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Forum "Vektoren" - Punkt bestimmen
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Punkt bestimmen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Sa 07.05.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
Mithilfe von drei Messstationen mit den Koordinaten [mm] M_1=(12;0); M_2=(-50; [/mm] 0); [mm] M_3=(0;0) [/mm] soll die Position [mm]Q=(x;y)[/mm] eines Senders geortet werden. Ein von [mm]Q[/mm] aus gesendetes Signal hat die Geschwindigkeit [mm] c=300000kms^{-1} [/mm] und legt den Weg zu den Messstationen in den Zeiten [mm] t_1, t_2 [/mm] bzw. [mm] t_3 [/mm] zurück, wobei man jedoch nur die Laufzeitunterschiede [mm] \Delta_1 [/mm] = [mm] t_3-t_1=10^{-5}s [/mm] und [mm] \Delta_2 [/mm] = [mm] t_2-t_3=10^{-4}s [/mm] messen kann. Entfernungen sind hier in km, Zeiten in Sekunden angegeben.

Wo liegt der Sender?

Mein Ansatz ist:

Es gilt:

[mm] t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c} [/mm]

[mm] t_2=\bruch{\overrightarrow{QM_2}}{c} [/mm]

[mm] t_3=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c} [/mm]

Aus [mm] \Delta_1 [/mm] folgt:

[mm] \Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s [/mm]

[mm] \overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c [/mm]

[mm] M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c [/mm]

hier kürzt sich die gesuchte Koordinate Q weg. Deshalb weis ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?

        
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Sa 07.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Mithilfe von drei Messstationen mit den Koordinaten
> [mm]M_1=(12;0); M_2=(-50;[/mm] 0); [mm]M_3=(0;0)[/mm] soll die Position
> [mm]Q=(x;y)[/mm] eines Senders geortet werden. Ein von [mm]Q[/mm] aus
> gesendetes Signal hat die Geschwindigkeit [mm]c=300000kms^{-1}[/mm]
> und legt den Weg zu den Messstationen in den Zeiten [mm]t_1, t_2[/mm]
> bzw. [mm]t_3[/mm] zurück, wobei man jedoch nur die
> Laufzeitunterschiede [mm]\Delta_1[/mm] = [mm]t_3-t_1=10^{-5}s[/mm] und
> [mm]\Delta_2[/mm] = [mm]t_2-t_3=10^{-4}s[/mm] messen kann. Entfernungen sind
> hier in km, Zeiten in Sekunden angegeben.
>  
> Wo liegt der Sender?
>  Mein Ansatz ist:
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}[/mm]
>  
> [mm]t_2=\bruch{\overrightarrow{QM_2}}{c}[/mm]
>  
> [mm]t_3=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}[/mm]
>  
> Aus [mm]\Delta_1[/mm] folgt:
>  
> [mm]\Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c[/mm]
>  
> [mm]M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c[/mm]
>  
> hier kürzt sich die gesuchte Koordinate Q weg. Deshalb
> weis ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Kann mir
> jemand helfen?


Hallo R.

ich würde dir vorschlagen, die Distanzen von Q zu [mm] M_i [/mm]  z.B. mit [mm] d_i [/mm]
zu bezeichnen. Wegen [mm] d_i [/mm] = c * [mm] t_i [/mm]  ergeben sich dann zwei
Differenzgleichungen für diese Abstände:

     $\ [mm] d_3-d_1\ [/mm] =\ [mm] c*10^{-5}\ [/mm] s$

     $\ [mm] d_2-d_3\ [/mm] =\ [mm] c*10^{-4}\ [/mm] s$

(man kann die Abstände auch in km umrechnen und den km
als Längeneinheit benützen)

Geometrisch beschreibt jede dieser beiden Differenzgleichungen
einen Hyperbelast. Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser
beiden Kurven. Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es
überhaupt Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste
Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.

LG  ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Punkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Sa 07.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich habe das noch nicht ganz verstanden.

  

> [mm]\ d_3-d_1\ =\ c*10^{-5}\ s[/mm]
>  
> [mm]\ d_2-d_3\ =\ c*10^{-4}\ s[/mm]

  
Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen

>  
> Geometrisch beschreibt jede dieser beiden Differenzgleichungen einen Hyperbelast.

wie kommst du darauf? eine Hyperbel hat ja die Form [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm]
und das sehe ich hier nicht


> Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser beiden Kurven.

