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Rang mit char. Pol. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 So 13.07.2014
Autor: Avinu

Aufgabe
Sei A [mm] \in \IR^{3 \times 3} [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] \nu [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] + 2x. Was ist der Rang von A? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Hallo zusammen,

zuerst hatte ich daran gedacht, dass der Rang zweier ähnlicher Matrizen identisch ist. Wenn nun A diagonalisierbar wäre, dann wäre es ähnlich zur entsprechenden Diagonalmatrix. Diese hat ja genau ihre Eigenwerte auf der Diagonalen. Auch hat sie die gleichen Eigenwerte wie A und die hätte ich ja berechnen können.
Nun ist A aber ja nicht diagonalisierbar, da das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt. Die Eigenwerte sind [mm] EW_A [/mm] = {0, 1} mit [mm] m_A(0) [/mm] = 1 und [mm] m_A(1) [/mm] = 2.

Nach etwas suchen habe ich im Internet die Behauptung gefunden, dass der Rang einer Matrix B gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte sei. Warum das so ist, leuchtet mir aber noch nicht so recht ein. Wenn ich mir diagonalisierbare Matrizen anschaue, und diese haben Null als Eigenwert, dann hat die Diagonalmatrix ja entsprechend Nullspalten. Dann wäre der Rang der Diagonalmatrix genau der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte, wobei hier mehrfache Eigenwerte auch mehrfach gezählt werden müssten.

Sind meine Überlegungen soweit korrekt? Warum ist der Rang einer Matrix gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte? Ist das auch der richtige/einfachste Ansatz zur Lösung meiner Aufgabe?

Vielen Dank für 's Lesen und viele Grüße,
Avinu

        
Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 So 13.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Sei A [mm]\in \IR^{3 \times 3}[/mm] mit charakteristischem Polynom
> [mm]\nu[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 2x. Was ist der Rang von A? Beweisen Sie
> Ihre Aussage.
>  Hallo zusammen,
>  
> zuerst hatte ich daran gedacht, dass der Rang zweier
> ähnlicher Matrizen identisch ist. Wenn nun A
> diagonalisierbar wäre, dann wäre es ähnlich zur
> entsprechenden Diagonalmatrix. Diese hat ja genau ihre
> Eigenwerte auf der Diagonalen. Auch hat sie die gleichen
> Eigenwerte wie A und die hätte ich ja berechnen können.

Richtig.

>  Nun ist A aber ja nicht diagonalisierbar, da das
> charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren
> zerfällt.

Wie kommst du zu diesem Schluß?

> Die Eigenwerte sind [mm]EW_A[/mm] = {0, 1} mit [mm]m_A(0)[/mm] = 1
> und [mm]m_A(1)[/mm] = 2.
>  
> Nach etwas suchen habe ich im Internet die Behauptung
> gefunden, dass der Rang einer Matrix B gleich der Anzahl
> der von Null verschiedenen Eigenwerte sei. Warum das so
> ist, leuchtet mir aber noch nicht so recht ein.

Das ist richtig für diagonalisierbare Matrizen; für alle anderen ist die Aussage falsch.
Und was leuchtet dir an deiner eigenen Begründung (die hier drunter) denn nicht ein?

> Wenn ich
> mir diagonalisierbare Matrizen anschaue, und diese haben
> Null als Eigenwert, dann hat die Diagonalmatrix ja
> entsprechend Nullspalten. Dann wäre der Rang der
> Diagonalmatrix genau der Anzahl der von Null verschiedenen
> Eigenwerte, wobei hier mehrfache Eigenwerte auch mehrfach
> gezählt werden müssten.
>  
> Sind meine Überlegungen soweit korrekt? Warum ist der Rang
> einer Matrix gleich der Anzahl der von Null verschiedenen
> Eigenwerte? Ist das auch der richtige/einfachste Ansatz zur
> Lösung meiner Aufgabe?
>  
> Vielen Dank für 's Lesen und viele Grüße,
>  Avinu


Bezug
                
Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Hallo,

> Wie kommst du zu diesem Schluß?

