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Quadrat der Komplexen Zahlen: "Tipp","Aufgabe","Korrektur"
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Di 13.05.2014
Autor: Qight

Aufgabe
Sei c [mm] \in \IC [/mm] {0}. Zeigen Sie: Die Gleichung [mm] z^2 [/mm] = c besitzt genau zwei Lösungen in [mm] \IC, [/mm] nämlich w und -w mit

Re w = [mm] \wurzel{(|c|+Re c)/2} [/mm] , |Im w| = [mm] \wurzel{(|c|-Re c)/2} [/mm]

So, damit ich diese Aufgabe lösen kann benötige ich eure Hilfe.
Mein Idee war erstmal den Aufbau von Komplexen Zahlen zu benutzen, spich:

[mm] z^2 [/mm] = c
[mm] \gdw [/mm] (Re z + i * Im z [mm] )^2 [/mm] = c
[mm] \gdw [/mm] (Re z + i * Im z ) * (Re z + i * Im z) = c
[mm] \gdw [/mm] (Re z [mm] )^2 [/mm] - (Im z [mm] )^2 [/mm] + i * (2 * Re z * Im z) = c

Theoretisch würde ich eigentlich die Quadrate des Realanteils, als auch des Imaginäranteils verwenden um auf das Ergebnis zu kommen, doch scheint mir da eine Beziehung zu fehlen, die ich im Moment übersehe. Wäre für Tipps offen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 13.05.2014
Autor: fred97


> Sei c [mm]\in \IC[/mm] {0}. Zeigen Sie: Die Gleichung [mm]z^2[/mm] = c
> besitzt genau zwei Lösungen in [mm]\IC,[/mm] nämlich w und -w mit
>
> Re w = [mm]\wurzel{(|c|+Re c)/2}[/mm] , |Im w| = [mm]\wurzel{(|c|-Re c)/2}[/mm]
>  
> So, damit ich diese Aufgabe lösen kann benötige ich eure
> Hilfe.
> Mein Idee war erstmal den Aufbau von Komplexen Zahlen zu
> benutzen, spich:
>
> [mm]z^2[/mm] = c
>  [mm]\gdw[/mm] (Re z + i * Im z [mm])^2[/mm] = c
>  [mm]\gdw[/mm] (Re z + i * Im z ) * (Re z + i * Im z) = c
>  [mm]\gdw[/mm] (Re z [mm])^2[/mm] - (Im z [mm])^2[/mm] + i * (2 * Re z * Im z) = c
>  
> Theoretisch würde ich eigentlich die Quadrate des
> Realanteils, als auch des Imaginäranteils verwenden um auf
> das Ergebnis zu kommen, doch scheint mir da eine Beziehung
> zu fehlen, die ich im Moment übersehe. Wäre für Tipps
> offen.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Dass w und -w Lösungen der Gleichung [mm] z^2=c [/mm] sind, kannst Du doch einfach nachrechen:

Berechne einfach [mm] w^2 [/mm] und schau, dass c rauskommt.

Es ist [mm] (-w)^2=w^2. [/mm]

Dann musst Du noch zeigen: ist z [mm] \in \IC [/mm] und [mm] z^2=c, [/mm] so ist z=w oder z=-w.

FRED

Bezug
                
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Di 13.05.2014
Autor: Qight

Okay, dass habe ich auch schon versucht, sprich

Es gilt:
[mm] w^2 [/mm] = [mm] (-w)^2 [/mm]

Sei [mm] w^2 [/mm] = c , also:

(Re w + i * Im w [mm] )^2 [/mm] = c
[mm] \gdw [/mm] (Re w [mm] )^2 [/mm] - (Im w [mm] )^2 [/mm] + i * (2 * Re w * Im w ) = c
[mm] \gdw [/mm] (Re w [mm] )^2 [/mm] = c + (Im w [mm] )^2 [/mm] - i * (2 * Re w * Im w )

Leider fehlt mir hier eine Beziehung um Re c aus den Restanteilen zu bestimmen. Übersehe ich da eine einfache Verbindung?
Ich komme da einfach nicht drauf. Ich bin heute Abend nochmal online, versuche derweil diesen Zusammenhang zu finden.

Bezug
                        
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Di 13.05.2014
Autor: fred97


> Okay, dass habe ich auch schon versucht, sprich
>
> Es gilt:
> [mm]w^2[/mm] = [mm](-w)^2[/mm]
>  
> Sei [mm]w^2[/mm] = c ,

Nein ! Das sollst Du doch zeigen !!

> also:
>  
> (Re w + i * Im w [mm])^2[/mm] = c
>  [mm]\gdw[/mm] (Re w [mm])^2[/mm] - (Im w [mm])^2[/mm] + i * (2 * Re w * Im w ) = c
>  [mm]\gdw[/mm] (Re w [mm])^2[/mm] = c + (Im w [mm])^2[/mm] - i * (2 * Re w * Im w )
>  
> Leider fehlt mir hier eine Beziehung um Re c aus den
> Restanteilen zu bestimmen. Übersehe ich da eine einfache
> Verbindung?
> Ich komme da einfach nicht drauf. Ich bin heute Abend
> nochmal online, versuche derweil diesen Zusammenhang zu
> finden.

