mo 06.03.2006
Autor: cycilia

meiner Meinung nach ja eben auch nicht.... bloss was soll dann die Fragestellung?

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Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mo 06.03.2006
Autor: mathiash

Hallo nochmal,

keine Ahnung, vielleicht war es ja ein Versehen des Aufgabenstellers.

Aber das Argument hast Du ja schon geliefert: Es gibt in [mm] \IC [/mm] die Nullstellen

[mm] \sqrt{2},\: \sqrt{2}\cdot i,-\sqrt{2}\cdot [/mm] i, [mm] -\sqrt{2} [/mm]

und damit keine in [mm] \IZ [/mm] und keine in [mm] \IQ [/mm]  (als Polynom vom Grad 4 kann es nur 4 Nullst. in [mm] \IC [/mm] haben).

Gruss,

Mathias

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Primfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:54 Mo 06.03.2006
Autor: cycilia

Ich glaube es geht um folgendes:  [mm] \IQ[X] [/mm] ist ein Hauptidealring, also entsprechen die irreduziblen Elemente hier den Primelementen. In  [mm] \IZ[X] [/mm] ist das, da das kein Hauptidealring ist, nicht zwangsmässig der Fall. Andererseits weiß ich nun aber trotzdem nicht, ob oder wie ich es in [mm] \IZ[X] [/mm] eventuell zerlegen könnte. Dh. ich würde wie gehabt über die Nullstellen argumentieren, dass es nicht zerlegbar ist. Aber ist es das, was man machen soll?

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Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 06.03.2006
Autor: mathiash

Hallo nochmal,

dem ''Lang'' entnehme ich als Nicht-Algebraiker:

R heisst ''factorial ring'' gdw R nullteilerfrei  und jedes [mm] x\neq [/mm] 0 hat eine eindeutige Zerlegung
in irreduzible Elemente. Dort heissen dann die irreduziblen Elemente, da sie Primideale erzeugen,
Primelemente. Jedenfalls sind es aber genau die irreduziblen, und das Argument fuer Irreduziblitaet
ist das ueber die Nullstellen.

Gruss,

Mathias

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Primfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Di 07.03.2006
Autor: cycilia

Danke :) So ganz passt das allerdings immer noch nicht, da wie gesagt  [mm] \IZ[X] [/mm] kein Hauptidealring und auch kein faktorieller Ring ist. Aber zerlegbar ist es eben trotzdem nicht!

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Primfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 Di 07.03.2006
Autor: felixf


> Danke :) So ganz passt das allerdings immer noch nicht, da
> wie gesagt  [mm]\IZ[X][/mm] kein Hauptidealring und auch kein
> faktorieller Ring ist. Aber zerlegbar ist es eben trotzdem
> nicht!

Wie kommst du dadrauf, dass [mm] $\IZ[x]$ [/mm] kein faktorieller Ring ist?! Nur weil er kein Hauptidealring ist... Wenn $R$ ein faktorieller Ring ist, dann auch $R[x]$ und [mm] $R[x_1, [/mm] ..., [mm] x_n]$ [/mm] (siehe auch []hier).

Bei dieser Aufgabe ist uebrigens entscheident, dass das Polynom primitiv (also die Koeffizienten teilerfremd sind) ist: []demnach stimmen die Zerlegungen in Primelemente in [mm] $\IZ[X]$ [/mm] und [mm] $\IQ[X]$ [/mm] ueberein.

LG Felix


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Primfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 Di 07.03.2006
Autor: cycilia

AHHHHHHHHHHH, jetzt versteh ich so langsam..... dh. in diesem Fall, da es in  [mm] \IQ[X] [/mm] unzerlegbar ist, ebenso in  [mm] \IZ[X] [/mm] mit gleicher Primfaktorzerlegung.

Hätte ich das Polynom [mm] 4X^4-2 [/mm] dann wäre die Zerlegung unterschiedlich?

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Primfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:21 Di 07.03.2006
Autor: felixf


> AHHHHHHHHHHH, jetzt versteh ich so langsam..... dh. in
> diesem Fall, da es in  [mm]\IQ[X][/mm] unzerlegbar ist, ebenso in  
> [mm]\IZ[X][/mm] mit gleicher Primfaktorzerlegung.

Genau!

> Hätte ich das Polynom [mm]4X^4-2[/mm] dann wäre die Zerlegung
> unterschiedlich?  

Ja. In [mm] $\IZ[X]$ [/mm] kannst du es als $2 [mm] \cdot [/mm] (2 [mm] X^4 [/mm] - 1)$ zerlegen ($2 [mm] \in \IZ[X]$ [/mm] ist ja keine Einheit!), in [mm] $\IQ$ [/mm] ist es jedoch irreduzibel da $2$ dort eine Einheit ist!

LG Felix



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