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Randextrema Verständnis: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:47 Di 13/06/2017
Author: Paivren

Guten Abend,

ich habe eine Verständlichkeitslücke beim Berechnen von Randextrema einer reellwertigen Funktion zweier (mehrerer) Veränderlicher.

Angenommen der Definitionsbereich von f(x,y) wird von der x-Achse auf [0,3] berandet.
Dann finde ich im Netz, dass es ausreicht, y=0 zusetzen und die Extremstellen in x der Funktion f(x,0) zu berechnen.

Meiner Meinung nach ist das aber Blödsinn, denn wenn [mm] f'(x_{0},0)=0 [/mm] und zB. [mm] f''(x_{0},0)<0 [/mm] ist, [mm] x_{0}\in[0,3], [/mm] dann kann man noch nicht von einem Randmaximum sprechen, da die Funktion in y-Richtung doch wachsen kann?

Der Begriff "Randmaximum" meint doch nicht nur maximal bzgl. benachbarter Randpunkte, sondern maximal bzgl. aller Punkte im Def.Bereich in der Nähe, oder sehe ich das falsch?


Verwirrte Grüße

        
Bezug
Randextrema Verständnis: Frage (reagiert)
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 23:28 Di 13/06/2017
Author: Paivren

Ok, also ich glaube, ich sehe wieder klar.

Beim finden des globalen Maximums auf einer Menge, genügt es neben den lokalen Maxima, einfach den größten Funktionswert auf jedem Rand zu finden. Das hat aber mit Randmaxima nichts zu tun. Auf der Website, auf die ich mich bezogen habe, ging es darum, nicht um tatsächliche "Randmaxima".


Im Allgemeinen meint Randmaxima ja, wie ich Anfangs sagte, dass alle Punkte in der Nähe kleiner sind als dieser eine Punkt am Rand.

Und dann gibt es auch spezielle Randmaxima, die die gleichen Eigenschaften haben, wie lokale Maxima, nur eben am Rand liegen.

Habe ich meine Gedanken so richtig geordnet :)?

Wenn ja, wie kann ich Randmaxima berechnen?
Genügt es, auf dem Rand ein Maximum bzgl. der Rand-Richtung zu finden und zu zeigen, dass die Ableitung in die andere Richtung < 0 ist?

Bezug
        
Bezug
Randextrema Verständnis: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:40 Mi 14/06/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Meiner Meinung nach ist das aber Blödsinn, denn wenn
> [mm]f'(x_{0},0)=0[/mm] und zB. [mm]f''(x_{0},0)<0[/mm] ist, [mm]x_{0}\in[0,3],[/mm]
> dann kann man noch nicht von einem Randmaximum sprechen, da
> die Funktion in y-Richtung doch wachsen kann?

>

> Der Begriff "Randmaximum" meint doch nicht nur maximal
> bzgl. benachbarter Randpunkte, sondern maximal bzgl. aller
> Punkte im Def.Bereich in der Nähe, oder sehe ich das
> falsch?

Das siehst du richtig. Dein Irrtum besteht darin, die Extrema am Rand auf konventionelle Weise berechnen zu wollen, also insbesondere das Vorhandensein eines Vorzeichens in der zweiten Ableitung der Randfunktion an der fraglichen Stelle als hinreichende Bedingung zu werten.

Was man machen kann, ist an allen Stellen [mm] x_i [/mm] mit [mm] f'(x_i)=0 [/mm] den Gradienten zu betrachten. Zeigt er in das Gebiet hinein oder hinaus? Das beantwortet dann bspw. deine dahingehende Frage mit dem Randmaximum, welches natürlich nur existiert, wenn die Funktion nicht in y-Richtung wächst. Zeigt in diesem Fall der Gradient in das Gebiet hinein, so ist das nicht der Fall, die Funktion fällt steigt dann in y-Richtung und du hast kein Randmaximum gefunden. Zeigt der Gradient hinaus, dann ist es eines, ist er gleich Null, dann muss man wohl die Hessematrix befragen.

Schon in der Schule wird fälschlicherweise der Eindruck vermittelt, das Berechnen von Extrema wäre eine Art Automatismus, den man einfach nur herunterspulen muss. Das ist aber ein fataler Irrtum und an der Hochschule sollte man sich von diesem Irrtum möglichst rasch und nachhaltig verabschieden. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Randextrema Verständnis: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 14:21 Mi 14/06/2017
Author: Paivren

Hallo Diophant,

danke für die Antwort :)


Aber du hast dich, verschrieben, oder?
Wenn der Gradient in das Gebiet reinzeigt, dann sollte die Funktion in dieser Richtung zunehmen, also muss der Gradient aus dem Gebiet hinauszeigen, um da ein Maximum zu haben, oder?

Bezug
                        
Bezug
Randextrema Verständnis: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:10 Mi 14/06/2017
Author: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> danke für die Antwort :)

>
>

> Aber du hast dich, verschrieben, oder?

Ich würde es eher als Bodennebel bezeichnen...

> Wenn der Gradient in das Gebiet reinzeigt, dann sollte die
> Funktion in dieser Richtung zunehmen, also muss der
> Gradient aus dem Gebiet hinauszeigen, um da ein Maximum zu
> haben, oder?

Ja klar, da hast du Recht. Es ist also gerade anderherum als ich es vorhin gepostet hatte.

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Randextrema Verständnis: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:50 Fr 16/06/2017
Author: Paivren

Alles klar,

vielen Dank für die Klarstellung!

Gruß
Paivren

Bezug
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