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Proportionale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Sa 13.10.2012
Autor: durden88

Meine Frage: Sind proportionale Funktionen bzw. antiproportionale Funktionen immer auch lineare Funktionen und Umgekehrt? Also sind lineare Funktionen auch immer gleichzeit proportionale Funktionen?



        
Bezug
Proportionale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 13.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Meine Frage: Sind proportionale Funktionen bzw.
> antiproportionale Funktionen immer auch lineare Funktionen
> und Umgekehrt? Also sind lineare Funktionen auch immer
> gleichzeit proportionale Funktionen?

proportionale Funktionen sind wohl Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] beschrieben durch
eine Funktionsgleichung
$$f(x)=m*x [mm] \;\;\;(x \in \IR)$$ [/mm]
(mit einem (festen) $m [mm] \in \IR$). [/mm] Damit sind sie natürlich lineare Funktionen
[mm] $\IR \to \IR\$ [/mm] (das ist einfach nachzurechnen) und jede lineare Funktion
[mm] $\IR \to \IR$ [/mm] läßt sich auch so schreiben - sofern man die Linearität
charakterisiert durch die beiden Eigenschaften

     [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm]

und

     [mm] $f(r*x)=r*f(x)\,.$ [/mm] ($r,x [mm] \in \IR$). [/mm]

Manche Leute sprechen aber auch bei Funktionen der Bauart [mm] $f(x)=m*x+n\,$ [/mm] von einer "linearen Funktion" -
streng genommen ist das falsch und diese Funktionen müssten "affin lineare Funktionen" heißen. (Was man sagen könnte: Eine lineare Funktion ist eine affin lineare Funktion mit [mm] $n=0\,.$) [/mm]

Generell gibt's aber auch ganz andere lineare Funktionen zwischen
Vektorräumen [mm] $V,W\,,$ [/mm] von daher kann man Deine "Identifikation:
Proportionale Funktionen sind lineare und umgekehrt"
so nur mit den oben genannten Einschränkungen bei Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm]
formulieren.

Antiproportionale Funktionen wiederum sind natürlich i.a. alles andere als
lineare Funktionen. Und warum sollte man auch antiproportionale
Funktionen einführen, wenn sie mit den proportionalen übereinstimmen
würden?
1000 Begriffe für ein und das selbe... will man ja eher nicht!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Proportionale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Sa 13.10.2012
Autor: durden88

Ah ok, weil antiproportionale Zuordnungen sehen grafisch ja aus wie ne Hyperbel ne?

Danke für die Antwort

Bezug
                        
Bezug
Proportionale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Sa 13.10.2012
Autor: M.Rex

Hallo

> Ah ok, weil antiproportionale Zuordnungen sehen grafisch ja
> aus wie ne Hyperbel ne?
>  

So ist es.
Aus [mm] $y\cdot [/mm] x=k$ folt [mm] $y=\frac{k}{x}$, [/mm] und das ist führt in der Tat zu einer Hyperbel als Graph.

Soche Grundlagen sind bei []F. Strobl ganz hervorragend erklärt, schau dort ruhig ab und an mal vorbei.

Die Zuordungen sind unter []diesem Link zu finden.

> Danke für die Antwort

Marius


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Bezug
Proportionale Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Sa 13.10.2012
Autor: durden88

Vielen Dank!

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Bezug
Proportionale Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 So 14.10.2012
Autor: durden88

Ich hätte noch eine Frage. Und zwar geht es um die Beziehung zwischen dem Begriff der Proportion und der proportionalen Funktion. Und zwar ist es die Eigenschaft der Quotiontengleichheit:

Hat man zwei beliebige Paare [mm] (y_1,x_1), (y_2, x_2), [/mm] dann gilt:

[mm] \bruch{y_1}{y_2}=\bruch{x_1}{x_2} [/mm] bzw. [mm] \bruch{y_1}{x_1}=\bruch{y_2}{x_2} [/mm]

Sooooo, jetzt frag ich mich aber...wieso das gilt? Also wie kann ich das herleiten? Ich habe formal mir aufgeschrieben, dass eine proportionale Zuordnung durch f(k*a)=k*f(a) gegeben ist. Muss ich da jetzt irgendwie an nen Strahlensatz ran oder wieso gibt es diese Eigenschaft?

