Prüfung mit/ohne Vorwissen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 11.05.2018 | | Autor: | Hela123 |
| Aufgabe 1 | Prüfung mit Vorwissen
Bei einer Klausur werden 18 Multiple-Choice-Fragen mit jeweils 4 angebotenen Antworten gestellt, von denen jeweils genau eine Antwort richtig ist. Zum Bestehen der Klausur benötigt man mindestens 11 richtige Antworten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Student die Klausur, welcher bei jeder Frage
a) rein zufällig eine der vier Antworten ankreuzt?
b) einen der vier Vorschläge als falsch erkennt und rein zufällig eine der übrigen Antworten auswählt?
c) zwei der vier Vorschläge als falsch erkennt und rein zufällig eine der übrigen Antworten auswählt? Gebe zu jedem Fall einen Wahrscheinlichkeitsraum, der das Experiment korrekt beschreibt. |
| Aufgabe 2 | Prüfung ohne Vorwissen
Eine Stochastik-Prüfung besteht aus 12 Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind. Sie gilt bei mindestens 8 richtigen Antworten als bestanden. Gebe bei jeder Teilaufgabe den passenden Wahrscheinlichkeitsraum an und achte speziell darauf, welche Verteilung aus der Vorlesung die dargestellten Sachverhalte am besten modelliert.
a) Manche Studenten kreuzen auf gut Glück die Antworten an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bestehen sie die Prüfung?
b) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit, wenn sie immerhin 2 Fragen mit Sicherheit beantworten können und nur den Rest zufällig ankreuzen?
c) Falls jemand gar nichts weiß, wäre es dann (im Vergleich zu 1.) für sie oder ihn günstiger, zufällig 6-mal ja und 6-mal nein anzukreuzen – vorausgesetzt, dass für genau 6 Fragen die richtige Antwort ja lautet? |
Hallo Forum,
hier sind meine Überlegungen zu den Aufgaben:
Aufgabe 1
a)
Also hier rein zufällige Auswahl der Antworten:
[mm]\Omega = [1:4]^{18}[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
Erste Idee: Man könnte heir Binomialverteilung nutzen.
D.h. [mm]P(bestanden) = P(X>10) = P(11) + P(12) + ... + P(18)[/mm].
Also muss man die ganzen Werte ausrechnen, z.B. für X=11:
[mm]P(11)= {18 \choose 11} * 0,25^{11} * 0,75^7 \approx 0,10128[/mm]%
Wenn ich das für alle berechnet habe, bekomme ich als Summe:
[mm]P(X>10)\approx 0,124398[/mm]%.
Ist es richtig, oder gibt es einen schöneren Weg?
b)
Hier haben wir alles wie bei a), nur dass die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten liegt jetzt nicht mehr bei [mm]{1 \br 4}[/mm], sondern bei[mm]{1 \br 3}[/mm].
[mm]\Omega = [1:3]^{18}[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
Also dementsprechend:
[mm]P(11)= {18 \choose 11} * (1/3)^{11} * (2/3)^7 \approx 1,05143[/mm]%
und
[mm]P(X>10)\approx 1,44336[/mm]%.
Ist es richtig?
c)
Auch hier haben wir alles wie bei a), nur dass die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten liegt jetzt nicht mehr bei [mm]{1 \br 4}[/mm], sondern bei [mm]{1 \br 2}[/mm].
[mm]\Omega = [1:2]^{18}[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Muss man das noch konkreter Ausschreiben, oder reicht es?)
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm] (Also Gleichverteilung)
Also dementsprechend:
[mm]P(11)= {18 \choose 11} * 0,5^{11} * 0,5^7 \approx 12,1399[/mm]%
und
[mm]P(X>10)\approx 24,0341[/mm]%.
Ist es richtig?
Aufgabe 2
a)
Mich macht dieser Hinweis auf die Vorlesung ein bisschen nachdenklich. Ich würde normalerweise auch hier im teil a) die Binomialverteilung wählen. Ist es korrekt?
Also:
[mm]P(bestanden) = P(X>7) = P(8) + P(9) + ... + P(12)[/mm].
Auch hier muss man die ganzen Werte ausrechnen, z.B. für X=8:
[mm]P(8)= {12 \choose 8} * 0,5^8 * 0,5^4 = 12,085[/mm]%
Wenn ich das für alle berechnet habe, bekomme ich als Summe:
[mm]P(X>7)\approx 19,3848[/mm]%.
Ist es richtig, oder gibt es einen schöneren Weg?
b)
Hier ändert sich nichts in Vergleich zu a) , bis auf die Tatsache, dass wir nur noch 6 aus 10 zu treffen haben.
