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Forum "Kombinatorik" - Problem bei der Formelfindung
Problem bei der Formelfindung < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Problem bei der Formelfindung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Mo 24.07.2017
Autor: Bindl

Aufgabe
a) Die PIN einer Bankkarte besteht aus vier Ziffern, von denen die erste keine Null ist. Wie viele verschiedene PINs gibt es?
b) Wie viele vierstellige PINs haben lauter verschiedene Ziffern?
c) Wie viele vierstellige PINs haben lauter verschiedene Ziffern, wenn die erste Ziffer keine Null sein darf?
d) Zehn Schachspieler bestreiten ein Turnier, bei dem jeder Spieler gegen jeden einmal antreten soll. Wie viele Schachpartien müssen insgesamt stattfinden?

Hi zusammen,
ich habe bei der Kombinatorik immer wieder Probleme den Fall richtig zuzuordnen.

Hier meine Lösungen:
a) Variation mit Reihenfolge & mit zurücklegen
[mm] 10^4 [/mm] für alle Varianten und [mm] 10^3 [/mm] für die 3 möglichen Zahlen wenn die erste Zahl 0 ist.

[mm] 10^4 [/mm] - [mm] 10^3 [/mm] = 9000

b)
Variation mit Reihenfolge & ohne zurücklegen
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm]
[mm] \bruch{10!}{(10-4)!} [/mm] = 5040

c)
5040 - [mm] \bruch{10!}{(10-3)!} [/mm] = 4320

[mm] \bruch{10!}{(10-3)!} [/mm] sind die Varianten wenn die erste Ziffer eine 0 ist.

d)
Hier weiß ich das es 10 * 9 sein, da jeder 9 Spiele haben muss.
Also muss es wohl [mm] \bruch{10!}{(10-2)!} [/mm] sein, nur weiß ich nicht wieso es hier k=2 sein muss.
Kann mir hier jmd. helfen?

Vielen Dank für die Hilfe im voraus


        
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Mo 24.07.2017
Autor: HJKweseleit


> a) Die PIN einer Bankkarte besteht aus vier Ziffern, von
> denen die erste keine Null ist. Wie viele verschiedene PINs
> gibt es?
>  b) Wie viele vierstellige PINs haben lauter verschiedene
> Ziffern?
>  c) Wie viele vierstellige PINs haben lauter verschiedene
> Ziffern, wenn die erste Ziffer keine Null sein darf?
>  d) Zehn Schachspieler bestreiten ein Turnier, bei dem
> jeder Spieler gegen jeden einmal antreten soll. Wie viele
> Schachpartien müssen insgesamt stattfinden?
>  Hi zusammen,
>  ich habe bei der Kombinatorik immer wieder Probleme den
> Fall richtig zuzuordnen.
>  
> Hier meine Lösungen:
>  a) Variation mit Reihenfolge & mit zurücklegen
>  [mm]10^4[/mm] für alle Varianten und [mm]10^3[/mm] für die 3 möglichen
> Zahlen wenn die erste Zahl 0 ist.
>  
> [mm]10^4[/mm] - [mm]10^3[/mm] = 9000  [ok]
>  
> b)
>  Variation mit Reihenfolge & ohne zurücklegen
>  [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
>  [mm]\bruch{10!}{(10-4)!}[/mm] = 5040  [ok]
>  
> c)
>  5040 - [mm]\bruch{10!}{(10-3)!}[/mm] = 4320
>  
> [mm]\bruch{10!}{(10-3)!}[/mm] sind die Varianten wenn die erste
> Ziffer eine 0 ist.

[notok]

Du ziehst zu viel ab.

Betrachte die Zahl 0226. Die ziehst zu nun ab, weil die letzten 3 Ziffern eine Dopplung haben. Diese Zahl fehlte aber schon bei den von dir gezählten 5040 Zahlen, weil da ja auch keine Dopplung vorkommen durfte.

