Punktweise konvergent < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 10.03.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Finden Sie Beispiel:
[mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx} [/mm] = n für alle n aus [mm] \IN [/mm] , aber [mm] f_{n} [/mm] --> 0 punktweise in [0,1] |
Hallo!
Zu dieser Aufgabe habe ich folgendes Beispiel gefunden [mm] f_{n} [/mm] = [mm] n^{2}* 1_{[0, 1/n]}. [/mm] Man hat mir aber gesagt, dass es folgende Funktion sein muss:
[mm] f_{n} [/mm] = [mm] \begin{cases} n^{2}* 1_{(0, 1/n]} \\ 0, falls x=0 \end{cases}
[/mm]
Und hier verstehe ich nicht, warum wir den Fall x=0 extra untersuchen sollen.
Hat das etwas mit punktweiser Konvergenz zu tun?
Ich wäre sehr dankbar für die Hilfe.
LG Elena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena!
> Finden Sie Beispiel:
> [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm] = n für alle n aus [mm]\IN[/mm] ,
du meinst sicher [mm] $\int_0^1 |f_n(x)| [/mm] dx$, oder?
> aber [mm]f_{n}[/mm] --> 0 punktweise in [0,1]
> Hallo!
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich folgendes Beispiel gefunden
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]n^{2}* 1_{[0, 1/n]}.[/mm]
Deine Funktion an der Stelle $x = 0$ ist [mm] $f_n(0) [/mm] = [mm] n^2$, [/mm] was sicher nicht gegen $0$ konvergiert.
> Man hat mir aber gesagt, dass es folgende Funktion sein muss:
Das ist falsch, es gibt viele verschiedene solcher Familien von Funktionen, die die Bedingung erfuellen. Aber vielleicht hat die Person gemeint, das diese Funktion am naechsten an deiner dran ist...
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\begin{cases} n^{2}* 1_{(0, 1/n]} \\ 0, falls x=0 \end{cases}[/mm]
...was bereits gleich [mm] $n^{2}* 1_{(0, 1/n]}$ [/mm] ist: wenn man dort $x = 0$ einsetzt, ist wegen [mm] $1_{(0,1/n]}(0) [/mm] = 0$ das schon gleich $0$.
> Und hier verstehe ich nicht, warum wir den Fall x=0 extra
> untersuchen sollen.
Warum die Funktion ueber eine Fallunterscheidung definiert wird weiss ich auch nicht, da der erste Fall doch den zweiten schon abdeckt. Aber das generelle Problem ist halt das z.B. deine Funktion im Nullpunkt nicht punktweise gegen 0 geht (da 0 in jedem Intervall der Form $[0, 1/n]$ enthalten ist), bei der zweiten Funktion aber schon (es ist dann immer $0$).
Beantwortet das deine Frage?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Fr 10.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Ich denke, mein Problem liegt daran, dass ich nicht verstehe warum meine Funktion nicht punktweise gegen 0 konvergiert.
In x = 0 ist [mm] f_n(0) [/mm] = [mm] n^2 [/mm] , konvergiert nicht gegen 0.
Aber für x aus (0, 1/n] ist [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] n^2 [/mm] , die konvergiert aber auch nicht gegen 0.
Wieso dann wenn ich für x= 0 extra [mm] f_n(0)=0 [/mm] einsetze, wird die Funktion punktweise konvergent gegen 0?
Danke für Deine Hilfe.
LG Elena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elena!
> Ich denke, mein Problem liegt daran, dass ich nicht
> verstehe warum meine Funktion nicht punktweise gegen 0
> konvergiert.
> In x = 0 ist [mm]f_n(0)[/mm] = [mm]n^2[/mm] , konvergiert nicht gegen 0.
> Aber für x aus (0, 1/n] ist [mm]f_n(x)[/mm] = [mm]n^2[/mm] , die
> konvergiert aber auch nicht gegen 0.
> Wieso dann wenn ich für x= 0 extra [mm]f_n(0)=0[/mm] einsetze, wird
> die Funktion punktweise konvergent gegen 0?
[mm] $f_n$ [/mm] ist punktweise konvergent gegen $0$ heisst: Fuer jedes $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ konvergiert die Folge [mm] $f_n(x)$ [/mm] fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$. Fuer eine solche Folge ist also $x$ fest gewaehlt! Bei deiner Funktion betrachtest du also fuer ein festes $x$ die Folge [mm] $1_{(0,1/n]}(x)$. [/mm] Und ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] ist $1/n < x$ fuer alle $n > [mm] n_0$, [/mm] womit [mm] $1_{(0,1/n]}(x) [/mm] = 0$ ist fuer alle $x > [mm] n_0$! [/mm] Damit konvergiert die Folge [mm] $1_{(0,1/n]}(x)$ [/mm] gegen $0$ fuer $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn [mm] $f_n$ [/mm] auf $[0, 1]$ gleichmaessig gegen $0$ konvergieren muesste, dann muss es zu jeden [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0$ [/mm] geben, so dass fuer alle $n > [mm] n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ gilt [mm] $|f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Bei punktweiser Konvergenz gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] und jedem $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$ ein solches [mm] $n_0$, [/mm] so dass fuer alle $n > [mm] n_0$ [/mm] gilt [mm] $|f_n(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Fr 10.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Felix,
ich habe noch eine blöde Frage:
Warum konvergiert die erste Funktion [mm] n^{2}* 1_{[0, 1/n]} [/mm] nicht punktweise gegen 0 ?
Danke.
LG Elena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Sa 11.03.2006 | | Autor: | elena27 |
Entschuldigung,
war blöde Frage. Ich habe jetzt alles verstanden.
Danke für Deine Hilfe.
LG Elena
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