Also:
[mm]P(bestanden) = P(X>5) = P(6) + P(7) + ... + P(10)[/mm].
[mm]P(6)= {10 \choose 6} * 0,5^6 * 0,5^4 \approx 20,5078[/mm]%
[mm]P(X>5)\approx 39,6953[/mm]%.
Oder hätte ich hier eine andere verteilung wählen sollen?
c)
Den Aufgabenteil finde ich schon etwas kniffliger.
Also was ändert sich im Vergleich zu a):
Wenn man eine Frage falsch beantwortet, dann hat man automatisch einen zweiten Fehler gemacht.
Wenn wir das Ganze auf 2 Fragen reduzieren:
Frage 1 richtig
Frage 2 falsch
Dann würde es heißen: Falls Frage 1 mit "falsch" beantwortet wurde, wären alle Fragen nicht korrekt beantwortet.
Aber andersrum: Falls Frage 1 mit "richtig" beantwortet wurde, wären alle Frage direkt korrekt.
Also im Prinzip: Alles oder nichts. D.h. dieser Fall dazwischen wird also (anscheinend) seltener. Oder?
Kann mir jemand vielleicht hier ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Schönen Dank im Voraus!
Hela123
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Hiho,
zur kompletten Aufgabe 1 sowie Aufgabenteil a) und b) der zweiten schreibe ich mal nur allgemeines Zeug, weil sich die Anmerkungen ähneln.
Du hast die Aufgaben grundsätzlich korrekt gelöst, deine Ansätze sind richtig und auch inhaltlich gibt es nichts wesentliches zu bemängeln… nur zu verbessern 
1.) du schreibst Ausdrücke wie P(X > 7) ohne vorher auch nur zu erwähnen, was X überhaupt sein soll. Das wird zwar aus dem Kontext klar, sauber ist es aber nicht.
2.) Du machst aus "mindestens n" immer ein "$X > n-1$", das ist natürlich korrekt aber warum nicht, wie textlich auch formuliert, ein "$X [mm] \ge [/mm] n$"?
3.) Ob deine Prozente nachher korrekt berechnet wurden, habe ich nicht nachgerechnet… ich traue dir zu Formeln korrekt in den Taschenrechner einzutippen. Deine Vorgehensweise ist aber korrekt.
4.)
> D.h. $ P(bestanden) = P(X>10) = P(11) + P(12) + ... + P(18) $.
> Also muss man die ganzen Werte ausrechnen, z.B. für X=11:
"Müssen" tut man gar nix… du könntest auch alle Werte für $X [mm] \le [/mm] 10$ ausrechnen und dann $P(X > 10) = 1 - [mm] P(X\le [/mm] 10)$ nutzen.
Es gibt durchaus mittel und Wege das schneller auszurechnen, aber die Frage ist, wie sinnvoll es ist. Wenn man es in einer Klausur ohne Taschenrechner machen sollte, sollte man sich ein paar Dinge überlegen, wie man sowas vereinfachen kann. Wenn es eine Hausaufgabe ist, wo man die Zeit hat das einzeln auszurechnen => wenn es funktioniert, mach es so.
Kurz ein Beispiel, wie man es auch machen könnte:
Wir wissen, dass X binomialverteilt ist zum Parameter $n = 18$.
Nun ist die Binomialverteilung Symmetrisch, d.h. es gilt hier: $P(X [mm] \le [/mm] 9) = P(X [mm] \ge [/mm] 10) = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und wir erhalten: $P( X > 10) = P(X [mm] \ge [/mm] 10) - P(X=10) = [mm] \frac{1}{2} [/mm] - P(X=10)$
Und statt 8 ausdrücken müssen wir nur noch einen ausrechnen… und für ungerade n muss man das ein bisschen modifizieren. Aber das halte ich nur für wesentlich, wenn man die Ausdrücke "von Hand" ausrechnen muss.
5.) Du hast bei der 2. Aufgabe vergessen die passenden Wahrscheinlichkeitsräume anzugeben!
6.) Das erklärt auch, wieso du mit dem Hinweis auf die VL nichts anfangen konntest. Für den Wahrscheinlichkeitsraum benötigst du nämlich ein W-Maß, das auch die Verteilung bestimmt und umgekehrt. Du hast bereits erkannt, dass du für alle Aufgaben bisher die selbe Verteilung verwendest. Gleichverteilung im Urbild-Raum und eine binomialverteilte ZV. Das hat bisher auch gut geklappt, weil die Ansätze alle gleich laufen.