Benutze nicht zu viel Formelkram! Stell dir besser den Vorgang des Zahlenbildens vor und bastle danach die Formel. Hier:

1. Ziffer: Keine 0: 9 Mgl.
2. Ziffer: Alles erlaubt, aber nicht die erste Ziffer: 9 Mgl.
3. Ziffer: Alles erlaubt, aber nicht die ersten beiden Ziffern: 8 Mgl.
3. Ziffer: Alles erlaubt, aber nicht die ersten drei Ziffern: 7 Mgl.

Somit: 9*9*8*7=4536 Mgl.

Zur Kontrolle: Betrachte die zuviel abgezogenen Zahlen:
Vorne 0, dann keine 0, dann keine0, aber andere Ziffer: 1*9*8=72 Mgl.
Jetzt dasselbe mit 0 in der Mitte und dann mit 0 hinten. Zusammen 3*72=216 Mgl.

4320+216=4536 Mgl.

>  
> d)
>  Hier weiß ich das es 10 * 9 sein, da jeder 9 Spiele haben
> muss. [notok]
>  Also muss es wohl [mm]\bruch{10!}{(10-2)!}[/mm] sein, nur weiß ich
> nicht wieso es hier k=2 sein muss.
>  Kann mir hier jmd. helfen?

Ich weiß nicht, was k sein soll, lass den Formelkram weg.

Jeder Spieler gibt jedem Gegner zum Spielbeginn die Hand. Er schüttelt also 9 Gegnern die Hand. Das tun alle 10 Spieler, also 10*9 Handdrücke. Aber bei jedem Spiel kommen 2 Hände zusammen, also sind es nur 45 Spiele.

Oder: Wieviele Mgl. gibt es, aus 10 Spielern 2 auszusuchen, wobei es keine Rolle spielt, wer als erster oder 2. ausgesucht wird? [mm] \vektor{10 \\ 2}= [/mm] 45.

[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ist die einzige Formel, die man beherrschen und ohne nachzudenken einsetzen sollte (wie die p-q-Formel bei quadratischen Gleichungen). ALLE(!) anderen Probleme kann man besser durch neues Überlegen lösen.

>  
> Vielen Dank für die Hilfe im voraus
>  


Bezug
                
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Mo 24.07.2017
Autor: Bindl

Danke!
Das Formeldenken werde ich nun hoffentlich etwas unterlassen.

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Bezug
Problem bei der Formelfindung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Mo 24.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ist die einzige Formel, die man beherrschen
> und ohne nachzudenken einsetzen sollte (wie die p-q-Formel
> bei quadratischen Gleichungen). ALLE(!) anderen Probleme
> kann man besser durch neues Überlegen lösen.

So ein Unfug.

Mit einem idealen Würfel werde so oft geworfen, bis alle Zahlen mindestens einmal gefallen sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dafür, sagen wir 12 Würfe benötigt?

So, und das ganze bitte ohne Formeln!

Gruß, Diophant

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Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Mo 24.07.2017
Autor: rabilein1


> > [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ist die einzige Formel, die man beherrschen  und ohne nachzudenken einsetzen sollte
> >(ALLE(!) anderen Probleme kann man besser durch neues Überlegen lösen.
>  
> So ein Unfug.
>  
> Mit einem idealen Würfel werde so oft geworfen, bis alle Zahlen mindestens einmal gefallen sind.
>  
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dafür  12 Würfe benötigt?
>  
> So, und das ganze bitte ohne Formeln!
>  
> Gruß, Diophant


In der Mathematik gibt es eine riesige Anzahl von Formeln. Wenn man die alle auswendig kennt (bzw. in einer Formelsammlung findet nebst Anleitung, in welchem Fall sie anzuwenden sind), ja, dann herzlichen Glückwunsch. Dann kann man sie selbstverständlich benutzen.

In allen anderen Fällen bleibt einem doch nichts anderes übrig, als durch neues Überlegen zu lösen.

Eine weitere Lösungsmöglichkeit für oben genannte Aufgabe - mathematisch wohl nicht ganz anerkannt - ist die "Al-Chwarizmi-Methode", nämlich ein Programm zu schreiben, dass einige Millionen mal "würfelt" und dann schaut, mit welcher Wahrscheinlichkeit die obige Bedingung erfüllt ist.


