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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Randwertproblem dop. Eigenwert
Randwertproblem dop. Eigenwert < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Randwertproblem dop. Eigenwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mi 16.01.2013
Autor: Unknown-Person

Zu lösen ist folgendes Randwertproblem:

[mm] u''(x)+2cu'(x)+c^2u(x)=1 , c\in\IR[/mm]

[mm] u(0)=u(1)=0 [/mm]

Ich muss erstmal ein Fundamentalsystem vom homogenen Problem finden:

[mm] v''(x)+2cv'(x)+c^2v(x)=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow \lambda^2+2c\lambda +c^2=0 [/mm]

Quadratische Gleichung, Lösung (mit der bekannten pq-Formel):

[mm] \lambda_{1/2}=-c\pm \sqrt{c^2-c^2}=-c [/mm]

Wir haben also einen doppelten Eigenwert, aber wie sieht dazu das Fundamentalsystem aus? Bei Matrizen usw. kenne ich das ja, aber hier nicht.

Wäre -c nicht doppelt, würde ich für das Fundamentalsystem schreiben:

[mm] v_{1}(x)=e^{-cx} [/mm]

Danke für Hilfe! :)

        
Bezug
Randwertproblem dop. Eigenwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 Mi 16.01.2013
Autor: schachuzipus

Hallo unknown-person,


> Zu lösen ist folgendes Randwertproblem:
>  
> [mm]u''(x)+2cu'(x)+c^2u(x)=1 , c\in\IR[/mm]
>  
> [mm]u(0)=u(1)=0[/mm]
>  
> Ich muss erstmal ein Fundamentalsystem vom homogenen
> Problem finden:
>  
> [mm]v''(x)+2cv'(x)+c^2v(x)=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda^2+2c\lambda +c^2=0[/mm]
>  
> Quadratische Gleichung, Lösung (mit der bekannten
> pq-Formel):
>  
> [mm]\lambda_{1/2}=-c\pm \sqrt{c^2-c^2}=-c[/mm] [ok]
>  
> Wir haben also einen doppelten Eigenwert, aber wie sieht
> dazu das Fundamentalsystem aus? Bei Matrizen usw. kenne ich
> das ja, aber hier nicht.
>  
> Wäre -c nicht doppelt, würde ich für das
> Fundamentalsystem schreiben:
>  
> [mm]v_{1}(x)=e^{-cx}[/mm]

Als FS nimm [mm]\left\{e^{-cx},x\cdot{}e^{-cx}\right\}[/mm]

>  
> Danke für Hilfe! :)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Randwertproblem dop. Eigenwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 16.01.2013
Autor: Unknown-Person

Danke für die schnelle Antwort :)

Bezug
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