Aber nun wird alles anders
Du hast bereits erkannt, dass die Aufgabe 2c) etwas anderes bereit hält… nämlich weil man durch die Auswahl der "Ja"-Antworten die "Nein"-Antworten festlegt… dann modelliere das doch mal genau so! Also ein Modell, was beschreibt, welche Antworten der Student mit "Ja" auswählt.
Wähle eine ZV, die die ausgewählten Ja-Antworten mit "richtig" oder "falsch" bewertet (also 1 oder 0) und überlege dir, wie X dann verteilt ist… dafür wirst du wohl benötigen, wie viele Möglichkeiten es gibt seine Ja-Antworten zu wählen 
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 13.05.2018 | | Autor: | Hela123 |
Hallo Gono,
vielen vielen Dank für Deine Antwort!
> 1.) du schreibst Ausdrücke wie P(X > 7) ohne vorher auch
> nur zu erwähnen, was X überhaupt sein soll. Das wird zwar
> aus dem Kontext klar, sauber ist es aber nicht.
Ok, werde ich berücksichtigen.
> 2.) Du machst aus "mindestens n" immer ein "[mm]X > n-1[/mm]", das
> ist natürlich korrekt aber warum nicht, wie textlich auch
> formuliert, ein "[mm]X \ge n[/mm]"?
Ich habe keinen Grund, also wird auch berücksichtigt
> 3.) Ob deine Prozente nachher korrekt berechnet wurden,
> habe ich nicht nachgerechnet… ich traue dir zu Formeln
> korrekt in den Taschenrechner einzutippen. Deine
> Vorgehensweise ist aber korrekt.
Freut mich
> 4.)
> > D.h. [mm]P(bestanden) = P(X>10) = P(11) + P(12) + ... + P(18) [/mm].
> > Also muss man die ganzen Werte ausrechnen, z.B. für X=11:
> "Müssen" tut man gar nix… du könntest auch alle Werte
> für [mm]X \le 10[/mm] ausrechnen und dann [mm]P(X > 10) = 1 - P(X\le 10)[/mm]
> nutzen.
>
> Es gibt durchaus mittel und Wege das schneller
> auszurechnen, aber die Frage ist, wie sinnvoll es ist. Wenn
> man es in einer Klausur ohne Taschenrechner machen sollte,
> sollte man sich ein paar Dinge überlegen, wie man sowas
> vereinfachen kann. Wenn es eine Hausaufgabe ist, wo man die
> Zeit hat das einzeln auszurechnen => wenn es funktioniert,
> mach es so.
>
> Kurz ein Beispiel, wie man es auch machen könnte:
> Wir wissen, dass X binomialverteilt ist zum Parameter [mm]n = 18[/mm].
> Nun ist die Binomialverteilung Symmetrisch, d.h. es gilt
> hier: [mm]P(X \le 9) = P(X \ge 10) = \frac{1}{2}[/mm] und wir
> erhalten: [mm]P( X > 10) = P(X \ge 10) - P(X=10) = \frac{1}{2} - P(X=10)[/mm]
>
> Und statt 8 ausdrücken müssen wir nur noch einen
> ausrechnen… und für ungerade n muss man das ein bisschen
> modifizieren. Aber das halte ich nur für wesentlich, wenn
> man die Ausdrücke "von Hand" ausrechnen muss.
Ist durchaus praktisch! Danke!
> 5.) Du hast bei der 2. Aufgabe vergessen die passenden
> Wahrscheinlichkeitsräume anzugeben!
Das habe ich in der Tat! Ich hole das jetzt mal nach:
a)
[mm]\Omega = [1:2]^{12}[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm]
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm]
b)
[mm]\Omega = [1:2]^{10}[/mm]
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm]
[mm]P = \mathcal{U}_\Omega[/mm]
> 6.) Das erklärt auch, wieso du mit dem Hinweis auf die VL
> nichts anfangen konntest. Für den Wahrscheinlichkeitsraum
> benötigst du nämlich ein W-Maß, das auch die Verteilung
> bestimmt und umgekehrt. Du hast bereits erkannt, dass du
> für alle Aufgaben bisher die selbe Verteilung verwendest.
> Gleichverteilung im Urbild-Raum und eine binomialverteilte
> ZV. Das hat bisher auch gut geklappt, weil die Ansätze
> alle gleich laufen.
>
> Aber nun wird alles anders
>
> Du hast bereits erkannt, dass die Aufgabe 2c) etwas anderes
> bereit hält… nämlich weil man durch die Auswahl der
> "Ja"-Antworten die "Nein"-Antworten festlegt… dann
> modelliere das doch mal genau so! Also ein Modell, was
> beschreibt, welche Antworten der Student mit "Ja"
> auswählt.