Bezug
                        
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Problem bei der Formelfindung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mi 26.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> > [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] ist die einzige Formel, die man
> beherrschen
>  > und ohne nachzudenken einsetzen sollte (wie die

> p-q-Formel
>  > bei quadratischen Gleichungen). ALLE(!) anderen

> Probleme
>  > kann man besser durch neues Überlegen lösen.

>  
> So ein Unfug.
>  
> Mit einem idealen Würfel werde so oft geworfen, bis alle
> Zahlen mindestens einmal gefallen sind.
>  
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dafür,
> sagen wir 12 Würfe benötigt?

Hallo Diophant,
Habe durch Überlegen mit Hilfe der Matrizenrechnung [mm] \bruch{29607600}{362797056} [/mm] heraus.

>  
> So, und das ganze bitte ohne Formeln!

Wenn du mir jetzt die passende Formel sagen könntest, gebe ich mich geschlagen.

Gruß
HJKweseleit

>  
> Gruß, Diophant


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Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 Mi 26.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

es sei X diejenige Zufallsvariable, welche die Anzahl der benötigten Würfe zählt. Dann ist

[mm]P(X=12)= \frac{1}{6^{11}}* \sum_{k=1}^{5}\left((-1)^{k+1}* \vektor{5 \\ k}*k^{11}\right)= \frac{616825}{7558272}\approx{0.082} [/mm]

Das ganze beruht im Wesentlichen auf der Siebformel.

Deinen Ansatz kann ich nicht bewerten, da außer der Verwendung von Matrizen nichts darüber gesagt ist. Dein Resultat ist jedoch definitiv falsch.

Sorry: auch dein Resultat ist richtig (weshalb kürzt du das nicht?).

Mir geht es hier aber um etwas völlig anderes. Es ist ja durchaus wichtig (gerade bei Studierenden), diese absolute Formelgläubigkeit zu hinterfragen bzw. zu kritisieren. Auf der anderen Seite: was ist denn eine Formel? Sie ist sozusagen konserviertes mathematisches Wissen. Wenn ich eine Formel verwende, dann greife ich dabei auf Wissen zurück, welches vor mir schon andere Menschen für mich verfügbar gemacht haben. Und Studenten sollen doch möglichst früh lernen, wissenschaftlich zu arbeiten, richtig? Dazu gehört insbesondere auch, nicht jedesmal das Rad neu zu erfinden, sondern eben auf das zurückzugreifen, was bereits bekannt ist. Also besteht ein vernünftiger Umgang mit Formeln in der Mathematik darin, sich klarzumachen, wie sie zustandekommen, so dass man, wenn man die Struktur eines einer solchen Formel zugrundeliegenden Problems wiedererkennt, auf diese Formel zurückgreifen kann und dann auch gleich weiß, warum.


Gruß, Diophant 

Bezug
                                        
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:32 Do 27.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> es sei X diejenige Zufallsvariable, welche die Anzahl der
> benötigten Würfe zählt. Dann ist
>  
> [mm]P(X=12)= \frac{1}{6^{11}}* \sum_{k=1}^{5}\left((-1)^{k+1}* \vektor{5 \\ k}*k^{11}\right)= \frac{616825}{7558272}\approx{0.082}[/mm]
>  
> Das ganze beruht im Wesentlichen auf der Siebformel.

Ok, gebe mich geschlagen. Die Siebformel kannte ich nicht.

>  
> Deinen Ansatz kann ich nicht bewerten, da außer der
> Verwendung von Matrizen nichts darüber gesagt ist. Dein
> Resultat ist jedoch definitiv falsch.
>  
> Sorry: auch dein Resultat ist richtig (weshalb kürzt du
> das nicht?).

Habe einen Zustandsvktor mit 6 Komponenten gebildet. In jedem Zustand sagt mir die n-te Komponente die W. dafür, dass man genau n verschiedene Zahlen gewürfelt hat. Nach dem 1. Würfeln heißt der Vektor [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0}. [/mm] In den nächsten Zustand gelangt man durch Multiplikation mit der Matrix A = [mm] \bruch{1}{6}\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6 }. [/mm]

[mm] A^{11}*\vec{x}-A^{10}*\vec{x} [/mm] sagt mir in seiner 6.Komponente die W. dafür, genau im 12. Wurf, aber noch nicht im 11., alle 6 Zahlen gewürfelt zu haben.