Ich konnte keine Linearfaktoren finden, in die das Polynom zerfällt. Das lag aber daran, dass ich einen Flüchtigkeitsfehler gemacht und 2 als NS des Polynoms übersehen hatte. Nun müsste es ja in x * (x - 1) * (x - 2) zerfallen.

> Das ist richtig für diagonalisierbare Matrizen; für alle
> anderen ist die Aussage falsch.
>  Und was leuchtet dir an deiner eigenen Begründung (die
> hier drunter) denn nicht ein?

Ok, das stand nicht dabei, sodass ich zunächst davon ausging, dass das für alle Matrizen gilt. Das es für diagonalisierbare Matrizen gilt würde ich mir dann über meine Erklärung herleiten.

Vielen Dank für deine Antwort.

Viele Grüße,
Avinu

Bezug
                
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Rang mit char. Pol. bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:13 Mo 14.07.2014
Autor: felixf

Moin,

eine kleine Spitzfindigkeit:

> > Nach etwas suchen habe ich im Internet die Behauptung
> > gefunden, dass der Rang einer Matrix B gleich der Anzahl
> > der von Null verschiedenen Eigenwerte sei. Warum das so
> > ist, leuchtet mir aber noch nicht so recht ein.
>
> Das ist richtig für diagonalisierbare Matrizen; für alle
> anderen ist die Aussage falsch.

Du musst hier ein "im Allgemeinen" einfuegen, ansonsten ist deine Aussage auch falsch, siehe etwa die nicht-diagonalisierbare Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$, [/mm] welche Rang 1 hat.

LG Felix



Bezug
        
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Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 So 13.07.2014
Autor: fred97


> Sei A [mm]\in \IR^{3 \times 3}[/mm] mit charakteristischem Polynom
> [mm]\nu[/mm] = [mm]x^3[/mm] - [mm]3x^2[/mm] + 2x. Was ist der Rang von A? Beweisen Sie
> Ihre Aussage.
>  Hallo zusammen,
>  
> zuerst hatte ich daran gedacht, dass der Rang zweier
> ähnlicher Matrizen identisch ist. Wenn nun A
> diagonalisierbar wäre, dann wäre es ähnlich zur
> entsprechenden Diagonalmatrix. Diese hat ja genau ihre
> Eigenwerte auf der Diagonalen. Auch hat sie die gleichen
> Eigenwerte wie A und die hätte ich ja berechnen können.
>  Nun ist A aber ja nicht diagonalisierbar, da das
> charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren
> zerfällt. Die Eigenwerte sind [mm]EW_A[/mm] = {0, 1} mit [mm]m_A(0)[/mm] = 1
> und [mm]m_A(1)[/mm] = 2.


A hat die Eigenwerte 0,1 und 2

Dann ist dim Kern(A)=?

FRED

>  
> Nach etwas suchen habe ich im Internet die Behauptung
> gefunden, dass der Rang einer Matrix B gleich der Anzahl
> der von Null verschiedenen Eigenwerte sei. Warum das so
> ist, leuchtet mir aber noch nicht so recht ein. Wenn ich
> mir diagonalisierbare Matrizen anschaue, und diese haben
> Null als Eigenwert, dann hat die Diagonalmatrix ja
> entsprechend Nullspalten. Dann wäre der Rang der
> Diagonalmatrix genau der Anzahl der von Null verschiedenen
> Eigenwerte, wobei hier mehrfache Eigenwerte auch mehrfach
> gezählt werden müssten.
>  
> Sind meine Überlegungen soweit korrekt? Warum ist der Rang
> einer Matrix gleich der Anzahl der von Null verschiedenen
> Eigenwerte? Ist das auch der richtige/einfachste Ansatz zur
> Lösung meiner Aufgabe?
>  
> Vielen Dank für 's Lesen und viele Grüße,
>  Avinu


Bezug
                
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Rang mit char. Pol. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Hallo,

> A hat die Eigenwerte 0,1 und 2

Uuups, ja das stimmt natürlich.