>
> Wähle eine ZV, die die ausgewählten Ja-Antworten mit
> "richtig" oder "falsch" bewertet (also 1 oder 0) und
> überlege dir, wie X dann verteilt ist… dafür wirst du
> wohl benötigen, wie viele Möglichkeiten es gibt seine
> Ja-Antworten zu wählen
c)
Hmm... Das ist in der Tat etwas schwieriger.
Ich habe mir inzwischen ein kleines Programm geschrieben, das dieses Scenario nachbaut und, wenn ich das richtig gemacht habe(und wenn mein Random-Operator wirklich random ist), sind die Chansen in diesem Fall deutlich höher!
[mm]\Omega = [1:2]^{12},\mbox{wobei } \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=1 \wedge \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=2[/mm]
Ist irgendwie nicht schön. Wie kann ich es kompakter ausdrücken?
[mm]\mathcal{A} = 2^\Omega[/mm] (Das bleibt doch, oder?)
[mm]P[/mm] ist nicht mehr die Gleichverteilung.
Also ich versuche das erstmal zu beschreiben:
Wir können uns zunächst nur die "Ja" Antworten anschauen, weil wenn wir alle 6 gesetzt haben, sind die restlichen Fragen mit "Nein" zu beantworten.
Die Frage ist ja: Wann ist die Klausur bestanden? Da gibt es meiner Meinung nach 3 Möglichkeiten:
1) Alle 6 "Ja"-Antworten wurden richtig gesetzt. In diesem Fall sind sogar alle 12 Fragen richtig beantwortet.
2) 5 von 6 "Ja"-Antworten wurden richtig gesetzt. Dann sind auch 5 von 6 "Nein"-Antworten korrekt und insgesamt 10 Antworten richtig.
3) 4 von 6 "Ja"-Antworten wurden richtig gesetzt. Dann sind auch 4 von 6 "Nein"-Antworten korrekt und insgesamt 8 Antworten richtig.
Das heißt hier müssen wir nicht mehr [mm]\ge[/mm] 8 richtige aus 12 ankreuzen, sondern [mm]\ge[/mm] 4 richtige aus 6 ankreuzen. Richtig?
Ab hier können wir vorgehen wie in den Aufgaben davor:
[mm]P(4)= {6 \choose 4} * 0,5^{4} * 0,5^2 \approx 23,4375[/mm]%
und
[mm]P(X \ge 4)\approx 34,375[/mm]%.
Mein Programm lieferte auch sehr ähnliche Ergebnisse (bei 100 000 Durchläufen), deswegen scheint es mir realistisch zu sien.
Oder mache ich es mir zu einfach?
Wie kann ich in diesem Fall den Wahrscheinlichkeitsmaß formal angeben?
Schönen Dank im Voraus
Hela123
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Hiho,
> [mm]\Omega = [1:2]^{12},\mbox{wobei } \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=1 \wedge \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=2[/mm]
> Ist irgendwie nicht schön. Wie kann ich es kompakter
> ausdrücken?
Ja, kann man… du denkst auch zu kompliziert. Ich hatte ja bereits in der ersten Antwort schon gesagt, dass du das ganze Ja/Nein/Richtig/Falsch-Spiel über die ZV regeln sollst.
Also grundsätzlich haben wir das Szenario: Wir haben 12 Fragen und wollen daraus unsere 6 Fragen auswählen, die wir mit "Ja" beantworten.
Das ist also nix anderes als ein Modell "Ziehen ohne Zurücklegen". Das habt ihr bestimmt schon mal modelliert
Daher lass ich dir das mal als Übung, ein geeignetes [mm] $\Omega$ [/mm] zu modellieren.
oBdA nehmen wir jetzt mal an, die richtigen "Ja"-Antworten wären 1-6, dann modelliert [mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^6 1_{\omega_k \in [1:6]}$ [/mm] die Anzahl an richtigen "Ja"-Antworten.
Wie ist X nun verteilt und was ist $P( X [mm] \ge [/mm] 4)$
Wie viele Möglichkeiten gibt es also, dass wir beim "Ziehen ohne Zurücklegen" 4,5 oder 6 "gute" Kugeln ziehen und 2,3 oder 4 "schlechte"?
Uh… Ziehen ohne zurücklegen… "gute" Kugeln, "schlechte" Kugeln… da sollte bei dir im Kopf eine bestimmte Verteilung aufpoppen…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 So 13.05.2018 | | Autor: | Hela123 |
Hallo Gono,
vielen vielen Dank für Deine Antwort!