Dankesehr

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Bezug
Proportionale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 So 14.10.2012
Autor: M.Rex

Hallo

Bei proportionalen Zuordnungen gilt ja:

[mm] $y=k\cdot x\Leftrightarrow k=\frac{y}{x}$ [/mm]

Wenn zwei Wertepaare [mm] x_{1}|y_{1} [/mm] und [mm] x_{2}|y_{2} [/mm] gegeben hast, die auf der Funktion liegen, gilt:

[mm] $k=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{1}}{x_{2}}$ [/mm]

Bei Antiproprtionalen Zuordnungen gilt:
[mm] $y=\frac{k}{x}\Leftrightarrow k=y\cdot [/mm] x$

Für die beiden Wertepaare also:
[mm] $k=y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}$ [/mm]

Aus [mm] $y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}$ [/mm] folgt durch einige wirklich leichte Umformungen:
[mm] $\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x_{1}}{x_{2}}$ [/mm]

Marius




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Bezug
Proportionale Funktionen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 19:38 So 14.10.2012
Autor: Marcel

Hallo Marius,

> Hallo
>  
> Bei proportionalen Zuordnungen gilt ja:
>  
> [mm]y=k\cdot x\Leftrightarrow k=\frac{y}{x}[/mm]
>  
> Wenn zwei Wertepaare [mm]x_{1}|y_{1}[/mm] und [mm]x_{2}|y_{2}[/mm] gegeben
> hast, die auf der Funktion liegen, gilt:
>  
> [mm]k=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}[/mm]
>  
> Bei Antiproprtionalen Zuordnungen gilt:
>  [mm]y=\frac{k}{x}\Leftrightarrow k=y\cdot x[/mm]
>  
> Für die beiden Wertepaare also:
>  [mm]k=y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}[/mm]
>  
> Aus [mm]y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}[/mm] folgt durch einige
> wirklich leichte Umformungen:
>  [mm]\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x_{\red{1}}}{x_{\red{2}}}[/mm]

bei antiproportionalen Funktionen folgt aus [mm] $y_1x_1=y_2x_2$ [/mm] allerdings
[mm] $$\frac {y_1} {y_2}=\frac {x_\text{\blue{2}}} {x_\text{\blue{1}}}\,,$$ [/mm]
sofern [mm] $x_1, y_2 \not=0\,.$ [/mm]

Wäre ja auch komisch, wenn da bei [mm] $y_2/y_1$ [/mm] der gleiche Quotient wie
bei proportionalen Funktionen rauskäme. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                        
Bezug
Proportionale Funktionen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 19:42 So 14.10.2012
Autor: M.Rex


> Hallo Marius,

Hallo Marcel

>  
> > Hallo
>  >  
> > Bei proportionalen Zuordnungen gilt ja:
>  >  
> > [mm]y=k\cdot x\Leftrightarrow k=\frac{y}{x}[/mm]
>  >  
> > Wenn zwei Wertepaare [mm]x_{1}|y_{1}[/mm] und [mm]x_{2}|y_{2}[/mm] gegeben
> > hast, die auf der Funktion liegen, gilt:
>  >  
> > [mm]k=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{x_{2}}[/mm]
>  >  
> > Bei Antiproprtionalen Zuordnungen gilt:
>  >  [mm]y=\frac{k}{x}\Leftrightarrow k=y\cdot x[/mm]
>  >  
> > Für die beiden Wertepaare also:
>  >  [mm]k=y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}[/mm]
>  >  
> > Aus [mm]y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}[/mm] folgt durch einige
> > wirklich leichte Umformungen:
>  >  [mm]\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x_{\red{1}}}{x_{\red{2}}}[/mm]
>  
> bei antiproportionalen Funktionen folgt aus [mm]y_1x_1=y_2x_2[/mm]
> allerdings
>  [mm]\frac {y_1} {y_2}=\frac {x_\text{\blue{2}}} {x_\text{\blue{1}}}\,,[/mm]
>  
> sofern [mm]x_1, y_2 \not=0\,.[/mm]
>  
> Wäre ja auch komisch, wenn da bei [mm]y_2/y_1[/mm] der gleiche
> Quotient wie
>  bei proportionalen Funktionen rauskäme. ;-)
>  
> Gruß,
>    Marcel

Danke für die Korrektur.

