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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang
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Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Mi 19.10.2016
Autor: mimo1

Aufgabe
Seien A und B zwei n [mm] \times [/mm] n-Matrizen. Zeigen Sie, dass der Rang der Matrix

[mm] \pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 } [/mm]
gleich r(A)+r(B) ist

guten Abend,

Ich sitze vor diese aufgabe und eigentlich ist es klar, nur weiß ich nicht so recht wie ich es nachweisen soll. Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.

im 1. Eintrag ist nach Vorrausetzung A eine n [mm] \times [/mm] n- Matrix auch der 2. Eintrag in der 1. Spalte. damit haben wir für die 1. Spalte den Rang 2n  [mm] (2n\times [/mm] n- Matrix).
da durch Multiplikation von A und B Rang unverändert bleibt ist r(AB)=n und bei
[mm] B+B^2 [/mm] genauso. Damit ergibt sich für die 2. Spalte eine 2n [mm] \times [/mm] n-Matrix.

Damit haben wir eine 2n [mm] \time [/mm] 2n -Matrix mit dem Rang 2n und das ist dasselbe wie r(A)+r(B) (Spalten müssen lin. unabh sein)


Ist das richtig? Wie fange ich da am besten an? Ich bedanke mich schon  mal für eure Hilfe.

        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:50 Do 20.10.2016
Autor: fred97


> Seien A und B zwei n [mm]\times[/mm] n-Matrizen. Zeigen Sie, dass
> der Rang der Matrix
>
> [mm]\pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }[/mm]
> gleich r(A)+r(B) ist
>  guten Abend,
>  
> Ich sitze vor diese aufgabe und eigentlich ist es klar, nur
> weiß ich nicht so recht wie ich es nachweisen soll. Ich
> hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
>  
> im 1. Eintrag ist nach Vorrausetzung A eine n [mm]\times[/mm] n-
> Matrix auch der 2. Eintrag in der 1. Spalte. damit haben
> wir für die 1. Spalte den Rang 2n  [mm](2n\times[/mm] n- Matrix).

Nein. Das stimmt z.B. im Falle A=B nicht. Selbst wenn A invertierbar ist, was Du offenbar voraussetzt, ist das nicht richtig.


> da durch Multiplikation von A und B Rang unverändert
> bleibt ist r(AB)=n und bei
>  [mm]B+B^2[/mm] genauso. Damit ergibt sich für die 2. Spalte eine
> 2n [mm]\times[/mm] n-Matrix.
>  
> Damit haben wir eine 2n [mm]\time[/mm] 2n -Matrix mit dem Rang 2n
> und das ist dasselbe wie r(A)+r(B) (Spalten müssen lin.
> unabh sein)
>  
>
> Ist das richtig?

Nein.

Du gehst davon aus, dass A und B invertierbar sind. Hast Du vergessen, diese Voraussetzung zu nennen ?

Nehmen wir mal an, dass A und B invertierbar sind. Dann ist r(A)=r(B)=n, also r(A)+r(B)=2n.

Sei $C:= [mm] \pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 } [/mm] $

Zeige nun: [mm] $\dim [/mm] Kern(C)=0.$

Dann (Rangsatz !):

   $2n=r(C)+ [mm] \dim [/mm] Kern(C)=r(C)$

In diesem Fall sind wir fertig.

Kläre also , ob A und B tatsächlich als invertierbar vorausgesetzt sind

FRED

> Wie fange ich da am besten an? Ich bedanke
> mich schon  mal für eure Hilfe.


Bezug
                
Bezug
Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:26 Do 20.10.2016
Autor: tobit09

Hallo Fred!


> > Seien A und B zwei n [mm]\times[/mm] n-Matrizen. Zeigen Sie, dass
> > der Rang der Matrix
> >
> > [mm]\pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }[/mm]
> > gleich r(A)+r(B) ist
>  >  guten Abend,
>  >  
> > Ich sitze vor diese aufgabe und eigentlich ist es klar, nur
> > weiß ich nicht so recht wie ich es nachweisen soll. Ich
> > hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
>  >  
> > im 1. Eintrag ist nach Vorrausetzung A eine n [mm]\times[/mm] n-
> > Matrix auch der 2. Eintrag in der 1. Spalte. damit haben
> > wir für die 1. Spalte den Rang 2n  [mm](2n\times[/mm] n- Matrix).
>
> Nein. Das stimmt z.B. im Falle A=B nicht. Selbst wenn A
> invertierbar ist, was Du offenbar voraussetzt, ist das
> nicht richtig.

Man kann sogar mehr sagen: Die Matrix [mm] $\pmat{ A \\ B }$, [/mm] (die hier offenbar als "1. Spalte" bezeichnet wird) kann (im Falle [mm] $n\not=0$) [/mm] nie den Rang 2n haben, denn sie hat nur n Spalten und damit einen Rang [mm] $\le [/mm] n$.