Woher weiß man das Q der Schnittpunkt dieser Kurven ist?

> Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es überhaupt Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.

Diesen Satz habe ich überhaupt nicht verstanden. Gibt es mehrere Punkte für Q?



Bezug
                        
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:36 Sa 07.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich habe das noch nicht ganz verstanden.
>  
>
> > [mm]\ d_3-d_1\ =\ c*10^{-5}\ s[/mm]
>  >  
> > [mm]\ d_2-d_3\ =\ c*10^{-4}\ s[/mm]
>    
> Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen
>  
> >  

> > Geometrisch beschreibt jede dieser beiden
> Differenzgleichungen einen Hyperbelast.
>
> wie kommst du darauf? eine Hyperbel hat ja die Form
> [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm]
>  und das sehe ich hier nicht

Ich weiß nicht, welche geometrischen Grundkenntnisse dir
zur Verfügung stehen. Eine Hyperbel kann man definieren
als die Menge aller Punkte P in der Ebene, für welche
gilt:  

      $\ [mm] ||\overline{PF_1}|\ [/mm] -\ [mm] |\overline{PF_2}||=\ 2\,a$ [/mm]

siehe:  []Hyperbel

> > Q ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser beiden Kurven.
>  
> Woher weiß man das Q der Schnittpunkt dieser Kurven ist?

Die Lösungsmenge jeder der Differenzengleichungen ist jeweils
ein gewisser Hyberbelast. Da die Koordinaten von Q beide
Differenzgleichungen erfüllen soll, muss Q in der Schnittmenge
der beiden Kurven (als Punktmengen betrachtet) liegen.

Falls dir diese geometrischen Zusammenhänge nicht geläufig
sind, kannst du aber trotzdem einfach mit den Gleichungen
arbeiten und dich so zur Lösung "durchkämpfen" ...
  

> > Dabei gibt es dann offensichtlich (falls es überhaupt
> Lösungen gibt) zwei in Bezug auf die erste
> Koordinatenachse symmetrisch gelegene Lösungspunkte.
>  
> Diesen Satz habe ich überhaupt nicht verstanden. Gibt es
> mehrere Punkte für Q?

Nicht mehrere, aber zwei. Eventuell aber auch gar keinen oder
einen einzigen (der dann auf der x-Achse liegen müsste).
Und das ist auch recht leicht zu verstehen. Die Punkte [mm] M_i [/mm]
liegen ja alle drei auf der x-Achse. Wenn ein Punkt Q(x,y) von
den Punkten [mm] M_i [/mm] die Distanzen [mm] d_i [/mm] hat, so hat offensichtlich
der gespiegelte Punkt  [mm] $\overline{Q} [/mm] (x,-y)$  von diesen drei Punkten
exakt dieselben Abstände (also auch dieselben Lichtlaufzeiten).

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
        
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Sa 07.05.2016
Autor: willyengland

Müsste das nicht irgendwie mit dem Strahlensatz gehen?
Die Messstationen liegen doch auf einer Geraden.

Bezug
                
Bezug
Punkt bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Sa 07.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Müsste das nicht irgendwie mit dem Strahlensatz gehen?
>  Die Messstationen liegen doch auf einer Geraden.


Strahlensatz (oder -sätze): das würde bedeuten, dass man
nur mit linearen Gleichungen (Proportionalitäten) auskommen
würde.
Dies ist hier definitiv nicht der Fall !

LG  ,   Al-Chw.


Bezug
                        
Bezug
Punkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Sa 07.05.2016
Autor: willyengland

Ah, ok, habe mal nachgelesen.
Stichwort: Hyperbelnavigation!
Wieder was gelernt. Danke!

Nur: Wie bestimmt man denn die Hyperbelfunktionen?

Bezug
                                
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:59 Sa 07.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Ah, ok, habe mal nachgelesen.
> Stichwort: Hyperbelnavigation!
> Wieder was gelernt. Danke!
>
> Nur: Wie bestimmt man denn die Hyperbelfunktionen?


Erste Möglichkeit:  wenn man sich mit Hyperbelgleichungen
geometrisch nicht so auskennt: einfach mit den Differenzglei-
chungen der Distanzen arbeiten. So wird man auf ein System
von quadratischen Gleichungen geführt, das aufzulösen ist.

