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Primzahlen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Di 25.11.2014
Autor: soffel

Aufgabe
Ein Primzahldrilling sind 3 Primzahlen, die sich in der Form p, p+2 und p+4  darstellen lassen. Beweise, dass es genau eine Zahl mit diesen Voraussetzungen gibt.

Ich habe schon herausbekommen, dass es die Zahlenreinfolge 3, 5,7 ist. Mir fehlt jetzt nur noch der Beweis das es keine anderen mehr gibt. Außerdem habe ich herausgefunden, dass alles was in der Zahlenreihe ist als einer keine geraden Zahlen sein dürfen, weil Primzahlen gefordert sind. Es darf aber auch keine 5 in der Reihe sein, denn mit dem Einer 5 kann es keine Primzahl mehr sein. (abgesehen von der Zahl 5) Also kommt nur die Folge 7, 9, 1 oder 9,1 ,3 in Frage als Einerzahl. Durch Probieren habe ich herausgefunden, dass es aber immer eine Zahl gibt, welche durch 3 teilbar ist. Deshalb kann nur die Zahlenfolge 3,5 ,7 in Frage kommen. Wie kann ich beweisen das eine Zahl immer durch 3 teilbar ist? Danke im Voraus

        
Bezug
Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Di 25.11.2014
Autor: fred97

Sei p eine Primzahl [mm] \ge [/mm] 5

p ist dann nicht durch 3 teilbar. Es gilt also, mit einer natürlichen Zahl k:

  entweder p=3k+1  oder  p=3k+2.

Zeige nun:

  p+2 ist keine Primzahl oder p+4 ist keine Primzahl.

Damit ist gezeigt: ist p [mm] \ge [/mm] 5, so sind p,p+2,p+4 nie Primzahldrillinge.


FRED

Bezug
                
Bezug
Primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:25 Di 25.11.2014
Autor: soffel

Hallo Fred,
ich verstehe es immer noch nicht. Wenn P zb. 27 ist, dann ist p+2 und p+4 29 und 31. Die 27 ist dann aber durch 3 teilbar, also keine Primzahl. Bei 17, 19, 21 ist wiederum die 21 durch 3 teilbar. Daraus habe ich geschlußfolgert, daß immer mind.eine der 3 zahlen keine Primzahl ist, da sie durch 3 teilbar ist. Wie meinst Du das mit dem 3k+1 und 3k+2? Danke.

Bezug
                        
Bezug
Primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  ich verstehe es immer noch nicht. Wenn P zb. 27 ist,

Mit p=27 brauchst Du doch nicht beginnen ! 27 ist keine Primzahl.


> dann
> ist p+2 und p+4 29 und 31. Die 27 ist dann aber durch 3
> teilbar, also keine Primzahl. Bei 17, 19, 21 ist wiederum
> die 21 durch 3 teilbar. Daraus habe ich geschlußfolgert,
> daß immer mind.eine der 3 zahlen keine Primzahl ist, da
> sie durch 3 teilbar ist. Wie meinst Du das mit dem 3k+1 und
> 3k+2? Danke.

Ist x eine ganze Zahl, so gibt es 3 Möglichkeiten:

1.  x ist durch 3 teilbar.

2. x lässt bei der Division durch 3 den Rest 1.  Dann hat x die Gestalt

   x=3k+1  mit einer ganzen Zahl k.

3. x lässt bei der Division durch 3 den Rest 2.  Dann hat x die Gestalt

   x=3k+2  mit einer ganzen Zahl k.

FRED



Bezug
                                
Bezug
Primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Di 25.11.2014
Autor: soffel

Ok ich glaube ich habs verstanden. Jetzt nur noch in Worte fassen ;-)
Vielen Dank!

Bezug
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