Marius


Bezug
                                                                
Bezug
Proportionale Funktionen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 19:45 So 14.10.2012
Autor: Marcel

Hallo Marius,

> > > Aus [mm]y_{1}\cdot x_{1}=y_{2}\cdot x_{2}[/mm] folgt durch einige
> > > wirklich leichte Umformungen:
>  >  >  [mm]\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x_{\red{1}}}{x_{\red{2}}}[/mm]
>  >  
> > bei antiproportionalen Funktionen folgt aus [mm]y_1x_1=y_2x_2[/mm]
> > allerdings
>  >  [mm]\frac {y_1} {y_2}=\frac {x_\text{\blue{2}}} {x_\text{\blue{1}}}\,,[/mm]
>  
> >  

> > sofern [mm]x_1, y_2 \not=0\,.[/mm]
>  >  
> > Wäre ja auch komisch, wenn da bei [mm]y_2/y_1[/mm] der gleiche
> > Quotient wie
>  >  bei proportionalen Funktionen rauskäme. ;-)
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>
> Danke für die Korrektur.

gerne - ich nehme eh an, das war ein Folgefehler aus C&P!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Proportionale Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 So 14.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Ich hätte noch eine Frage. Und zwar geht es um die
> Beziehung zwischen dem Begriff der Proportion und der
> proportionalen Funktion. Und zwar ist es die Eigenschaft
> der Quotiontengleichheit:
>  
> Hat man zwei beliebige Paare [mm](y_1,x_1), (y_2, x_2),[/mm] dann
> gilt:
>  
> [mm]\bruch{y_1}{y_2}=\bruch{x_1}{x_2}[/mm] bzw.
> [mm]\bruch{y_1}{x_1}=\bruch{y_2}{x_2}[/mm]
>  
> Sooooo, jetzt frag ich mich aber...wieso das gilt? Also wie
> kann ich das herleiten? Ich habe formal mir aufgeschrieben,
> dass eine proportionale Zuordnung durch f(k*a)=k*f(a)
> gegeben ist. Muss ich da jetzt irgendwie an nen
> Strahlensatz ran oder wieso gibt es diese Eigenschaft?

na, zum einen: Wie berechnet man die Steigung einer linearen (nicht affin
linearen(!)) Funktion?

Und ja, Du kannst es auch mit dem Strahlensatz herleiten:
Zeichne Dir den Graphen einer solchen Funktion im kartesischen [mm] $\IR^2\,,$ [/mm]
das ist eine Ursprungsgerade. Deine Behauptung folgt dann auf
geometrischem Wege direkt über den Strahlensatz.

Du kannst aber auch mit ähnlichen Dreiecken argumentieren (im Prinzip
ist das aber auch nur der Strahlensatz), oder mit dem Tangens eines
passenden Winkels - eben der, der zur Steigung der Geraden passt, die
Du im kartesischen [mm] $\IR^2$ [/mm] "siehst"!

P.S.
Ist [mm] $f(x)=m*x\,,$ [/mm] so folgt die Behauptung auch direkt:
[mm] $$y_1:=f(x_1)=m*x_1\,,$$ [/mm]
und
[mm] $$y_2:=f(x_2)=m*x_2\,,$$ [/mm]
und wenn wir o.E. $m [mm] \not=0$ [/mm] und auch [mm] $x_1, x_2 \not=0$ [/mm] annehmen,
folgt, wenn wir einfach nur [mm] $y_1=m*x_1$ [/mm] und [mm] $y_2=m*x_2$ [/mm] in dem
Quotienten [mm] $y_1/y_2$ [/mm] einsetzen:
[mm] $$y_1/y_2=m*x_1/(m*x_2)=x_1/x_2\,.$$ [/mm]

P.P.S.
Wenn [mm] $f(k*a)=k*f(a)\,,$ [/mm] so kannst Du das auch lesen als
$$f(x*a)=x*f(a)$$
oder
[mm] $$f(a*x)=f(a)*x\,,$$ [/mm]
und mit $a:=1$ setze [mm] $m:=f(1)\,.$ [/mm] Schon hast Du die Form
[mm] $$f(x)=f(1*x)=f(1)*x=m*x\,,$$ [/mm]
und der Rest geht wie oben!

Alternativ:
[mm] $$f(k*a)=k*f(a)\,,$$ [/mm]
dann ist
[mm] $$y_2:=f(x_2*a)=x_2*f(a)$$ [/mm]
und
[mm] $$y_1:=f(x_1*a)=x_1*f(a)\,.$$ [/mm]
Und damit nun [mm] $y_2/y_1$ [/mm] auszurechnen, das bekommst Du hin!

Gruß,
  Marcel

Bezug
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