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Projektion: Projetion Vektor auf Unterraum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 So 09.10.2016
Autor: PeterSteiner

Aufgabe
Berechnen Sie die Projetion des Vektors [mm] v=\vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] auf den Vektoren [mm] u_1=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}}} [/mm] und [mm] u_2=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm] aufgespannten Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm]

Leider komme ich bei dieser Aufgabe so garnicht klar wenn ich mir die Lösungen (siehe Anhang betrachte).

Kann ich diese Aufgabe nicht mit folgender Formel lösen?

[mm] p=\bruch{}{|u_1|^2}*u_1+\bruch{}{|u_2|^2}*u_2 [/mm]


[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Mo 10.10.2016
Autor: HJKweseleit

Der Gesamtvektor hinter der geschweiften Klammer hat den Wert [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{-4}{3}\\ \bruch{10}{3}}. [/mm]

Er wurde genau nach deiner Formel berechnet und ist richtig.

Danach folgt offenbar ein zweiter Rechenweg, mit dem man zum selben Ergebnis gelangen kann.

Bezug
                
Bezug
Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:41 Mo 10.10.2016
Autor: PeterSteiner

Danke für deine Antwort,
leider kann ich dann die alternative Lösung nicht nachvollziehen. Der Lösungsvektor ist doch vollkommen anders.
Warum wurde das Kreuzprodukt zur Berechnung verwendet ?

Bezug
                        
Bezug
Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:07 Mo 10.10.2016
Autor: fred97


>  Danke für deine Antwort,
>  leider kann ich dann die alternative Lösung nicht
> nachvollziehen. Der Lösungsvektor ist doch vollkommen
> anders.

Das Blatt welches Du eingescant hast ist unten abgeschnitten, man kann also nicht alles lesen.


>  Warum wurde das Kreuzprodukt zur Berechnung verwendet ?

Ist U der von [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] aufgespannte Unterraum, so wird zunächst das ortogonale Komplement [mm] U^{\perp} [/mm] von U bestimmt.

Ist [mm] $u_3=u_1 \times u_2$, [/mm] so hat man

     [mm] U^{\perp}=span(u_3) [/mm]

und damit

[mm] $\IR^3=U \oplus U^{\perp}$ [/mm]




Bezug
                                
Bezug
Projektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:21 Mo 10.10.2016
Autor: PeterSteiner

Hallo danke für deine Antwort. Da wo das Blatt angeschnitten ist hört die Lösung auf.
Ok aber wie komme ich mit dem Kreuzprodukt auf das selbe Ergebnis wie bei der eingangs erwähnten Formel ?

Bezug
                                        
Bezug
Projektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Mo 10.10.2016
Autor: leduart

Hallo
[mm] u_1\times u_2 [/mm] steht senkrecht auf der Ebene, wenn du von v die Komponente in Richtung des Kreuzproduktes abziehst, bleibt die Komponente senkrecht dazu, also die in der Ebene.
Gruss leduart

Bezug
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