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Projektionsoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mo 13.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt aus Aufgabe 4
anhand von V = \IR^{2}, W = {v \in \IR^{2} : a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0} mit a_1, a_2 \in \IR gegeben.
(i) Geben Sie [mm] W^{\perp} [/mm] an und stellen Sie W und [mm] W^{\perp} [/mm] grafisch dar.
(ii) Finden Sie die Matrixdarstellungen der Projektionsoperatoren [mm] P_W [/mm] und [mm] P_W^{\perp}?. [/mm]

Also bei i) müsste es ja [mm] a_1 v_1 [/mm] - [mm] a_2 v_2 [/mm] sein.

Bei ii) frage ich mich ob das das vorgehen ist wie auf []Wikipedia ?

        
Bezug
Projektionsoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Mo 13.11.2017
Autor: leduart

Hallo
was war denn Aufgabe 4?
und warum  soll es [mm] a_1v_1 -a_2v_2 [/mm] sein ? [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind gegeben und können  einzeln .positiv und negativ oder 0 sein.
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Projektionsoperator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 14.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
Sei V ein Hilbertraum und W [mm] \subset [/mm] V ein abgeschlossener Teilraum. Zu u [mm] \in [/mm] V sei
[mm] w_u \in [/mm] W die Lösung des Variationsproblems
Gesucht [mm] w_u \in [/mm] W : [mm] (w_u, w)_V [/mm] = [mm] (u;w)_V [/mm] für alle w [mm] \in [/mm] W:

Zeigen Sie:
(i) [mm] w_u [/mm] ist wohldefniert und [mm] ||w_u|| \le [/mm] ||u|| (siehe Vorlesung);
(ii) [mm] P_W^{\perp} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V , u [mm] \mapsto w_u [/mm] ist ein linearer stetiger Operator mit [mm] ||P_W||_{V \to V} \le [/mm] 1;
(iii) Es gilt [mm] P^2 [/mm] u = Pu (Projektion) und (Pu, v) = (u, Pv) (Orthogonalität).
(iv) [mm] P_{W^{\perp}} [/mm] = I - [mm] P_W [/mm] ist der entsprechende orthogonale Projektor auf das orthogonale Komplement [mm] W^{\perp} [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V : (v,w) = 0 [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W}.
(v) Zeigen Sie, dass V = W [mm] \oplus W^{\perp} [/mm] gilt und dieses Splitting orthogonal ist, d.h., jedes v  [mm] \in [/mm] V lässt sich eindeutig zerlegen in v = [mm] w+w^{\perp} [/mm] mit w [mm] \in [/mm] W und [mm] w^{\perp} \in W^{\perp}. [/mm]
(vi) Zeigen Sie die folgende Variante des Satzes von Pythagoras: [mm] ||v||^2 [/mm] = [mm] ||P_W [/mm] v [mm] ||^2+||P_{W^{\perp}}v||^2. [/mm]
Hinweis: Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Fall V = [mm] \IR^2 [/mm] und W [mm] \subset [/mm] V eine Gerade durch den Ursprung und machen Sie eine Skizze; siehe auch Aufgabe 7.

Hier Aufgabe 4.

> Hallo
>   was war denn Aufgabe 4?
>  und warum  soll es [mm]a_1v_1 -a_2v_2[/mm] sein ? [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] sind
> gegeben und können  einzeln .positiv und negativ oder 0
> sein.
>  Gruß leduart

Also eigentlich meinte ich [mm]a_1v_1 -a_2v_2=0[/mm], wenn natürlich [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] Null werden bekommt man tatsächlich ein Problem, aber wie kann ich das lösen. Für alle anderen Fälle sollte es doch gehen. Denn wenn man [mm] a_1 [/mm] = 1 und [mm] a_2 [/mm] = 1 wählt hat man eine fallende Gerade und sagen wir mal [mm] \hat{a_1} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] und [mm] \hat{a_2}=-a_2 [/mm] bekommt man eine steigende gerade welche Senkrecht auf die alte Gerade verläuft.

Bezug
                        
Bezug
Projektionsoperator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Mi 15.11.2017
Autor: fred97


> Sei V ein Hilbertraum und W [mm]\subset[/mm] V ein abgeschlossener
> Teilraum. Zu u [mm]\in[/mm] V sei
>  [mm]w_u \in[/mm] W die Lösung des Variationsproblems
>  Gesucht [mm]w_u \in[/mm] W : [mm](w_u, w)_V[/mm] = [mm](u;w)_V[/mm] für alle w [mm]\in[/mm]
> W:
>  
> Zeigen Sie:
>  (i) [mm]w_u[/mm] ist wohldefniert und [mm]||w_u|| \le[/mm] ||u|| (siehe
> Vorlesung);
>  (ii) [mm]P_W^{\perp}[/mm] : V [mm]\to[/mm] V , u [mm]\mapsto w_u[/mm] ist ein
> linearer stetiger Operator mit [mm]||P_W||_{V \to V} \le[/mm] 1;
>  (iii) Es gilt [mm]P^2[/mm] u = Pu (Projektion) und (Pu, v) = (u,
> Pv) (Orthogonalität).
>  (iv) [mm]P_{W^{\perp}}[/mm] = I - [mm]P_W[/mm] ist der entsprechende
> orthogonale Projektor auf das orthogonale Komplement
> [mm]W^{\perp}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

= {v [mm]\in[/mm] V : (v,w) = 0 [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

W}.