> > da durch Multiplikation von A und B Rang unverändert
> > bleibt ist r(AB)=n und bei
>  >  [mm]B+B^2[/mm] genauso. Damit ergibt sich für die 2. Spalte
> eine
> > 2n [mm]\times[/mm] n-Matrix.
>  >  
> > Damit haben wir eine 2n [mm]\time[/mm] 2n -Matrix mit dem Rang 2n
> > und das ist dasselbe wie r(A)+r(B) (Spalten müssen lin.
> > unabh sein)
>  >  
> >
> > Ist das richtig?
>
> Nein.
>  
> Du gehst davon aus, dass A und B invertierbar sind. Hast Du
> vergessen, diese Voraussetzung zu nennen ?
>  
> Nehmen wir mal an, dass A und B invertierbar sind. Dann ist
> r(A)=r(B)=n, also r(A)+r(B)=2n.
>  
> Sei [mm]C:= \pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }[/mm]
>  
> Zeige nun: [mm]\dim Kern(C)=0.[/mm]
>  
> Dann (Rangsatz !):
>  
> [mm]2n=r(C)+ \dim Kern(C)=r(C)[/mm]
>  
> In diesem Fall sind wir fertig.
>  
> Kläre also , ob A und B tatsächlich als invertierbar
> vorausgesetzt sind

Die Behauptung gilt auch für nicht invertierbare Matrizen A und B.
(Allgemeiner kann A als [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix angenommen werden.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Rang: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:31 Do 20.10.2016
Autor: fred97


> Hallo Fred!
>  
>
> > > Seien A und B zwei n [mm]\times[/mm] n-Matrizen. Zeigen Sie, dass
> > > der Rang der Matrix
> > >
> > > [mm]\pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }[/mm]
> > > gleich r(A)+r(B) ist
>  >  >  guten Abend,
>  >  >  
> > > Ich sitze vor diese aufgabe und eigentlich ist es klar, nur
> > > weiß ich nicht so recht wie ich es nachweisen soll. Ich
> > > hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
>  >  >  
> > > im 1. Eintrag ist nach Vorrausetzung A eine n [mm]\times[/mm] n-
> > > Matrix auch der 2. Eintrag in der 1. Spalte. damit haben
> > > wir für die 1. Spalte den Rang 2n  [mm](2n\times[/mm] n- Matrix).
> >
> > Nein. Das stimmt z.B. im Falle A=B nicht. Selbst wenn A
> > invertierbar ist, was Du offenbar voraussetzt, ist das
> > nicht richtig.
>  Man kann sogar mehr sagen: Die Matrix [mm]\pmat{ A \\ B }[/mm],
> (die hier offenbar als "1. Spalte" bezeichnet wird) kann
> (im Falle [mm]n\not=0[/mm]) nie den Rang 2n haben, denn sie hat nur
> n Spalten und damit einen Rang [mm]\le n[/mm].
>  
>
> > > da durch Multiplikation von A und B Rang unverändert
> > > bleibt ist r(AB)=n und bei
>  >  >  [mm]B+B^2[/mm] genauso. Damit ergibt sich für die 2. Spalte
> > eine
> > > 2n [mm]\times[/mm] n-Matrix.
>  >  >  
> > > Damit haben wir eine 2n [mm]\time[/mm] 2n -Matrix mit dem Rang 2n
> > > und das ist dasselbe wie r(A)+r(B) (Spalten müssen lin.
> > > unabh sein)
>  >  >  
> > >
> > > Ist das richtig?
> >
> > Nein.
>  >  
> > Du gehst davon aus, dass A und B invertierbar sind. Hast Du
> > vergessen, diese Voraussetzung zu nennen ?
>  >  
> > Nehmen wir mal an, dass A und B invertierbar sind. Dann ist
> > r(A)=r(B)=n, also r(A)+r(B)=2n.
>  >  
> > Sei [mm]C:= \pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }[/mm]
>  >  
> > Zeige nun: [mm]\dim Kern(C)=0.[/mm]
>  >  
> > Dann (Rangsatz !):
>  >  
> > [mm]2n=r(C)+ \dim Kern(C)=r(C)[/mm]
>  >  
> > In diesem Fall sind wir fertig.
>  >  
> > Kläre also , ob A und B tatsächlich als invertierbar
> > vorausgesetzt sind

Hallo Tobias,


>  Die Behauptung gilt auch für nicht invertierbare Matrizen
> A und B.
>  (Allgemeiner kann A als [mm]m\times n[/mm]-Matrix angenommen
> werden.)

Das ist mir durchaus bekannt. Mir ging es darum, ob ich mich für den Fragesteller bei einer weiteren Hilfe mehr abstrampeln muss, als oben.

Gruß FRED

>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:04 Do 20.10.2016
Autor: tobit09

Hallo mimo1!


