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Randwertproblem: Randbedingungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Sa 22.10.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
Betrachten Sie die Differentialgleichung y''=y auf [0,1] zusammen mit den Randbedingungen [mm] y(0)=y_0 [/mm] und [mm] y(1)=y_1. [/mm] Für welche Paare [mm] (y_0,y_1) \in \IR [/mm] hat das entsprechende RWP eine Lösung? Für welche [mm] (y_0,y_1) [/mm] ist diese Lösung eindeutig?

Hallo zusammen!

Als gemeine Lösung haben wir in der vorherigen Teilaufgabe schon [mm] y=c_1e^x+c_2e^{-x} [/mm] raus. Dann haben wir die Randbedingungen eingesetzt und zwei Gleichungen aufgestellt:
(I)    [mm] c_1+c_2=y_0 [/mm]
(II)   [mm] c_1*e+c_2+e^{-1}=y_1 [/mm]

Nun fragen wir uns, ob man das Gleichungssystem nach [mm] y_0/y_1 [/mm] auflösen muss. Dann würde man ja irgendwelche Ergebnisse in Abhängigkeit von c erhalten, diese sind dann ja nicht eindeutig, oder?

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG Anil

        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 22.10.2016
Autor: Helbig

Guten Abend,
y0 und y1 ist gegeben. Und ihr muesst c1 und c2 bestimmen.

Bezug
                
Bezug
Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Sa 22.10.2016
Autor: anil_prim

Danke erstmal! Das heißt...

[mm] c_1=y_0-\bruch{y_1-y_0*e}{e^(-1) -e} [/mm] und [mm] c_2=\bruch{y_1-y_0*e}{e^(-1)-e} [/mm]
Stimmt das?

Und woher sieht man, dass die Lsg eindeutig ist? So ganz habe ich das nicht verstanden...





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Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Sa 22.10.2016
Autor: Helbig

Das rechne ich jetzt nicht nach :-).
Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem vor uns. Existenz und Eindeutigkeit folgt mit Mitteln der linearen Algebra.

Gruss,
Wolfgang

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Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Mo 24.10.2016
Autor: anil_prim

Okay, und was kann ich jetzt über das Lösungsverhalten aussagen?
Die Frage war ja, für welche [mm] y_0/y_1 [/mm] das RWP eine Lösung hat bzw. wann diese eindeutig ist...

Bezug
                                        
Bezug
Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mo 24.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Okay, und was kann ich jetzt über das Lösungsverhalten aussagen?

Das sollst du uns ja verraten!

> Die Frage war ja, für welche [mm]y_0/y_1[/mm] das RWP eine Lösung hat bzw. wann diese eindeutig ist...

Wo dir bereits ein Tipp gegeben wurde, wie das zu bestimmen ist.

Du hast ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten
Wann ist dieses

i) lösbar
ii) eindeutig lösbar
iii) nicht lösbar

Dir wurde bereits der Hinweis gegeben, dass dies lineare Algebra Grundwissen ist. In jedem Mathematikstudium wird das etwa in Woche 4 erläutert. Daher solltest du das nun selbst beantworten.

Gruß,
Gono


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