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Quadratische Gleichungen, 9. J < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Quadratische Gleichungen, 9. J: a bestimmen für 1 Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 So 09.10.2016
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
Bestimmen Sie a so, dass eine Lösung entsteht für
f(x)= [mm] ax^2 [/mm] + 14x + 196a


<br>Ich sehe, dass diese Fragestellung hier bereits diskutiert wird, doch diese Funktion hat es in sich. Mit der Mathematiksoftware "mathematik interaktiv SII" ist es möglich, den Graphen für diese Funktion darzustellen sowie mit Hilfe eines dynamischen Tools den Graphen so zu verändern, dass die Funktion nur eine Lösung hat. Die Lösung lautet:   a=0,5
Leider gelingt es mir nicht, diese Lösung rechnerisch zu bestätigen.
Mein Lösungsversuch:
(1)                    [mm] ax^2+14x+196a [/mm] = 0
(2) a ausklammern      [mm] a(x^2 [/mm] +14x/a +196)
(3) quadr. Ergänzung   [mm] a[x^2+14x/a+(14/2a)^2-(14/2a)^2+196] [/mm]
(4)                    [mm] a[(x+7/a)^2-196/4a^2+196] [/mm]
(5) durch a dividieren    [mm] (x+7/a)^2-196/4a^2+196 [/mm]
(6) [mm] (+196/4a^2-196)      (x+7/a)^2   [/mm] =   [mm] 196/4a^2-196 [/mm]
(7) radizieren               x+7/a   =   [mm] (196/4a^2-196)^0,5 [/mm]
(8) Wenn eine(!) Lösung, dann muss die Diskriminante gleich Null sein
(9)                  [mm] 196/4a^2 [/mm] -196   =   0
(10 +196                 [mm] 196/4a^2 [/mm]    =   196
(11) mal [mm] 4a^2                  [/mm] 196   =   [mm] 196*4a^2 [/mm]
(12) : 196                       1   =   [mm] 4a^2 [/mm]
(13) :4                       1/4    =   [mm] a^2 [/mm]
(14) radizieren           [mm] (1/4)^0,5  [/mm] =   a
(15) Ergebnis                    a   =   +- (1/2)
(16) Interpretation:   Ich erhalte 2 (zwei!) Lösungen, das widerspricht aber der graphischen Lösung

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen
wolfgangmax

        
Bezug
Quadratische Gleichungen, 9. J: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 So 09.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi

Guten Tag !

Na, es ist eben so:  Sowohl für den Wert  [mm] $a_1\ [/mm] =\ 0.5$  als auch
für den Wert   [mm] $a_2\ [/mm] =\ -0.5$  hat die jeweils resultierende
Funktion  [mm] (f_1 [/mm] bzw. [mm] f_2) [/mm]   genau eine Nullstelle. Graphisch:
jede der beiden entsprechenden Parabeln berührt die x-Achse
in je einem Punkt.

Da steckt kein Widerspruch drin, falls du das gemeint haben
solltest ...

LG  ,     Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Quadratische Gleichungen, 9. J: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 So 09.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Mit der Mathematiksoftware "mathematik interaktiv SII" ist  
> es möglich, den Graphen für diese Funktion darzustellen
> sowie mit Hilfe eines dynamischen Tools den Graphen so zu
> verändern, dass die Funktion nur eine Lösung hat. Die
> Lösung lautet:   a=0,5

Dann zieh doch den Schieber für das a auch mal noch zum
Wert  -0.5  !
(das sollte doch wohl auch möglich sein ...)


Bezug
                
Bezug
Quadratische Gleichungen, 9. J: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 So 09.10.2016
Autor: wolfgangmax

Aufgabe
<br>
 


<br>Danke, alles ist ok! Wenn ich den Schieber nach a=-0,5 bewege, zeigt sich die 2. Lösung.
Zusatzfrage: ist der rechnerische Lösungsweg fehlerfrei (vielleicht eine doofe Frage, sorry, wäre mir aber wichtig).
Nochmals herzlichen Dank

Bezug
                        
Bezug
Quadratische Gleichungen, 9. J: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 So 09.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke, alles ist ok! Wenn ich den Schieber nach a=-0,5
> bewege, zeigt sich die 2. Lösung.
>  Zusatzfrage: ist der rechnerische Lösungsweg fehlerfrei


Ja, aber es ginge auch deutlich einfacher, denn du
machst bei deiner Lösung einen eigenartigen Umweg.
Man kann direkt bei der gegebenen Gleichung

      $ [mm] ax^2+14x+196 [/mm] a \ =\ 0$

die Diskriminante berechnen, gleich 0 setzen und aus
der entstandenen Gleichung die möglichen Werte für a
ermitteln.

LG   ,   Al-Chwarizmi

Bezug
        
Bezug
Quadratische Gleichungen, 9. J: Klammern und Exponenten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 So 09.10.2016
Autor: Al-Chwarizmi

 
>    ..... [mm](196/4a^2-196)^0,5[/mm]

>    ..... [mm](1/4)^0,5 [/mm] =   .....


Nur noch ein kleiner Tipp:
Damit in solchen Ausdrücken der Exponent richtig, also
komplett hochgestellt erscheint, musst du die Exponenten
bei der Eingabe in geschweifte Klammern einpacken, also so:


    ..... [mm](196/4a^2-196)^{0,5}[/mm]

    ..... [mm](1/4)^{0,5} [/mm] =   .....


Ferner wären im ersten Beispiel noch zusätzliche Klammern
nötig gewesen, nämlich:

    ..... [mm](196/\red{(4a^2)}-196)^{0,5}[/mm]

LG und schönen Nachmittag noch !

Al-Chw.

Bezug
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