Quadratische Ergänzung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die 1-dimensionale Wärmeleitungsgleichung für die Anfgangsbedingung:
[mm] f(x,0)=e^{-x^2} [/mm] |
Die Lösung ist durch:
[mm] f(x,t)=\integral_{a}^{b}{e^{\bruch{-(x-y)^2}{4t}}*e^{-y^2} dy}
[/mm]
Ich kann dann [mm] e^{\bruch{x^2}{4t}} [/mm] vors Integral ziehen. Der neue Exponent lautet dann:
[mm] \bruch{xy}{2t}-y^2(1+\bruch{1}{4t})
[/mm]
Das würde ich nun gerne quadratisch ergänzen und würde dazu [mm] (1+\bruch{1}{4t}) [/mm] ausklammern. In einer ähnlichen Aufgabe ist aber in der Musterlösung des Profs dieser Faktor im Binom mitdrinnen.
Könnte mir jemand erklären wie man hier quadratisch ergänzt?
Vielen, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du es mit ausklammern kanst , dan tu das und mult. am ende wieder rein, dabei kommt aber die wurzel aus deinem t-ausdruck vor.
gruss leduart
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Ich habe jetzt:
[mm] -(1+\bruch{1}{4t}) ((y-\bruch{x}{2t*(1+\bruch{1}{4t}) })^2-\bruch{x^2}{4t^2*(1+\bruch{1}{4t}) })
[/mm]
Wie bekomme ich nun die Wurzel?
Stehe grad voll am Schlauch...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich habe jetzt:
>
> [mm]-(1+\bruch{1}{4t}) ((y-\bruch{x}{2t*(1+\bruch{1}{4t}) })^2-\bruch{x^2}{4t^2*(1+\bruch{1}{4t}) })[/mm]
= [mm]- ((y*\wurzel{(1+\bruch{1}{4t}) }-\wurzel{(1+\bruch{1}{4t}) }\bruch{x}{2t*(1+\bruch{1}{4t}) })^2-\bruch{x^2}{4t^2*(1+\bruch{1}{4t}) })[/mm]
Gruss leduart
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> Hallo
> > Ich habe jetzt:
> >
> > [mm]-(1+\bruch{1}{4t}) ((y-\bruch{x}{2t*(1+\bruch{1}{4t}) })^2-\bruch{x^2}{4t^2*(1+\bruch{1}{4t}) })[/mm]
>
> = [mm]- ((y*\wurzel{(1+\bruch{1}{4t}) }-\wurzel{(1+\bruch{1}{4t}) }\bruch{x}{2t*(1+\bruch{1}{4t}) })^2-\bruch{x^2}{4t^2*(1+\bruch{1}{4t}) })[/mm]
>
> Gruss leduart
Muss nicht der letzte Term auch mit [mm] (1+\bruch{1}{4t}) [/mm] multipliziert werden, sodass sich
[mm] \bruch{x^2}{4t^2 }
[/mm]
ergeibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein
Gruss leduart
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Könntest du das bitte etwas erläutern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sorry, kann ich nicht, denn du hattest Recht! und auch der letzte Term muss multipliziert werden.
Gruss leduart
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Alles klar.
Damit wird mein Integral zu:
[mm] f(x,t)=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} e^{-\bruch{x^2}{4t}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2+\bruch{x^2}{4t}} dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} e^{-\bruch{x^2}{4t}}*e^{\bruch{x^2}{4t}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2 } dy}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} [/mm] 1 [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2 } dy}
[/mm]
Nun substituiere ich [mm] z=(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dy}=\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{dz}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}}=dy
[/mm]
[mm] f(x,t)=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-z^2} dz} =\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}} \wurzel{\pi}
[/mm]
Mir kommt das Ergebnis insofern komisch vor, indem es für t=0 nicht die Anfangs"verteilung" [mm] e^{-x^2} [/mm] wiedergibt... Kann jemand einen/mehrere Fehler entdecken?
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Hallo BunDemOut,
> Alles klar.
>
> Damit wird mein Integral zu:
>
>
> [mm]f(x,t)=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} e^{-\bruch{x^2}{4t}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2+\bruch{x^2}{4t}} dy}[/mm]
>
Hier ist die quadratische Ergänzung nicht richtig ausgeführt worden.
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} e^{-\bruch{x^2}{4t}}*e^{\bruch{x^2}{4t}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2 } dy}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}}[/mm] 1
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})^2 } dy}[/mm]
>
>
> Nun substituiere ich
> [mm]z=(y*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}-\bruch{x}{2t (1+\bruch{1}{4t})}*\wurzel{1+\bruch{1}{4t}})[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{dz}{dy}=\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}[/mm]
> Also:
>
> [mm]\bruch{dz}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}}=dy[/mm]
>
> [mm]f(x,t)=\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}} \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-z^2} dz} =\bruch{1}{\wurzel{4 \pi t}} \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{4t}}} \wurzel{\pi}[/mm]
>
>
>
>
> Mir kommt das Ergebnis insofern komisch vor, indem es für
> t=0 nicht die Anfangs"verteilung" [mm]e^{-x^2}[/mm] wiedergibt...
> Kann jemand einen/mehrere Fehler entdecken?
Gruss
MathePower
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