Rationale kanonische Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:16 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 }\in M_{3}(\IC)
[/mm]
1) Man bestimme eine rationale kanonische Form und eine Jordansche Normalform von A.
2) Man gebe eine Matrix Q [mm] \in GL_{3}(IC) [/mm] an, so dass [mm] Q^{-1}AQ [/mm] eine Jordansche Normalform von A ist. |
Hallo liebe Leute,
ich komme mit der Aufgabe nicht weiter, da char. Polynom = [mm] X^3 [/mm] ist, wie berechne ich dann die Jordanische Normalform?
Für rationale kanonische Form habe ich die Matrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}.
[/mm]
Was wäre dann die JNF?
Um jede Hilfe werde ich mich freuen,
schöne Grüße
Gina
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Hallo Gina2013,
> Sei A= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 }\in M_{3}(\IC)[/mm]
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> 1) Man bestimme eine rationale kanonische Form und eine
> Jordansche Normalform von A.
> 2) Man gebe eine Matrix Q [mm]\in GL_{3}(IC)[/mm] an, so dass
> [mm]Q^{-1}AQ[/mm] eine Jordansche Normalform von A ist.
> Hallo liebe Leute,
> ich komme mit der Aufgabe nicht weiter, da char. Polynom =
> [mm]X^3[/mm] ist, wie berechne ich dann die Jordanische Normalform?
> Für rationale kanonische Form habe ich die Matrix:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}.[/mm]
> Was wäre
> dann die JNF?
Berechne hier zunächst den Kern von A.
Gibt es hier nicht genügend Eigenvektoren,
so ist Kern([mm]A^{2}[/mm]) zu berechnen.
Daraus ergibt sich dann eine Basis
um die JNF zu berechnen.
> Um jede Hilfe werde ich mich freuen,
> schöne Grüße
> Gina
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Fr 18.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Ker von [mm] A^1 [/mm] wäre [mm] {\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} }.
[/mm]
und [mm] A^2 [/mm] ist ja Nullmatrix.
Daraus ergibt sich, dass JNF 1 Block der Länge 1 und 1 Block der Länge 2 hat, da [mm] l_{1}=(2*2-0-3)/1=1
[/mm]
[mm] l_{2}=(2*3-2-3)/1=1
[/mm]
Daraus folgt die JNF: [mm] \pmat{ X & 1 & 0 \\ 0 & X & 0 \\ 0 & 0 & X }, [/mm] wobei X=0 ist.
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Hallo Gina2013,
> Ker von [mm]A^1[/mm] wäre [mm]{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} }.[/mm]
>
> und [mm]A^2[/mm] ist ja Nullmatrix.
> Daraus ergibt sich, dass JNF 1 Block der Länge 1 und 1
> Block der Länge 2 hat, da [mm]l_{1}=(2*2-0-3)/1=1[/mm]
> [mm]l_{2}=(2*3-2-3)/1=1[/mm]
> Daraus folgt die JNF: [mm]\pmat{ X & 1 & 0 \\ 0 & X & 0 \\ 0 & 0 & X },[/mm]
> wobei X=0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Thanks, und wäre die rationale kanonische Form auch richtig?
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Hallo Gina2013,
> Thanks, und wäre die rationale kanonische Form auch
> richtig?
Das weiss ich nicht.
Mit Hilfe der Invariantenfaktoren erhältst Du die Begleitmatrizen.
Aus diesen wiederum baut sich die rationale kanonische Form auf.
Wie man allerdings auf die Invariantenfaktoren kommt,
ist mir schleierhaft.
Am besten Du schaust in Dein Skript.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 20.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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