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Quotient konver. Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mo 25.04.2016
Autor: X3nion

Guten Tag zusammen! :-)

Mir ist beim Beweis des Grenzwertes von Quotienten konvergenter Folgen eine kleine Sache nicht klar. Ich tippe nicht den gesamten Beweis ab

---

Satz: Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit lim [mm] b_{n} [/mm] =: b [mm] \not= [/mm] 0. Dann gibt es ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] sodass [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] und die Quotientenfolge [mm] (a_{n} [/mm] / [mm] b_{n})_{n\gen_{0}} [/mm] konvergiert. Für ihren Grenzwert gilt:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} [/mm] =  [mm] \frac{\limes a_{n}}{ \limes b_{n}} [/mm]

Beweis: Wir behandeln zunächst den Spezialfall, dass [mm] (a_{n}) [/mm] die konstante Folge [mm] a_{n} [/mm] = 1 ist. Da b [mm] \not= [/mm] 0, ist |b|/2 > 0, es gibt also ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit

[mm] |b_{n} [/mm] - b| < [mm] \frac{|b|}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}. [/mm]

Daraus folgt, [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2, insbesondere [mm] b_{n} \not= [/mm] 0 für n [mm] \ge n_{0}. [/mm]

---

Die Aussage 'Daraus folgt [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2' verstehe ich nicht. Ich habe schon versucht den Betrag [mm] |b_{n} [/mm] - b| in zwei Fälle aufzudröseln, aber damit komme ich auch nicht zu der Folgerung. Oder ist dies die Anwendung der 2. Dreiecksungleichung?

Viele Grüße
X3nion

        
Bezug
Quotient konver. Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Mo 25.04.2016
Autor: leduart

Hallo
es gilt doch bei Konvergenz für jedes [mm] \epsilon>0 |b_n-b|< \epsilon [/mm] für [mm] n>N_0 [/mm] jetzt ist eben [mm] |b_n|/2 [/mm] dein [mm] \epsilon [/mm]
du könntest auch [mm] b_n/10>0 [/mm]  nehmen oder jede andere Zahl >0
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Quotient konver. Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Mo 25.04.2016
Autor: X3nion

Hallo leduart,
danke für deine Antwort.

Hmm das [mm] \epsilon [/mm] ist doch im Beweis |b| / 2 und nicht [mm] |b_{n}| [/mm] / 2 wie du geschrieben hast.

Im Beweis wird ja die Definition der Konvergenz benutzt, nämlich dass es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0, hier insbesondere zu |b| / 2 ein [mm] n_{0} [/mm] gibt, sodass

[mm] |b_{n} [/mm] - b| < [mm] \frac{|b|}{2} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}. [/mm]

Mein Verständnisproblem ist nun, wieso hieraus folgt, dass [mm] |b_{n}| \ge [/mm] |b|/2 ist.

Viele Grüße
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Quotient konver. Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 25.04.2016
Autor: fred97


> Hallo leduart,
>  danke für deine Antwort.
>  
> Hmm das [mm]\epsilon[/mm] ist doch im Beweis |b| / 2 und nicht
> [mm]|b_{n}|[/mm] / 2 wie du geschrieben hast.
>  
> Im Beweis wird ja die Definition der Konvergenz benutzt,
> nämlich dass es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0, hier insbesondere
> zu |b| / 2 ein [mm]n_{0}[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]|b_{n}[/mm] - b| < [mm]\frac{|b|}{2} \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0}.[/mm]
>  
> Mein Verständnisproblem ist nun, wieso hieraus folgt, dass
> [mm]|b_{n}| \ge[/mm] |b|/2 ist.

Für n [mm] \ge n_0 [/mm] ist

  [mm] $|b|-|b_n| \le [/mm] | [mm] |b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] < [mm] \frac{|b|}{2}$ [/mm]

also:

[mm] $|b|-|b_n|< \frac{|b|}{2}$ [/mm]

Dann folgt das Resultat.

FRED

>  
> Viele Grüße
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Quotient konver. Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Mo 25.04.2016
Autor: X3nion

Hallo FRED,

erstmal Danke für's Antworten!

Also die erste Abschätzung ist mir klar (hoffe ich).
[mm] |b|-|b_n| \le ||b|-|b_n||, [/mm] also die Differenz zweier positiver Zahlen ist kleiner oder gleich der Betrag aus der Differenz. Ist die Differenz [mm] \ge [/mm] 0, so gilt linke Seite = rechte Seite, denn er Betrag hat keine Auswirkung.
Ist die Differenz kleiner null, so macht der Betrag diese positiv und es gilt linke Seite < rechte Seite.