  

> Dann ist dim Kern(A)=?

Das kann ich leider nicht beantworten. Ich weiß im Moment nicht, wie der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten und Rang/Kern ist.
Da 0 ein Eigenwert von A ist, ist det A = 0 :) Aber das hilft mir ja auch nicht weiter. Außerdem müsste ja der Kern von A identisch sein mit dem Eigenraum zum Eigenwert 0. Aber um den zu bestimmen bräuchte ich A.

Vielen Dank für deine Antwort.

Viele Grüße,
Avinu

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Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Mo 14.07.2014
Autor: fred97

3 verschiedene Eigenwerte ! Welche Dimensionen haben dann die zugeh. Eigenräume ?

Rangsatz !!

FRED

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Rang mit char. Pol. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Es tut mir Leid Fred, aber ich sehe den Zusammenhang zwischen (Anzahl der) Eigenwerte und Dimension der Eigenräume (noch) nicht. Ich kann sie mir aus unserer Definition der Eigenräume im Moment auch nicht herleiten.

Wobei...sie muss ja immer mindestens 1 sein und kann nie größer sein, als die algebraische Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes. Die ist hier ja für jeden Eigenwert 1. Also ist die Dimension aller drei Eigenräume gleich 1.

Wie gesagt müsst ja der Eigenraum zum Eigenwert 0 identisch sein mit dem Kern von A. Also ist auch dim(Kern(A)) = 1. dann ist aber nach Rangsatz rk(A) = 9 - 1 = 8. Das widerspricht aber ja der Behauptung, dass der Rang einer diagonalisierbaren Matrix gleich der Anzahl der von Null verschiedenen Eigenwerte ist. Denn danach müsste der Rang von A ja 2 sein.
Auf der anderen Seite ist ja die Dimension eines Eigenraums einer n [mm] \times [/mm] n Matrix B gleich n - rk(B - [mm] aE_n). [/mm] In meinem Falle mit Eigenwert 0 also 1 = 3 - rk(A) und damit rk(A) = 2.

Wo ist mein Denkfehler, sodass ich oben auf rk(A) = 8 komme?

Viele Grüße,
Avinu

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Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mo 14.07.2014
Autor: angela.h.b.


> Zusammenhang
> zwischen (Anzahl der) Eigenwerte und Dimension der
> Eigenräume][...]

Hallo,

Du hast eie [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix mit 3 verschiedenen Eigenwerten.

> Wobei...sie muss ja immer mindestens 1 sein und kann nie
> größer sein, als die algebraische Vielfachheit des
> jeweiligen Eigenwertes. Die ist hier ja für jeden
> Eigenwert 1. Also ist die Dimension aller drei Eigenräume
> gleich 1.

Genau.

>

> Wie gesagt müsst ja der Eigenraum zum Eigenwert 0
> identisch sein mit dem Kern von A. Also ist auch
> dim(Kern(A)) = 1.

Ja.


> dann ist aber nach Rangsatz rk(A) = 9 - 1
> = 8.

Nein!!!

[mm] rk(A)=\green{3}-1=2. [/mm]

Es ist doch [mm] f_A:\IR^{\green{3}}\to \IR^3. [/mm]

Dein Fehler: die Abbildung [mm] f_A [/mm] mit [mm] f_A(x)=Ax [/mm] bildet aus dem [mm] \IR^3 [/mm] heraus ab, was für den Rangsatz wesentlich  ist.

Daß der Raum der [mm] 3\times [/mm] 3-Matrizen ein VR der Dimension 9 ist, hat mit dem Rangsatz gar nichts zu tun.

LG Angela

 

Bezug
                                                
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Rang mit char. Pol. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Oh mann :(

Aber danke, Angela, für das Aufzeigen meines Fehlers.