Mit Nutzung der geometrischen Eigenschaften der Hyperbeln:
Je zwei der Punkte [mm] M_i [/mm]  sind jeweils die Brennpunkte einer
der beiden Hyperbeln. Mittels deren Koordinaten und der
vorgegebenen Distanz-Differenz 2a  lässt sich dann die
Hyperbelgleichung relativ leicht aufstellen. Im vorliegenden
Beispiel liegen ja alle [mm] M_i [/mm] und damit auch alle Hauptachsen
der beteiligten Hyperbeln auf der x-Achse. Das erleichtert die
Rechnungen sehr im Vergleich zum allgemeinen Fall, wo die
Brennpunkte in beliebiger Lage wären.
Siehe dazu z.B. den schon erwähnten Wiki-Artikel zur Hyperbel.
Anschließend muss man zwei Hyperbeläste miteinander
schneiden.

LG ,   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Sa 07.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Aus [mm]\Delta_1[/mm] folgt:
>  
> [mm]\Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{QM_3}}{c}-\bruch{\overrightarrow{QM_1}}{c}=10^{-5}s[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{QM_3}-\overrightarrow{QM_1}=10^{-5}s*c[/mm]    [notok]

Hier müssten auf der linken Seite (schon in der vorherigen
Zeile) nicht die Vektoren, sondern deren Beträge stehen:

[mm]|\,\overrightarrow{QM_3}|\ -\ |\overrightarrow{QM_1}|\ =\ 10^{-5}s*c[/mm]  

  

>  [mm]M_3-Q-M_1+Q=10^{-5}s*c[/mm]       [haee]

Sowas geht dann halt überhaupt nicht !

LG ,    Al-Chw.

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Bezug
Punkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 So 08.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

ich verstehe die Definition der Hyperbel nicht. Kann man die Aufgabe auch anders lösen? mit üblichen Vektor kenntnissen.

Bezug
                        
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 So 08.05.2016
Autor: chrisno


> > $ \ [mm] d_3-d_1\ [/mm] =\ [mm] c\cdot{}10^{-5}\ [/mm] s $
> > $ \ [mm] d_2-d_3\ [/mm] =\ [mm] c\cdot{}10^{-4}\ [/mm] s $
> Die beiden Gleichungen kann ich nachvollziehen

Da ist der Startpunkt. Nun schreibst Du mit der Vektorrechnung  hin:
- die Entfernung Q-M1 ( mit den noch zu bestimmenden Koordinaten x und y)
- die Entfernung Q-M2
- die Entfernung Q-M3

Damit kannst Du nun [mm] $d_1, d_2, d_3$ [/mm] berechnen.
Diese kannst Du in die Gleichungen oben einsetzen.

Bezug
        
Bezug
Punkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Mo 09.05.2016
Autor: Rebellismus

Es gilt:

[mm] t_1=\bruch{\overrightarrow{|QM_1|}}{c} [/mm]

[mm] t_2=\bruch{\overrightarrow{|QM_2|}}{c} [/mm]

[mm] t_3=\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c} [/mm]

Aus [mm] \Delta_1 [/mm] folgt:

[mm] \Delta_1=t_3-t_1=\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c}-\bruch{\overrightarrow{|QM_1|}}{c}=10^{-5}s [/mm]

[mm] \overrightarrow{|QM_3|}-\overrightarrow{|QM_1|}=10^{-5}s\cdot{}c [/mm]

[mm] \wurzel{(0-x_1)^2+(0-x_2)^2}-\wurzel{(12-x_1)^2+(0-x_2)^2}=c*10^{-5}s [/mm]

[mm] \left[\wurzel{x_1^2+x_2^2}-\wurzel{(12-x_1)^2+x_2^2}\right]^2=c^2*10^{-10}s [/mm]

[mm] x_1^2+x_2^2-2\wurzel{x_1^2+x_2^2}*\wurzel{(12-x_1)^2+x_2^2}+(12-x_1)^2+x_2^2=c^2*10^{-10}s [/mm]

[mm] x_1^2+x_2^2-2\wurzel{(x_1^2+x_2^2)*(12-x_1)^2+(x_1^2+x_2^2)*x_2^2}+144-24x_1+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-10}s [/mm]

[mm] 2x_1^2+2x_2^2-24x_1+144-c^2*10^{-10}s=2\wurzel{(x_1^2+x_2^2)*(12-x_1)^2+(x_1^2+x_2^2)*x_2^2} [/mm]

Bevor ich die Linke Seite quadiere, möchte ich gerne wissen ob die Gleichung bis hierhin richtig ist?