Die zweite Abschätzung [mm] ||b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] verstehe ich jedoch nicht so ganz.
Es gilt doch [mm] ||b|-|b_n|| \le |b_n-b| [/mm] genau dann wenn jeweils das innere innerhalb der äußeren Beträge übereinstimmt, also
<=> [mm] |b|-|b_n| \le b_n [/mm] - b oder?
Aber bei letzterer Ugleichung stehe ich auf dem Schlauch.
Über einen kleinen Tipp würde ich mich freuen!

Gruß X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Quotient konver. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:53 Di 26.04.2016
Autor: X3nion

Hallo zusammen,

ich hab noch einen kleinen Nachtrag zu meiner Frage.

Die zweite Dreiecksungleichung besagt ja:
||a| - |b|| [mm] \le [/mm] |a-b|.

Es ist deshalb [mm] ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] gemäß er zweiten Dreiecksungleichung und insgesamt [mm] |b_n|-|b| \le ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] < |b|/2

Daraus folgt also [mm] |b_n|-|b| [/mm] < |b|/2 bzw. [mm] |b_n| [/mm] < 3|b|/2

Da doch aber [mm] ||b_n|-|b|| [/mm] = [mm] ||b|-|b_n|| [/mm] ist, kann ich doch den ersten Term umdrehen.
Also erhalte ich doch insgesamt:
|b| - [mm] |b_n| \le ||b|-|b_n|| [/mm] = [mm] ||b_n|-|b|| \le |b_n-b| [/mm] < |b|/2

Daraus folgt |b| - [mm] |b_n| [/mm] < |b|/2 bzw. [mm] |b_n| [/mm] > |b|/2

Ist es richtig, dass ich diese zwei Abschätzungen machen kann?

Gruß X3nion

Bezug
                                                
Bezug
Quotient konver. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:36 Di 26.04.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich hab noch einen kleinen Nachtrag zu meiner Frage.
>  
> Die zweite Dreiecksungleichung besagt ja:
>  ||a| - |b|| [mm]\le[/mm] |a-b|.
>  
> Es ist deshalb [mm]||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm] gemäß er zweiten
> Dreiecksungleichung und insgesamt [mm]|b_n|-|b| \le ||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm]
> < |b|/2
>  
> Daraus folgt also [mm]|b_n|-|b|[/mm] < |b|/2 bzw. [mm]|b_n|[/mm] < 3|b|/2
>  
> Da doch aber [mm]||b_n|-|b||[/mm] = [mm]||b|-|b_n||[/mm] ist, kann ich doch
> den ersten Term umdrehen.
>  Also erhalte ich doch insgesamt:
>  |b| - [mm]|b_n| \le ||b|-|b_n||[/mm] = [mm]||b_n|-|b|| \le |b_n-b|[/mm] <
> |b|/2
>  
> Daraus folgt |b| - [mm]|b_n|[/mm] < |b|/2 bzw. [mm]|b_n|[/mm] > |b|/2
>  
> Ist es richtig, dass ich diese zwei Abschätzungen machen
> kann?

ja

nichts anders habe ich oben gemacht

fred

>  
> Gruß X3nion


Bezug
                                        
Bezug
Quotient konver. Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Di 26.04.2016
Autor: fred97

Die umgekehrte Dreiecksungleichung für reelle Zahlen a und b lautet so:

  $||a|-|b|| [mm] \le [/mm] |a-b|$

Beweis: $|a|=|a-b+b| [mm] \le [/mm] |a-b|+|b|$. Setzen wir z:=|a|-|b|, so haben wir

    $z [mm] \le [/mm] |a-b|$

Vertauschung der Rollen liefert analog: $-z =|b|-|a| [mm] \le [/mm] |b-a|$

Wegen  $|a-b|=|b-a|$ folgt:

   $z [mm] \le [/mm] |a-b|$ und [mm] $-z\le [/mm] |a-b|$


Daraus folgt $|z| [mm] \le [/mm] |a-b|$

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Quotient konver. Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Do 28.04.2016
Autor: X3nion

Hallo FRED,
danke für deine Ausführungen! Ich habe nun alles verstanden :)

Lg X3nion

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