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Radial unbeschränkt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:21 So 21.10.2012
Autor: rainman_do

Aufgabe
Betrachten Sie die Funktion $f: [mm] \IR^n \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\bruch{1}{2}x^THx+b^Tx+c$, [/mm] wobei [mm] $H\in \IR^{n \times n}, x\in \IR^n, b\in \IR^n, c\in \IR$ [/mm] und $H$ positiv definit. Zeigen Sie
a) $f$ ist radial unbeschränkt
b) $f$ ist streng konvex

Hallo zusammen,

erstmal zur Definition: $f$ heißt radial unbeschränkt, wenn [mm] $\lim_{||x||\to \infty}f(x)=\infty$. [/mm]

Ich hab einige Probleme mit beiden Aufgaben. Zu zeigen, dass der $f$ gegen Unendlich geht, wenn die Norm von $x$ unendlich groß wird, ist etwas seltsam.
[mm] $\lim_{||x||\to \infty}\bruch{1}{2}x^THx+b^Tx+c=...$. [/mm]

Ich hatte versucht irgendwie $x^THx$ mit einer Norm zu identifizieren, aber es ist ja bis auf die pos. Definitheit nichts über $H$ bekannt. Warum gilt dann $x^THx [mm] \to \infty$? [/mm] Es ist ja erstmal nur $x^THx>0$ für alle $x$...

Zu b)
Also irgendwie ist mir schon klar, dass $H$ vermutlich die Hesse-Matrix sein wird. Aber das ist in der Aufgabe ja nicht gesagt. Ich habe erst versucht mit dem Kriterium
[mm] $f((1-\lambda)x+\lambda y)<(1-\lambda)f(x)+\lambda [/mm] f(y)$ für [mm] $\lambda \in [/mm] (0,1)$ zu arbeiten. Allerdings erhalte ich dann solche gemischten Terme, in denen bspw. [mm] $(1-\lambda)x^THy$ [/mm] oder ähnliches vorkommt und die ich dann nicht weiter zusammenfassen kann, bzw. über die ich nicht sagen kann ob sie größer 0 sind, oder ähnliches.

Dann hab ich versucht über die zweite Ableitung von $f$ zu gehen, mal davon abgesehen, dass nirgendwo gesagt ist, dass $f$ diff'bar ist. Die zweite Ableitung sollte doch $f''(x)=x^THx$ sein und die ist aufgrund der pos. Definitheit von $H$ >0, also ist $f$ streng konvex, aber wie komme ich zu dieser Ableitung? darf ich voraussetzen, dass diese existiert, usw?

Viele Dank schon mal für eure Hilfe

        
Bezug
Radial unbeschränkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 21.10.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Betrachten Sie die Funktion [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^THx+b^Tx+c[/mm], wobei [mm]H\in \IR^{n \times n}, x\in \IR^n, b\in \IR^n, c\in \IR[/mm]
> und [mm]H[/mm] positiv definit. Zeigen Sie
> a) [mm]f[/mm] ist radial unbeschränkt
>  b) [mm]f[/mm] ist streng konvex
>  Hallo zusammen,
>  
> erstmal zur Definition: [mm]f[/mm] heißt radial unbeschränkt, wenn
> [mm]\lim_{||x||\to \infty}f(x)=\infty[/mm].
>  
> Ich hab einige Probleme mit beiden Aufgaben. Zu zeigen,
> dass der [mm]f[/mm] gegen Unendlich geht, wenn die Norm von [mm]x[/mm]
> unendlich groß wird, ist etwas seltsam.
>  [mm]\lim_{||x||\to \infty}\bruch{1}{2}x^THx+b^Tx+c=...[/mm].
>  
> Ich hatte versucht irgendwie [mm]x^THx[/mm] mit einer Norm zu
> identifizieren, aber es ist ja bis auf die pos. Definitheit
> nichts über [mm]H[/mm] bekannt. Warum gilt dann [mm]x^THx \to \infty[/mm]?

baue es mal "schrittweise" auf:
Ist [mm] $e_k$ [/mm] der [mm] $k\,$-te [/mm] Einheitsvektor des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] so betrachten wir
mal [mm] $x^k(\lambda):=\lambda*e_k$ [/mm] für [mm] $\lambda \in \IR\,.$ [/mm]
Klar ist
[mm] $$x^k(\lambda)^THx^k(\lambda)> [/mm] 0$$
und
[mm] $$x^k(\lambda)^THx^k(\lambda)=\lambda^2 e_k^THe_k\,,$$ [/mm]
wobei ja auch [mm] $e_k^THe_k [/mm] > 0$ gelten muss. Was passiert nun bei
[mm] $|\lambda| \to \infty$? [/mm]

--
Einschub: Das [mm] $+c\,$ [/mm] am Ende ist nicht so wichtig, aber eigentlich müßtest
Du bei obigen Überlegungen nicht nur [mm] $\frac{1}{2}x^k(\lambda)^THx^k(\lambda)$ [/mm] betrachten, wenn [mm] $|\lambda| \to \infty\,,$ [/mm]
sondern mindestens den Ausdruck [mm] $\frac{1}{2}x^k(\lambda)^THx^k(\lambda)+b^Tx^k(\lambda)$... [/mm]
Mir ist nicht ganz klar, wenn ich das so wie oben schreibe, ob Dir das auch
klar ist!
--

Und wenn Dun nun $x [mm] \in \IR^{n} \setminus \{0\}$ [/mm] hast, so kannst Du
[mm] $x\,$ [/mm] als Linearkombination der Einheitsvektoren schreiben:
[mm] $$x=\sum_{k=1}^n x_k e_k\,.$$ [/mm]

Jetztv musst Du mal gucken, ob Du eine Abschätzung kennst (oder findest),
die Dir dann hilft, mit der Verüberlegung dann die Behauptung zu folgern...

Das als erste Idee!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Radial unbeschränkt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Do 25.10.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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