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Forum "Algebra" - Primideal/ Maximales Ideal
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Primideal/ Maximales Ideal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Di 09.09.2014
Autor: Natscha89

Aufgabe
Sei I := [mm] 60\IZ. [/mm] Finden Sie ein Ideal J von Z, so dass J kein Primideal und I + J ein
maximales Ideal von Z ist.

Hallo!
Ich komme hier nicht weiter.
Also ich weiß, dass [mm] \IZ [/mm] ein Hauptidealring ist, also ist jedes Primideal auch maximal.
Dh. ich muss ein J finden welches nicht maximal ist, jedoch muss I+J trotzdem maximal bzw dann auch prim sein?
Ist das richtig?
Danke
Lg
Natasha

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Di 09.09.2014
Autor: hippias


> Sei I := [mm]60\IZ.[/mm] Finden Sie ein Ideal J von Z, so dass J
> kein Primideal und I + J ein
>  maximales Ideal von Z ist.
>  Hallo!
>  Ich komme hier nicht weiter.
>  Also ich weiß, dass [mm]\IZ[/mm] ein Hauptidealring ist, also ist
> jedes Primideal auch maximal.
>  Dh. ich muss ein J finden welches nicht maximal ist,
> jedoch muss I+J trotzdem maximal bzw dann auch prim sein?
>  Ist das richtig?

Zweimal: Ja.

Ein Tip zum Ansatz: Du weisst, dass $I$ und $J$ Hauptideale sind, also etwa [mm] $I=a\IZ$ [/mm] und [mm] $J=b\IZ$. [/mm] Ebenso $I+J$ ist ein Hauptideal: vielleicht $I+J= [mm] c\IZ$. [/mm] In der Vorlesung habt ihr bestimmt besprochen wie $a$, $b$ und auch $c$ zusammenhaengen.

>  Danke
>  Lg
> Natasha
>  
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Bezug
                
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Di 09.09.2014
Autor: Natscha89

Danke für deine schnelle Antwort!
Aber wie stehen denn a,b,c zueinander? man kann ja nicht einfach [mm] a\IZ +b\IZ =c\IZ [/mm] rechnen.
LG Natsha

Bezug
                        
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Di 09.09.2014
Autor: felixf

Moin Natsha!

> Danke für deine schnelle Antwort!
>  Aber wie stehen denn a,b,c zueinander? man kann ja nicht
> einfach [mm]a\IZ +b\IZ =c\IZ[/mm] rechnen.

Haengt davon ab was man mit "einfach rechnen" meint :-)

Ihr habt ziemlich sicher in der Vorlesung ein Resultat über Hauptideale (evtl. in Hauptidealbereichen oder in euklidischen Ringen). Dort wird auch stehen, wie man aus $a$ und $b$ ein solches $c$ mit $c [mm] \IZ [/mm] = a [mm] \IZ [/mm] + b [mm] \IZ$ [/mm] finden kann.

Schau doch mal genau nach.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mi 10.09.2014
Autor: Natscha89

$ [mm] a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ [/mm] $ ist das richtig?
Das ist das einzige was ich dazu gefunden habe.
Danke!!
Lg Natasha

Bezug
                                        
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 10.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]a\IZ+b\IZ=ggt(a,b)\IZ[/mm] ist das richtig?
>  Das ist das einzige was ich dazu gefunden habe.
>  Danke!!
>  Lg Natasha

sieht doch gut aus.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Mi 10.09.2014
Autor: Natscha89

Danke!!
Dann versuch ich das mal.


Bezug
                                                        
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 Mi 10.09.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Danke!!
> Dann versuch ich das mal.

vielleicht hilft Dir ja auch

    []sowas (Seite 23)

[mm] $(\IZ,+,*)$ [/mm] ist ein Hauptidealring, ein Ideal [mm] $(p)\,$ [/mm] ist also genau dann ein Primideal,
wenn [mm] $p\,$ [/mm] prim ist, und das ist auch gleichbedeutend mit [mm] "$(p)\,$ [/mm] ist maximal".

([]http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring#Teilbarkeit)

(Edit: Man muss hier bei dem Nullideal aufpassen, welches prim, aber nicht
maximal ist! Siehe auch []http://www.matheboard.de/archive/509548/thread.html.)


[mm] $I=60\IZ$ [/mm] ist also weder Prim noch maximal. Jetzt suchst Du $J=b [mm] \IZ$ [/mm] mit einem
(nicht primen) $b [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass

    [mm] $d:=\ggT(a,b)$ [/mm] prim ist (damit [mm] $d\IZ$ [/mm] Primideal und damit maximal wird).

Die Aufgabe ist also eigentlich sehr leicht, Du kannst sie äquivalent umformulieren
mit:
"Sei [mm] $a:=60\,.$ [/mm] Wir suchen $b [mm] \in \IZ$ [/mm] nicht prim so, dass

    [mm] $\ggT(a,b)$ [/mm] prim ist."

In der Form würdest Du sie in der Schule vorgestellt bekommen. ;-)

Also: Die Verpackung ist komplexer als der Inhalt. ;-)

P.S. Wenn Du es Dir ganz einfach machen willst: Schreibe erst mal eine
Primfaktorzerlegung von [mm] $60\,$ [/mm] hin... (eine, weil es in [mm] $\IZ$ [/mm] durchaus nicht nur
die Einheit [mm] $1\,$ [/mm] gibt).

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Do 11.09.2014
Autor: Natscha89

Also wäre mein J:= [mm] 27\IZ [/mm] müsste es funktionieren, da ggt(30,27)=3 Also ich [mm] I+J=3\IZ [/mm] richtig?

Bezug
                                                                        
Bezug
Primideal/ Maximales Ideal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Do 11.09.2014
Autor: hippias

$ggt(30,27)=3$ ist richtig.

Bezug
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