Es ist doch Re w = $ [mm] \wurzel{(|c|+Re c)/2} [/mm] $  und  |Im w| = $ [mm] \wurzel{(|c|-Re c)/2} [/mm] $

Berechne damit [mm] w^2 [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 Di 13.05.2014
Autor: Qight

Okay, dann habe ich was falsch verstanden. Nun habe ich versucht w aus zudrücken:

Re w = [mm] \wurzel{(|c| + Re c)/2} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 * (Re w [mm] )^2 [/mm] = |c| + Re c      (1)

|Im w| = [mm] \wurzel{(|c| - Re c)/2} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2 * (|Im w| [mm] )^2 [/mm] = |c| - Re c    (2)

Dann (1) + (2)

2 * ((Re w [mm] )^2 [/mm] + (|Im w [mm] |)^2) [/mm] = 2 * |c|
[mm] \gdw [/mm] (Re w [mm] )^2 [/mm] + (|Im w| [mm] )^2 [/mm] = |c|

Das ist doch aber nicht [mm] w^2 [/mm] , oder?

Qight


Bezug
                        
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Di 13.05.2014
Autor: chrisno

Eine komplexe Zahl kann dargestellt werden als z = a + ib.
Du hast da stehen, was der Realteil ist. Setze das für a ein.
Du hast da stehen, was der Imaginärteil ist. Setze das für b ein.
Diese Zahl z sollst Du dann quadrieren und nachsehen, was herauskommt.

Bezug
                                
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:44 Mi 14.05.2014
Autor: Qight

So, hoffe mal das ich da nun auf den richtige Weg bin.
z = a + i [mm] \* [/mm] b
[mm] z^{2} [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + 2 [mm] \* [/mm] a [mm] \* [/mm] b * i - [mm] b^2 [/mm]

z = Re w + i [mm] \* [/mm] |Im w|
[mm] z^2 [/mm] = (Re [mm] w)^2 [/mm] + 2 [mm] \* [/mm] Re w [mm] \* [/mm] |Im w| - (|Im [mm] w|)^2 [/mm]
[mm] z^2 [/mm] = [mm] \bruch{|c| + Re c - |c| + Re c}{2} [/mm] + 2 [mm] \* \wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}} [/mm]
[mm] z^2 [/mm] = Re c + 2 [mm] \* \wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}} [/mm]

Leider bleibe ich an dieser Stelle wieder hängen. Kann man [mm] \wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}} [/mm] als Im c annehmen und wenn ja warum?

Bezug
                                        
Bezug
Quadrat der Komplexen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Mi 14.05.2014
Autor: angela.h.b.


> So, hoffe mal das ich da nun auf den richtige Weg bin.
>  z = a + i [mm]\*[/mm] b
>  [mm]z^{2}[/mm] = [mm]a^2[/mm] + 2 [mm]\*[/mm] a [mm]\*[/mm] b * i - [mm]b^2[/mm]

Hallo,

schöner geschrieben:

...= [mm] (a^2-b^2)+i*(2ab). [/mm]

Es ist [mm] Re(z^2)=a^2-b^2 [/mm] und [mm] Im(z^2)=2ab. [/mm]


> z = Re w + i [mm]\*[/mm] |Im w|

Das stimmt ja nicht.

Es wird beauptet, daß  z=w und z=-w Lösungen sind,
und Du möchtest nun zeigen, daß z=w eine Lösung ist.

z=w
<==>
z=Re(w)+i*Im(w).

Nix da mit Betrag!

Nun wird über w gesagt, daß  
[mm] Re(w)=\wurzel{\bruch{|c|+Re(c)}{2}}, [/mm]
[mm] Im(w)=\wurzel{\bruch{|c|-Re(c)}{2}} [/mm] oder [mm] Im(w)=-\wurzel{\bruch{|c|-Re(c)}{2}}, [/mm]
je nachdem, wie c  gemacht ist.


Machen wir mal ein Beispiel.

Sei c=-5-12i.

Es wird Dir nun in Deiner Aufgabe versprochen, daß

[mm] z=\wurzel{\bruch{\wurzel{(-5)^2+(-12)^2}+(-5)}{2}}+2i\wurzel{\bruch{\wurzel{(-5)^2+(-12)^2}-(-5)}{2}} [/mm]
ODER  
[mm] w=\wurzel{\bruch{\wurzel{(-5)^2+(-12)^2}+(-5)}{2}}-2i\wurzel{\bruch{\wurzel{(-5)^2+(-12)^2}-(-5)}{2}} [/mm]

eine Lösung der Gleichung [mm] z^2=c [/mm] ist, und das entsprechende Negative dann auch.

Vielleicht ist es nützlich, wenn Du Dich davon mal überzeugst.


Für

z = Re w + i [mm]\*[/mm] Im w

bekommst Du

>  [mm]z^2[/mm] = (Re [mm]w)^2[/mm] + [mm] 2\red{*i }[/mm]  [mm]\*[/mm] Re w [mm]\*[/mm] [mm] \red{(}Im [/mm] w [mm] \red{)} [/mm] - (|Im [mm]w|)^2[/mm]
>  [mm]z^2[/mm] = [mm]\bruch{|c| + Re c - |c| + Re c}{2}[/mm] + 2 [mm]\red{*i } \* \wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}}[/mm]

>  
> [mm]z^2[/mm] = Re c + [mm] 2\red{*i }[/mm]  [mm]\* \wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}}[/mm]
>  
> Leider bleibe ich an dieser Stelle wieder hängen. Kann man
> [mm]\wurzel{\bruch{(|c|)^2 - (Re c)^2}{4}}[/mm] als Im c annehmen
> und wenn ja warum?

Annehmen kann man das als gar nichts.

Aber es ist doch [mm] |c^2|=(Re(c))^2+(Im(c))^2, [/mm]

also hast Du

[mm] z^2=Re(c)+2i*\wurzel{(Im(c))^2/4} [/mm]

=Re(c)+i*|Im(c)|,

und im Idealfall istdas =c,

andernfalls schaust Du halt mal nach, ob vielleicht z=Re(w)-i*Im(w) eine passende Lösung ist.

LG Angela


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