Und das gleiche nochmal für [mm] \Delta_2: [/mm]

[mm] \Delta_2=t_2-t_3=\bruch{\overrightarrow{|QM_2|}}{c}-\bruch{\overrightarrow{|QM_3|}}{c}=10^{-4}s [/mm]

[mm] \overrightarrow{|QM_2|}-\overrightarrow{|QM_3|}=c*10^{-4}s [/mm]

[mm] \wurzel{(-50-x_1)^2+(0-x_2)^2}-\wurzel{(0-x_1)^2+(0-x_2)^2}=c*10^{-4}s [/mm]

[mm] \left[\wurzel{(-50-x_1)^2+x_2^2}-\wurzel{x_1^2+x_2^2}\right]^2=c^2*10^{-8}s [/mm]

[mm] (-50-x_1)^2+x_2^2-2\wurzel{(-50-x_1)^2+x_2^2}*\wurzel{x_1^2+x_2^2}+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-8}s [/mm]

[mm] 2500+100x_1+x_1^2+x_2^2-2\wurzel{(-50-x_1)^2*(x_1^2+x_2^2)+x_2^2*(x_1^2+x_2^2)}+x_1^2+x_2^2=c^2*10^{-8}s [/mm]

[mm] 2x_1^2+2x_2^2+100x_1+2500-c^2*10^{-8}s=2\wurzel{(-50-x_1)^2*(x_1^2+x_2^2)+x_2^2*(x_1^2+x_2^2)} [/mm]

Auch hier würde ich gerne wissen ob die Gleichung stimmt, bevor ich die linke Seite quadiere?


Bezug
                
Bezug
Punkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mo 09.05.2016
Autor: weduwe

bevor du dir DAS antust.
durch ein bißerl geschicktes HIN und HER kommt man ohne Quadrierei auch ans Ziel:

[mm]x_Q=\frac{(m_1^2-\Delta_1^2)\cdot\Delta_2-(m_2^2-\Delta_2^2)\cdot\Delta_1}{2\cdot(m_1\Delta_2-m_2\Delta_1)}[/mm]
woraus man die Laufzeit t und die y-Koordinate bestimmen kann

auf 2 Stellen genau Q(21.07/58.08)

Bezug
                        
Bezug
Punkt bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Mo 09.05.2016
Autor: weduwe

mit [mm] \Delta_1 [/mm] ist natürlich [mm] \Delta t_1\cdot [/mm] c gemeint

Bezug
                                
Bezug
Punkt bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:08 Mo 09.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> mit [mm]\Delta_1[/mm] ist natürlich [mm]\Delta t_1\cdot[/mm] c gemeint

und was genau ist [mm] \Delta{t_1}? [/mm] ich kann die gleichung für [mm] x_Q [/mm] nicht nachvollziehen

Bezug
                                        
Bezug
Punkt bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Mo 09.05.2016
Autor: weduwe


> Hallo,
>  
> > mit [mm]\Delta_1[/mm] ist natürlich [mm]\Delta t_1\cdot[/mm] c gemeint
>
> und was genau ist [mm]\Delta{t_1}?[/mm] ich kann die gleichung für
> [mm]x_Q[/mm] nicht nachvollziehen

entschuldige meine Schlamperei :-)


ich habe verwendet:

[mm]\Delta t_1=t_1-t_3=-1\cdot 10^{-5}[/mm]
und [mm]\Delta_1=\Delta t_1\cdot c =-3km[/mm]

zur Rechnung

[mm](1) x^2+y^2=t^2\cdot c^2[/mm]
[mm](2) (x-m_1)^2+y^2=(t\cdot c+\Delta _1)^2[/mm]
[mm](3) (x-m_2)^2+y^2=(t\cdot c+\Delta _2)^2[/mm]

ausquadrieren und (1) - (3) sowie nach [mm] 2t\cdot [/mm] c umstellen ergibt

[mm]2t\cdot c=\frac{m_1^2-\Delta_1^2-2m_1\cdot x}{\Delta_1}[/mm]

dasselbe mit (1) - (2)
gleichsetzen ergibt obige Formel

Anmerkung: die gesuchten Punkte liegen ja nicht nur auf Hyperbeln sondern auch auf Kreisen :-)

Bezug
                                        
Bezug
Punkt bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mi 11.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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