Eine letzte Frage habe ich zu der Aufgabe allerdings noch. Wenn jetzt Null kein Eigenwert gewesen wäre, hätte man die Aufgabe dann trotzdem lösen können? Die Lösung nutzt ja jetzt aus, dass Kern und Eigenraum zum Eigenwert 0 identisch sind.

Viele Grüße,
Avinu

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Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 14.07.2014
Autor: angela.h.b.


> Eine letzte Frage habe ich zu der Aufgabe allerdings noch.
> Wenn jetzt Null kein Eigenwert gewesen wäre, hätte man
> die Aufgabe dann trotzdem lösen können?

Hallo,

wenn Du 3 verschiedene Eigenwerte hättest, die jeweils [mm] \not=0 [/mm] sind, dann wüßtest Du, daß die Matrix diagonalisierbar ist, und weil auf der Diagonalen keine 0 wäre, hättest Du rang(A)=3.

LG Angela

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Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Danke für deine Antwort, Angela.

Ja, das leuchtet mir für diagonalisierbare Matrizen ein. Aber heißt das dann, dass ich für eine nicht diagonalisierbare Matrix ohne Eigenwert 0 keine Aussage über deren Rang mehr treffen kann, wenn ich nur das charakteristische Polynom kenne?

Viele Grüße,
Avinu

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Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 Mo 14.07.2014
Autor: MaslanyFanclub


> Danke für deine Antwort, Angela.
>  
> Ja, das leuchtet mir für diagonalisierbare Matrizen ein.
> Aber heißt das dann, dass ich für eine nicht
> diagonalisierbare Matrix ohne Eigenwert 0 keine Aussage
> über deren Rang mehr treffen kann, wenn ich nur das
> charakteristische Polynom kenne?

Jede Matrix(über einem Körper) ohne Eigenwert 0 hat vollen Rang.
Für nicht diagonalisierbare Matrizen lässt sich an Hand des char. Polynoms keine genaue Aussage über den rang treffen, z.B. haben die Matrizen [mm] $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0\end{pmatrix}$ [/mm] und [mm] $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0\end{pmatrix}$ [/mm] beide des char. Polynom [mm] $x^2$ [/mm] aber verschiedenen Rang.

> Viele Grüße,
>  Avinu


Bezug
                                                                                
Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:16 Mo 14.07.2014
Autor: Avinu

Vielen Dank!

Bezug
                                                                                
Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:50 Di 15.07.2014
Autor: felixf

Moin!

>  Für nicht diagonalisierbare Matrizen lässt sich an Hand
> des char. Polynoms keine genaue Aussage über den rang
> treffen, z.B. haben die Matrizen [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0\end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0\end{pmatrix}[/mm] beide des
> char. Polynom [mm]x^2[/mm] aber verschiedenen Rang.

Einzige Ausnahme: ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 genau 1, so ist der Rang $n - 1$ (falls es eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix ist).

LG Felix


Bezug
                                                                        
Bezug
Rang mit char. Pol. bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Di 15.07.2014
Autor: fred97


> Danke für deine Antwort, Angela.
>  
> Ja, das leuchtet mir für diagonalisierbare Matrizen ein.
> Aber heißt das dann, dass ich für eine nicht
> diagonalisierbare Matrix ohne Eigenwert 0 keine Aussage
> über deren Rang mehr treffen kann,

Das hat mit Diagonaliserbarkeit überhaupt nichts zu tun !

Ist V ein eindlichdim. Vektorraum und f:V [mm] \to [/mm] V linear, so gilt:

    f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] f ist surjektiv.

Denn: nach dem Rangsatz ist

    [mm] $\dim [/mm] V = [mm] \dim [/mm] kern(f)+ [mm] \dim [/mm] bild(f)$

Ist also 0 kein Eigenwert von f, so ist  [mm] \dim [/mm] kern(f)=0, also

    
  $ [mm] \dim [/mm] bild(f)= [mm] \dim [/mm] V$

f hat also vollen Rang.

FRED



>  wenn ich nur das
> charakteristische Polynom kenne?
>  
> Viele Grüße,
>  Avinu


Bezug
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