(Wolfram Alpha hat wohl nicht gekürzt, weil das mit den anderen Vektorkomponenten teilweise nicht ging.)

>  
> Mir geht es hier aber um etwas völlig anderes. Es ist ja
> durchaus wichtig (gerade bei Studierenden), diese absolute
> Formelgläubigkeit zu hinterfragen bzw. zu kritisieren.

Genau darum geht es mir auch!

> Auf  der anderen Seite: was ist denn eine Formel? Sie ist
> sozusagen konserviertes mathematisches Wissen. Wenn ich
> eine Formel verwende, dann greife ich dabei auf Wissen
> zurück, welches vor mir schon andere Menschen für mich
> verfügbar gemacht haben. Und Studenten sollen doch
> möglichst früh lernen, wissenschaftlich zu arbeiten,
> richtig? Dazu gehört insbesondere auch, nicht jedesmal das
> Rad neu zu erfinden, sondern eben auf das zurückzugreifen,
> was bereits bekannt ist.

Ja, mir ja gerade passiert.

> Also besteht ein vernünftiger Umgang mit Formeln in der Mathematik darin, sich
> klarzumachen, wie sie zustandekommen, so dass man, wenn man
> die Struktur eines einer solchen Formel zugrundeliegenden
> Problems wiedererkennt, auf diese Formel zurückgreifen
> kann und dann auch gleich weiß, warum.

Ebenfalls d'accord. Als Lehrer nach 40 Berufsjahren habe ich allerdings die Erfahrung gemacht, dass sich Schüler auf Formelwissen zurückziehen und das Problem nicht analysieren. Man zieht sich z.B. auf Worthülsen wie "Es handelt sich um eine Ziehung mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" zurück und sucht nur nach solch einfachen Vorgängen, und wenn die nicht vorliegen, macht man sich das Ganze "passend" ("as if man in English the words all learned have but not the grammar knows").  Ganz besonders im Fach Physik werden Formeln blind ineinander eingesetzt, obwohl die entsprechenden Sachverhalte gar nicht vorliegen.

Gruß
HJKweseleit


>  
>
> Gruß, Diophant 


Bezug
                                                
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:36 Do 27.07.2017
Autor: Diophant

Hallo HJKweseleit,

danke für deinen Ansatz. Ich muss da mal noch darüber nachdenken, aber es scheint mir, dass dein Ansatz vom Prinzip her das gleiche tut wie die Siebformel. Aber wie gesagt, da muss ich noch darüber nachdenken.

Ich entschuldige mich für meinen Tonfall. Aber einen interessanten Expertenstreit hat er doch ausgelöst, so dass ich selbigen aus aktuellem Anlass mit zwei Liedern abschließen möchte:

[]Fischer-Dieskau singt Sachs.


Gruß, Diophant 

Bezug
                                        
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Formel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 Do 27.07.2017
Autor: rabilein1


> Mit einem idealen Würfel werde so oft geworfen, bis alle Zahlen mindestens einmal gefallen sind.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man dafür, sagen wir 12 Würfe benötigt?

>> es sei X diejenige Zufallsvariable, welche die Anzahl der benötigten Würfe zählt. Dann ist

>  

>> [mm]P(X=12)= \frac{1}{6^{11}}* \sum_{k=1}^{5}\left((-1)^{k+1}* \vektor{5 \\ k}*k^{11}\right)= \frac{616825}{7558272}\approx{0.082}[/mm]

So eine (komplizierte) Formel ist m.E. dann sinnvoll, wenn man genau dieselbe Aufgabe mit immer wieder anderen Zahlen rechnen will (statt Würfel eine Scheibe mit den Zahlen 1 bis 8, und statt "12 Würfe" soll die Scheibe 15 Mal gedreht werden.

