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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rang einer Matrix: Rangbestimmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Fr 10.07.2009
Autor: suburbian2

Aufgabe
Bestimme den Rang der Matrizen

[mm] A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] B=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]

C= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} [/mm]

Hi

Also ich habe das so verstanden:

Matix A: Hat eine Zeile (keine Zeilenumformungen möglich) und die ist nicht null, daher hat sie den Rang 1

Matrix B: Hat 4 Zeilen. Ohne Umformungen (falls das überhaupt möglich ist bei einspaltigen?!) 2 Nullzeilen -> bleiben 2 nichtnuller -> Rang 2. Wenn Umformungen möglich sind Rang 1 -> Zeile 3 mal 3 = -3 addiert zu Zeile 1

Matrix C: Hat erstmal keine Nullzeilen daher Rang 3. Ich habe versucht durch Zeilenumformungen eine Zeile zu Null zu machen habe es aber nicht geschafft, daher nehme ich an, dass der Rang 3 ist.

Im Papula habe ich jedoch gelesen, dass man (wenn man etwas mehr Aufwand betreibt) gucken kann, ob sich die Unterdeterminanten von Null unterscheiden. Wenn nicht dann kann der Rang max m-1 sein und wenn die nächstkleineren Unterdeterminanten auch alle null sind max. m-2. Genauso ist es doch bei der C Matrix die 3x3 unterdet. sind null und die 2x2 unterdet auch alle so wie ich das sehe. Heißt das der Rang ist 1?

lg

Metin

        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Bestimme den Rang der Matrizen
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]B=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> C= [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hi
>  
> Also ich habe das so verstanden:
>  
> Matix A: Hat eine Zeile (keine Zeilenumformungen möglich)
> und die ist nicht null, daher hat sie den Rang 1

Hallo,

wenn ich Lust hätte, könnte ich die Zeile durchaus mit 4711 multiplizieren, ohne ihren Rang zu verändern.
Aber du hast recht: der Rang ist =1.

(Rang: max Anzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten.)


> Matrix B: Hat 4 Zeilen. Ohne Umformungen (falls das
> überhaupt möglich ist bei einspaltigen?!) 2 Nullzeilen ->
> bleiben 2 nichtnuller -> Rang 2. Wenn Umformungen möglich
> sind Rang 1 -> Zeile 3 mal 3 = -3 addiert zu Zeile 1

Klar kannst Du hier Zeilenumformungen machen wie bei jeder anderen Matrix.
Die ZSF ist [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, [/mm] also Rang =1

Oder direkt über die Def: eine Spalte, die von Null verschieden ist ==> Rang=1.

>  
> Matrix C: Hat erstmal keine Nullzeilen daher Rang 3. Ich
> habe versucht durch Zeilenumformungen eine Zeile zu Null zu
> machen habe es aber nicht geschafft, daher nehme ich an,
> dass der Rang 3 ist.

Die Matrix ist bereits in ZSF. daher ist der Rang in der Tat =3.

(Oder: die drei Zeilen sind offensichtlich linear unabhängig ==> rang =3)

Was im Papula steht, müßte ich mal im Original sehen.
Wenn man den rang nicht gleich sieht, bekommt  man ihn normalerweise aus der ZSF.

Gruß v. Angela





>  
> Im Papula habe ich jedoch gelesen, dass man (wenn man etwas
> mehr Aufwand betreibt) gucken kann, ob sich die
> Unterdeterminanten von Null unterscheiden. Wenn nicht dann
> kann der Rang max m-1 sein und wenn die nächstkleineren
> Unterdeterminanten auch alle null sind max. m-2. Genauso
> ist es doch bei der C Matrix die 3x3 unterdet. sind null
> und die 2x2 unterdet auch alle so wie ich das sehe. Heißt
> das der Rang ist 1?
>  
> lg
>  
> Metin


Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Fr 10.07.2009
Autor: suburbian2

vorweg: was heißt die Abkürzung ZFS (sorry dumme Frage :-) )Zeilen....?

zu A: ah ok geht immer, trotzdem 1 verstehe

zu B: wie bekommst du c11 1 und Rest zu Null ich bekomme nur 0 0-1 0 ... was ja trotzdem Rang eins macht ... verstehe

zu C: dafür müsst ich eben wissen was ZFN heißt.

danke schonmal für turboschnelle Hilfe ;-) gehe mal eben einen Kaffee trinken dann wird weitergelernt.

lg

Metin

Bezug
                        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> vorweg: was heißt die Abkürzung ZFS (sorry dumme Frage
> :-) )Zeilen....?

Entschuldige. das soll "Zeilenstufenform" heißen.

> zu B: wie bekommst du c11 1 und Rest

???

$ [mm] B=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $

(1. Zeile  :3)

[mm] -->\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $

1. zur dritten addieren:

[mm] -->\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $


Gruß v. Angela

> zu Null ich bekomme
> nur 0 0-1 0 ... was ja trotzdem Rang eins macht ...
> verstehe
>  
> zu C: dafür müsst ich eben wissen was ZFN heißt.
>  
> danke schonmal für turboschnelle Hilfe ;-) gehe mal eben
> einen Kaffee trinken dann wird weitergelernt.
>  
> lg
>  
> Metin


Bezug
                                
Bezug
Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Fr 10.07.2009
Autor: suburbian2

Hi

Ok letzte Frage.
Also unter ZSF kann ich mir was vorstellen. Ist das selbe wie Trapezform oder?

Ich wollte erst fragen, warum du sagst die Matrix wäre schon in dem Format aber ich erkläre mir das so, dass alles unterhalb der Hauptdiagonalen null sein muss und das ist hier ja der Fall (ausgehend davon, dass die hauptdiag. von -1 über 2 bis null geht). Heißt das, sobald ich ZSF/TrapezF kann ich den Rang sofort ablesen? Jenachdem ob eine der Zeilen bei der Umformung komplett null wurde oder nicht. In diesem Fall halt nicht?!

grüße

Metin

Bezug
                                        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Fr 10.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Hi
>  
> Ok letzte Frage.
> Also unter ZSF kann ich mir was vorstellen. Ist das selbe
> wie Trapezform oder?

Hallo,

ja.

> Heißt das, sobald ich
> ZSF/TrapezF kann ich den Rang sofort ablesen?

Ja. Du zählst dann einfach ab, wieviele Nichtnullzeilen Deine Matrix hat.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                
Bezug
Rang einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:07 Fr 10.07.2009
Autor: suburbian2

Ok Frage geklärt danke für die Hilfe,

mfG

Metin

Bezug
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