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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Quadratische Ergänzung
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Quadratische Ergänzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 Di 07.07.2009
Autor: pippilangstrumpf

Aufgabe
[mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1 [/mm]

[mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] + [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] + [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1 [/mm]
Ich soll hier quadratische Ergänzung durchführen...

Jetzt würde ich euch um eure Hilfe bitten!

Zuerst würde ich [mm] 2\*x_{2}^{2} [/mm] stehen lassen, da ich hier bereits ein Quadrat habe, richtig?
Dann würde ich mich auf [mm] 3\*x_{1}^{2} [/mm] und [mm] 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1 [/mm] stürzen.
Die 1 würde ich auf die linke Seite bringen (Term = 0 setzen).

Dann bleibt mir noch übrig:
[mm] 3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1 [/mm] = 0 [mm] (2\*x_{2}^{2} [/mm] lasse ich jetzt für die Nebenrechnung weg!!!)

[mm] 3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1 [/mm] = 0
Wer kann mir hier weiter helfen?
Klammere ich die 3 aus?
3 [mm] (x_{1}^{2}+ x_{3}^{2}+\bruch{8}{3}x_{1}x_{3})-1=0 [/mm]

Dann lasse ich die 3 stehen und mache ein Binom:
3 [mm] (x_{1}+\bruch{4}{3} x_{3})x^{2}-1-\bruch{48}{9}=0 [/mm]

Bin ich soweit richtig?

Besten Dank, Gruß Pippi:-;





        
Bezug
Quadratische Ergänzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:30 Di 07.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]3\*x_{1}^{2}+2\*x_{2}^{2}+3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1[/mm]

>  Ich soll hier quadratische Ergänzung durchführen...
>  

So wie es nach deiner früheren Aufgabe
aussieht, geht es wohl wieder darum,
des gemischte Glied  [mm] 8*x_1*x_3 [/mm] irgendwie
zum Verschwinden zu bringen, um dann
eine Summe von Quadraten zu bekommen.
Dies kann man allerdings auf verschiedene
Arten tun, die Aufgabe ist also nicht ein-
deutig gestellt
!

  

> Zuerst würde ich [mm]2\*x_{2}^{2}[/mm] stehen lassen, da ich hier
> bereits ein Quadrat habe, richtig?   [ok]

>  Dann würde ich mich auf [mm]3\*x_{1}^{2}[/mm] und
> [mm]3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}=1[/mm] stürzen.

> .....  
> Dann bleibt mir noch übrig:
>  [mm]3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1[/mm] = 0

> [mm](2\*x_{2}^{2}[/mm] lasse ich jetzt für die Nebenrechnung
> weg!!!)
>  
> [mm]3\*x_{1}^{2}+ 3\*x_{3}^{2}+8\*x_{1}x_{3}-1[/mm] = 0

>  Wer kann mir hier weiter helfen?
>  Klammere ich die 3 aus?

> 3 [mm](x_{1}^{2}+ x_{3}^{2}+\bruch{8}{3}x_{1}x_{3})-1=0[/mm]

Lass lieber z.B. die [mm] 3*x_3^2 [/mm] vorerst aus dem Spiel,
also:

       $\ [mm] 3*(x_1^2+\bruch{8}{3}x_1x_3+.....)-......+3x_3^2-1=0$ [/mm]
  

> Dann lasse ich die 3 stehen und mache ein Binom:
>  3 [mm](x_{1}+\bruch{4}{3} x_{3})x^{2}-1-\bruch{48}{9}=0[/mm]    [notok]

Da wo ich oben die Pünktchen gesetzt habe,
kommt die Ergänzung hin:

       $\ [mm] 3*(x_1^2+\bruch{8}{3}x_1x_3\red{+\bruch{16}{9}x_3^2})\blue{-\bruch{16}{3}x_3^2}+3x_3^2-1=0$ [/mm]

       $\ [mm] 3*\left(x_1+\bruch{4}{3}x_3\right)^2-\bruch{7}{3}x_3^2-1=0$ [/mm]

Dann natürlich das Glied mit [mm] x_2^2 [/mm] wieder dazu
und du hast deinen Term ohne gemischte Glieder.
Da im gegebenen Term [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] genau symmetrisch
vorkommen, wäre jedoch statt der Lösung

       $\ [mm] 3*\left(x_1+\bruch{4}{3}x_3\right)^2+2x_2^2-\bruch{7}{3}x_3^2=1$ [/mm]

ebensogut möglich:

       $\ [mm] 3*\left(x_3+\bruch{4}{3}x_1\right)^2+2x_2^2-\bruch{7}{3}x_1^2=1$ [/mm]

Es gäbe noch (unendlich viele !) andere mögliche
Lösungen, falls nicht noch eine Zusatzbedingung
zu erfüllen ist.


LG     Al-Chw.





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