Eigentlich dürften in der obigen Formel nur die Zahlen aus der Aufgabe "6" (Anzahl der Flächen des Würfels) und "12" (Anzahl der Würfe) vorkommen. Woraus setzt sich die 5 zusammen (6-1 oder 12-6-1)?    



> Formelgläubigkeit hinterfragen
> konserviertes mathematisches Wissen

Formeln sind sicherlich sehr hilfreich - sofern man die richtige Formel für die gegebene Aufgabenstellung parat hat. Allerdings kann eine klitzekleine Änderung in der Aufgabenstellung schon wieder eine völlig andere Formel erfordern.


> nicht jedesmal das Rad neu erfinden

Da stimme ich grundsätzlich zu. Aber allein Aufgaben vom Typ "Beweisen Sie, dass ..." bedeuten doch so viel wie "Machen Sie genau das, was schon Tausende anderer Leute vor Ihnen gemacht haben".

  

Bezug
                                                
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Do 27.07.2017
Autor: fred97


> Aber allein Aufgaben vom
> Typ "Beweisen Sie, dass ..." bedeuten doch so viel wie
> "Machen Sie genau das, was schon Tausende anderer Leute vor
> Ihnen gemacht haben".


Mit Verlaub: das ist doch völliger Blödsinn. So etwas kann nur einer schreiben, der von Hochschulmathematik keine Ahnung hat. Wenn man von Hochschulmathematik keine Ahnung hat, so ist das völlig O.K., nur dann sollte man sich mit großkotzigen Aussagen (wie oben ) zurückhalten.

Ich werde mich hüten, irgend etwas zu sagen über

"Funktionelle Proteomforschung und Synthetische Biologie ".

Warum ?

Darum: ich habe davon keine Ahnung.

>  
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Rad-Neuerfindung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:40 Do 27.07.2017
Autor: rabilein1


> > Aber allein Aufgaben vom
> > Typ "Beweisen Sie, dass ..." bedeuten doch so viel wie
> > "Machen Sie genau das, was schon Tausende anderer Leute vor
> > Ihnen gemacht haben".
>  
>
> Mit Verlaub: das ist doch völliger Blödsinn.

Was ist denn an der Aussage falsch?

Gerade WEIL ich keine Ahnung von Hochschulmathematik habe, ist mir aufgefallen, dass da verlangt wird, genau DAS zu tun, was viele andere vorher auch schon getan haben. Oder wie Diophant es nannte "Das Rad zum soundsovielten Male neu erfinden".

Natürlich muss man das in vielen Fällen auch machen: Wer eine Führerscheinprüfung macht, muss u.a. auch einparken, obwohl das schon Tausende Andere vor ihm gemacht haben.

Und auch ein Kleinkind lernt laufen und sprechen, obwohl Milliarden anderer Menschen vor ihm das auch schon gemacht haben.
Das Rad ist eben dazu da, immer wieder neu erfunden zu werden - anscheinend eben auch in der Hochschulmathematik...



Bezug
                                                                
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Do 27.07.2017
Autor: Diophant

Moin,

> Gerade WEIL ich keine Ahnung von Hochschulmathematik habe,
> ist mir aufgefallen, dass da verlangt wird, genau DAS zu
> tun, was viele andere vorher auch schon getan haben. Oder
> wie Diophant es nannte "Das Rad zum soundsovielten Male neu
> erfinden".

>

> Natürlich muss man das in vielen Fällen auch machen: Wer
> eine Führerscheinprüfung macht, muss u.a. auch einparken,
> obwohl das schon Tausende Andere vor ihm gemacht haben.

>

> Und auch ein Kleinkind lernt laufen und sprechen, obwohl
> Milliarden anderer Menschen vor ihm das auch schon gemacht
> haben.
> Das Rad ist eben dazu da, immer wieder neu erfunden zu
> werden - anscheinend eben auch in der
> Hochschulmathematik...

WO IST DER BUS?


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Problem bei der Formelfindung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Mo 24.07.2017
Autor: Diophant

Hallo,

ich hatte aus Versehen den Status deiner Frage wieder auf teilweise beantwortet gesetzt. Diese Mitteilung dient nur der Korrektur dieses Zustands.

Gruß, Diophant

Bezug
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