> > [mm]\Omega = [1:2]^{12},\mbox{wobei } \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=1 \wedge \exists i,j,k,l,m,n \in[1:12],\mbox{sodass } \omega_i= \omega_j= \omega_k= \omega_l= \omega_m= \omega_n=2[/mm]
> > Ist irgendwie nicht schön. Wie kann ich es kompakter
> > ausdrücken?
>
> Ja, kann man… du denkst auch zu kompliziert. Ich hatte ja
> bereits in der ersten Antwort schon gesagt, dass du das
> ganze Ja/Nein/Richtig/Falsch-Spiel über die ZV regeln
> sollst.
> Also grundsätzlich haben wir das Szenario: Wir haben 12
> Fragen und wollen daraus unsere 6 Fragen auswählen, die
> wir mit "Ja" beantworten.
> Das ist also nix anderes als ein Modell "Ziehen ohne
> Zurücklegen". Das habt ihr bestimmt schon mal modelliert
>
> Daher lass ich dir das mal als Übung, ein geeignetes
> [mm]\Omega[/mm] zu modellieren.
Ja, mit den Zufallsvariablen bin ich noch nicht ganz warm geworden...
Also wenn ich es richtig verstehe:
Wir haben die Antworten der Studenten (ja=1,nein=2) als Menge der 12-er Tupel,wobei im Tupel genau 6 "ja" und 6 "nein" vorkommt. z.B.(1,2,2,1,2,2,1,1,1,1,2,2). Diese Menge der Tupel wird erstmal auf Menge der 12-elementigen Mengen mit "richtig"(1) oder "falsch"(0) abgebildet. z.B.{0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,1}. Und anschließend wird diese Menge der 12-elementigen Mengen noch mal abgebildet auf die Menge der Elemente zwischen 0 und 12, dabei wird zusammengezählt wie viele pro Tupel richtig waren. Hier: {...,5,...}.
Macht es Sinn?
Aber wie ich das hier in diesem Fall formal aufschreibe weiß ich nicht.
> oBdA nehmen wir jetzt mal an, die richtigen "Ja"-Antworten
> wären 1-6, dann modelliert [mm]X(\omega) = \sum_{k=1}^6 1_{\omega_k \in [1:6]}[/mm]
> die Anzahl an richtigen "Ja"-Antworten.
>
> Wie ist X nun verteilt und was ist [mm]P( X \ge 4)[/mm]
>
> Wie viele Möglichkeiten gibt es also, dass wir beim
> "Ziehen ohne Zurücklegen" 4,5 oder 6 "gute" Kugeln ziehen
> und 2,3 oder 4 "schlechte"?
>
> Uh… Ziehen ohne zurücklegen… "gute" Kugeln,
> "schlechte" Kugeln… da sollte bei dir im Kopf eine
> bestimmte Verteilung aufpoppen…
Also wir haben u.a. über die Hypergeometrische Verteilung gesprochen. Ich glaube, dass das hier das Geeignete wäre. Oder?
Und wir suchen [mm]P( X \ge 4)[/mm] (mit der Definition von X werde ich mich noch beschäftigen).
[mm]P(X=4) = ({6 \choose 4}*{6 \choose 2}) / {12 \choose 6} \approx 24,35[/mm]%
[mm]P(X\ge4) \approx 28,36[/mm]%
Ist dieser Ansatz richtig?
Noch mal schönen Dank!
Hela123
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Hiho,
> Also wenn ich es richtig verstehe:
> Wir haben die Antworten der Studenten (ja=1,nein=2) als
> Menge der 12-er Tupel,wobei im Tupel genau 6 "ja" und 6
> "nein" vorkommt. z.B.(1,2,2,1,2,2,1,1,1,1,2,2). Diese Menge
> der Tupel wird erstmal auf Menge der 12-elementigen Mengen
> mit "richtig"(1) oder "falsch"(0) abgebildet.
Warum so kompliziert?
Die "Nein"-Antworten stehen doch durch die "Ja"-Antworten fest.
Warum beschreibst du das "Experiment" der Prüfung nicht einfach durch die Auswahl der "Ja"-Antworten
Dann hast du ein simples 6-Tupel aus [mm] [1:12]^6 [/mm] ohne Wiederholung.
> Also wir haben u.a. über die Hypergeometrische Verteilung
> gesprochen. Ich glaube, dass das hier das Geeignete wäre.
Jop.
Gruß,
Gono.
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