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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Pseudoinverse
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Pseudoinverse: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Sa 26.11.2016
Autor: Laura22

Aufgabe
Eine Matrix [mm] $A^{+} \in \mathbb{R}^{mxn}$ [/mm] zu $A [mm] \in \mathbb{R}^{nxm}$ [/mm] habe die Eigenschaften
[mm] $A^{+}AA^{+} [/mm] = [mm] A^{+}$ [/mm] und [mm] $AA^{+}A [/mm] = A$

Zeige:
(a) [mm] $A^{+}A$ [/mm] ist Projektion,
(b) [mm] $Im(A^{+}A)= Im(A^{+})$, [/mm]
(c) [mm] $Ker(A^{+}A) [/mm] = Ker(A)$

Hallo,

ich habe Probleme mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Was ich bisher gemacht habe:

(a) Definiere [mm] $M:=A^{+}A$ [/mm] und zeige [mm] $M^2 [/mm] = M$:
[mm] $M^2 [/mm] = [mm] \underbrace{A^{+}AA^{+}}_{= A^{+}}A [/mm] = [mm] A^{+}A [/mm] = M$.

(b) Meine Ansätze.
[mm] "$\subseteq$": [/mm] ist klar, denn: Betrachte $y [mm] \in Im(A^{+}A)$, [/mm] d.h. [mm] $\exists [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}^n: A^{+}\underbrace{Ax}_{= \tilde{x}}=A^{+}\tilde{x} [/mm] = y$, d.h. y [mm] \in Im(A^{+}). [/mm]
[mm] "$\supseteq$": [/mm] ?

Hat jemand einen Tipp wie man die "Teilmengen-Rückrichtung" der (b) zeigen kann? Ich vermute mal stark, dass man die Projektionseigenschaft aus der (a) verwenden muss, aber wie?

Vielen Dank und Gruß,
Laura

        
Bezug
Pseudoinverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Sa 26.11.2016
Autor: hippias


> Eine Matrix [mm]A^{+} \in \mathbb{R}^{mxn}[/mm] zu [mm]A \in \mathbb{R}^{nxm}[/mm]
> habe die Eigenschaften
>  [mm]A^{+}AA^{+} = A^{+}[/mm] und [mm]AA^{+}A = A[/mm]
>  
> Zeige:
>  (a) [mm]A^{+}A[/mm] ist Projektion,
>  (b) [mm]Im(A^{+}A)= Im(A^{+})[/mm],
>  (c) [mm]Ker(A^{+}A) = Ker(A)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe Probleme mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Was ich
> bisher gemacht habe:
>  
> (a) Definiere [mm]M:=A^{+}A[/mm] und zeige [mm]M^2 = M[/mm]:
>  [mm]M^2 = \underbrace{A^{+}AA^{+}}_{= A^{+}}A = A^{+}A = M[/mm].

O.K.

>  
> (b) Meine Ansätze.
>  "[mm]\subseteq[/mm]": ist klar, denn: Betrachte [mm]y \in Im(A^{+}A)[/mm],
> d.h. [mm]\exists x \in \mathbb{R}^n: A^{+}\underbrace{Ax}_{= \tilde{x}}=A^{+}\tilde{x} = y[/mm],
> d.h. y [mm]\in Im(A^{+}).[/mm]
>  "[mm]\supseteq[/mm]": ?
>  
> Hat jemand einen Tipp wie man die
> "Teilmengen-Rückrichtung" der (b) zeigen kann? Ich vermute
> mal stark, dass man die Projektionseigenschaft aus der (a)
> verwenden muss, aber wie?

Gut vermutet! Ich muss aber auch [mm] $A^{+}AA^{+}= A^{+}$ [/mm] benutzen: wende mal die Projektion [mm] $A^{+}A$ [/mm] auf [mm] $y\in Im(A^{+})$ [/mm] an...

>  
> Vielen Dank und Gruß,
>  Laura


Bezug
                
Bezug
Pseudoinverse: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Sa 26.11.2016
Autor: Laura22

Ok, also nach deiner Erklärung muss ich sagen:
Da hätte ich auch echt alleine drauf kommen können... :D

Sei $y [mm] \in Im(A^{+})$ [/mm] beliebig. Dann gibt es $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] mit y = [mm] A^{+}x [/mm] = [mm] A^{+}AA^{+}x [/mm] = [mm] A^{+}Ay, [/mm]
also y [mm] \in Im(AA^{+}). [/mm]

Den Teil (c) mache ich jetzt noch alleine weiter, ich denke mal, dass der analog gehen wird. Falls ich damit Probleme habe, sag  ich sonst nochmal Bescheid.

Danke sehr!

Bezug
                        
Bezug
Pseudoinverse: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Sa 26.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Ok, also nach deiner Erklärung muss ich sagen:
> Da hätte ich auch echt alleine drauf kommen können...
> :D

Das ist eine normale Reaktion, wenn man gute Tipps bekommt ;-)

>

> Sei [mm]y \in Im(A^{+})[/mm] beliebig. Dann gibt es [mm]x \in \mathbb{R}^n[/mm]
> mit y = [mm]A^{+}x[/mm] = [mm]A^{+}AA^{+}x[/mm] = [mm]A^{+}Ay,[/mm]
> also y [mm]\in Im(AA^{+}).[/mm]

Das sieht gut aus

>

> Den Teil (c) mache ich jetzt noch alleine weiter, ich denke
> mal, dass der analog gehen wird. Falls ich damit Probleme
> habe, sag ich sonst nochmal Bescheid.

>

> Danke sehr!

Mach das.

Marius

Bezug
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