>  (v) Zeigen Sie, dass V = W [mm]\oplus W^{\perp}[/mm] gilt und
> dieses Splitting orthogonal ist, d.h., jedes v  [mm]\in[/mm] V
> lässt sich eindeutig zerlegen in v = [mm]w+w^{\perp}[/mm] mit w [mm]\in[/mm]
> W und [mm]w^{\perp} \in W^{\perp}.[/mm]
>  (vi) Zeigen Sie die
> folgende Variante des Satzes von Pythagoras: [mm]||v||^2[/mm] =
> [mm]||P_W[/mm] v [mm]||^2+||P_{W^{\perp}}v||^2.[/mm]
>  Hinweis: Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Fall V =
> [mm]\IR^2[/mm] und W [mm]\subset[/mm] V eine Gerade durch den Ursprung und
> machen Sie eine Skizze; siehe auch Aufgabe 7.
>  Hier Aufgabe 4.
>  
> > Hallo
>  >   was war denn Aufgabe 4?
>  >  und warum  soll es [mm]a_1v_1 -a_2v_2[/mm] sein ? [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]
> sind
> > gegeben und können  einzeln .positiv und negativ oder 0
> > sein.
>  >  Gruß leduart
>
> Also eigentlich meinte ich [mm]a_1v_1 -a_2v_2=0[/mm],


Ich kann nur ahnen, was Du meinst, da Du nicht sagst, worauf sich  [mm]a_1v_1 -a_2v_2=0[/mm] bezieht. Wenn ich richtig ahne, ist es falsch, siehe unten .



> wenn
> natürlich [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] Null werden bekommt man tatsächlich
> ein Problem, aber wie kann ich das lösen. Für alle
> anderen Fälle sollte es doch gehen. Denn wenn man [mm]a_1[/mm] = 1
> und [mm]a_2[/mm] = 1 wählt hat man eine fallende Gerade und sagen
> wir mal [mm]\hat{a_1}[/mm] = [mm]a_1[/mm] und [mm]\hat{a_2}=-a_2[/mm] bekommt man eine
> steigende gerade welche Senkrecht auf die alte Gerade
> verläuft.


Wir haben also [mm] $W=\{(x,y) \in \IR^2: a_1x+a_2y=0\}$ [/mm]

Fall 1: [mm] a_1=a_2=0. [/mm] Dann ist $W= [mm] \IR^2$ [/mm] und damit [mm] $W^{\perp}= \{0\}$ [/mm]

Fall 2: [mm] (a_1,a_2) \ne [/mm] (0,0). Dann ist W eine gerade durch (0,0) ( mit Normalenvektor [mm] (a_1,a_2)). [/mm]

Damit ist  [mm] $W^{\perp}$ [/mm] die Gerade durch (0,0), die orthogonal zu W ist.

Allein mit Schulwissen kann man ausrechnen:

[mm] $W^{\perp}=\{(x,y) \in \IR^2: a_2x-a_1y=0\}$. [/mm]

Zu [mm] P_W: [/mm]

Fall 1: [mm] a_1=a_2=0. [/mm] Dann ist [mm] P_W=I [/mm] (= Identität) und damit [mm] P_{ W^{\perp}}=0. [/mm]


Fall 2: [mm] a_1 \ne [/mm] 0 oder [mm] a_2 \ne [/mm] 0.


Mache Dir klar:

1. [mm] \IR^2=W \oplus W^{\perp}, [/mm]

2. W ist die lineare Hülle von [mm] (a_2,-a_1), [/mm]

2. [mm] W^{\perp} [/mm] ist die lineare Hülle von [mm] (a_1,a_2). [/mm]

Ist nun (x,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] so gibt es eindeutig bestimmte u [mm] \in [/mm] W und v [mm] \in W^{\perp} [/mm] mit

(x,y)=u+v.

dann ist (nach Definition): [mm] P_W(x,y)=u. [/mm]

Kommst Du nun klar ?

Bezug
                                
Bezug
Projektionsoperator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:43 Sa 18.11.2017
Autor: sanadros

Naja es ging nicht so gut. Aber habe mal das was ich habe abgegeben.

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