Ich habe den Eindruck, du verwechselst den Rang einer Matrix mit der Zeilenanzahl.


Eine mögliche Definition oder Charakterisierung des Ranges einer Matrix D ist r(D)=dim(im(D)), wobei im(D) das Bild von D bezeichne.


Ich weiß nicht, ob es auch einfacher geht, aber ein Lösungsweg ist der folgende:

1. Für unsere Matrix [mm] $C:=\pmat{ A & AB \\ B & B+B^2 }$ [/mm] lässt sich zeigen:

       [mm] $im(C)=\{\vektor{v\\w}\;|\;v\in im(A), w\in im(B)\}$. [/mm]

2. Daraus kann man mit geeigneten Argumenten die Behauptung (die sich in der Form dim(im(C))=dim(im(A))+dim(im(B)) schreiben lässt) folgern.


Zu 1.: Um im(C) zu bestimmen, drücke zunächst [mm] $C\cdot\vektor{x\\y}$ [/mm] für (Spalten-)Vektoren [mm] $x,y\in K^n$ [/mm] mithilfe von A und B aus.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Do 20.10.2016
Autor: fred97

Tipps:

1. Berchne mal

   $D:= [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }* \pmat{ E & 0 \\ E & E }* \pmat{ E & B \\ 0 & E } [/mm] $.

2. Begründe warum [mm] U:=\pmat{ E & 0 \\ E & E } [/mm] und  [mm] V:=\pmat{ E & B \\ 0 & E } [/mm] invertierbar sind.

3. Setze $W:= [mm] \pmat{ A & 0 \\ 0 & B }$ [/mm] (dann ist also $D=W*U*V$) und begründe warum

  $r(W)=r(D)$

ist.




Bezug
                
Bezug
Rang: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Do 20.10.2016
Autor: mimo1

nochmals vielen Dank für eure Anteilnahme an diese Aufgabe. Ich bin euch dafür sehr dankbar.

ich bin jetzt fred97's tipps nachgegangen:

zu 1) wenn man die Matrizen miteinander multipliziert erhält man die Matrix von der Aufgabe

2) U,V sind invertierbar da U und V eine untere bzw. obere Dreiecksmatrix sind und jeweils die Diagonaleinträge [mm] d_{i,i}\not=0 [/mm] mit i=1,...,n, (genauer [mm] d_{ii}=1 [/mm] mit i=1,...,n) d.h. [mm] det(U)\not=0 [/mm] und [mm] det(V)\not=0 [/mm]
daraus folgt, dass U, V invertierbar.

3) bei Multiplikation von Matrizen kann der Rang nur r(D) [mm] \le min\{r(W),r(U),r(V)\} [/mm] und da r(U) und r(V) max. Rang hat gilt r(D)=r(W)

stimmt es?


Bezug
                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Do 20.10.2016
Autor: fred97


> nochmals vielen Dank für eure Anteilnahme an diese
> Aufgabe. Ich bin euch dafür sehr dankbar.
>  
> ich bin jetzt fred97's tipps nachgegangen:
>  
> zu 1) wenn man die Matrizen miteinander multipliziert
> erhält man die Matrix von der Aufgabe
>  
> 2) U,V sind invertierbar da U und V eine untere bzw. obere
> Dreiecksmatrix sind und jeweils die Diagonaleinträge
> [mm]d_{i,i}\not=0[/mm] mit i=1,...,n, (genauer [mm]d_{ii}=1[/mm] mit
> i=1,...,n) d.h. [mm]det(U)\not=0[/mm] und [mm]det(V)\not=0[/mm]
> daraus folgt, dass U, V invertierbar.
>  
> 3) bei Multiplikation von Matrizen kann der Rang nur r(D)
> [mm]\le min\{r(W),r(U),r(V)\}[/mm] und da r(U) und r(V) max. Rang
> hat gilt r(D)=r(W)
>  
> stimmt es?

ja

fred

>  


Bezug
                        
Bezug
Rang: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:16 Fr 21.10.2016
Autor: tobit09

Bei 1) und 2) sehe ich es genau wie Fred: Alles korrekt. [ok]


Bei 3) habe ich den Eindruck, dass dir noch eine passende Begründung für $r(D)=r(W)$ fehlt:

> 3) bei Multiplikation von Matrizen kann der Rang nur r(D)
> [mm]\le min\{r(W),r(U),r(V)\}[/mm] und da r(U) und r(V) max. Rang
> hat gilt r(D)=r(W)

Wegen [mm] $r(D)\le min\{r(W),r(U),r(V)\}\le [/mm] r(W)$ hast du [mm] $r(D)\le [/mm] r(W)$ gezeigt (ohne die Invertierbarkeit von U und V zu benötigen).
Warum gilt nun auch [mm] $r(D)\ge [/mm] r(W)$? Hier benötigst du in der Tat die Invertierbarkeit von U und V.

Bezug
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