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Raum H_0^1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Mo 04.04.2016
Autor: moerni

Hallo,

Ich habe eine Verständnisfrage. Es geht um den Sobolevraum [mm] H^1 [/mm] bzw. um [mm] H_0^1. [/mm]
Sei [mm] H^1(\Omega) [/mm] der übliche Sobolevraum der [mm] L^2 [/mm] Funktionen mit schwacher Ableitung in [mm] L^2 [/mm] und dem Skalarprodukt [mm] \langle [/mm] f,g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_{\Omega} \nabla [/mm] f [mm] \cdot \nabla [/mm] g + f [mm] \cdot [/mm] g dx.

[mm] H_0^1 [/mm] = [mm] \{ f \in H^1(\Omega) : \int_{\partial \Omega} f = 0 \} \subset H^1(\Omega), [/mm] dicht

Kann man [mm] H^1(\Omega) [/mm] aufteilen in: [mm] H^1(\Omega) [/mm] = [mm] H_0^1(\Omega) \oplus H_0^1(\Omega)^\perp [/mm] ?

Über jeden Hilfe bin ich sehr dankbar.

LG

        
Bezug
Raum H_0^1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mo 04.04.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich habe eine Verständnisfrage. Es geht um den Sobolevraum
> [mm]H^1[/mm] bzw. um [mm]H_0^1.[/mm]
>  Sei [mm]H^1(\Omega)[/mm] der übliche Sobolevraum der [mm]L^2[/mm]
> Funktionen mit schwacher Ableitung in [mm]L^2[/mm] und dem
> Skalarprodukt [mm]\langle[/mm] f,g [mm]\rangle[/mm] = [mm]\int_{\Omega} \nabla[/mm] f
> [mm]\cdot \nabla[/mm] g + f [mm]\cdot[/mm] g dx.
>  
> [mm]H_0^1[/mm] = [mm]\{ f \in H^1(\Omega) : \int_{\partial \Omega} f = 0 \} \subset H^1(\Omega),[/mm]
> dicht
>  
> Kann man [mm]H^1(\Omega)[/mm] aufteilen in: [mm]H^1(\Omega)[/mm] =
> [mm]H_0^1(\Omega) \oplus H_0^1(\Omega)^\perp[/mm] ?

Ja, denn [mm] H_0^1(\Omega) [/mm] ist ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes  [mm]H^1(\Omega)[/mm].

FRED


>  
> Über jeden Hilfe bin ich sehr dankbar.
>  
> LG


Bezug
                
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Raum H_0^1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Mo 04.04.2016
Autor: moerni

Hallo FRED,

Erstmal Danke für deine Antwort.

Ok, also [mm] H^1(\Omega) [/mm] kann ich zerteilen in [mm] H^1(\Omega) [/mm] = [mm] H_0^1(\Omega) \oplus H_0^1(\Omega)^\perp. [/mm]

Jetzt betrachte ich die Funktion f(x) = 1. Offensichtlich ist f [mm] \not \in H_0^1(\Omega). [/mm] Dann muss also f [mm] \in H_0^1(\Omega)^\perp [/mm] sein (wegen obiger Zerlegung). Das würde bedeuten, dass für alle v [mm] \in H_0^1(\Omega) [/mm] gilt: [mm] \langle [/mm] v, f [mm] \rangle [/mm] = 0, dh. [mm] \int_\Omega \nabla [/mm] v [mm] \cdot \nabla [/mm] f + v [mm] \cdot [/mm] f dx = 0 ist. Der erste Summand ist tatsächlich null, aber es gilt ja nicht für alle v [mm] \in H_0^1(\Omega), [/mm] dass [mm] \int_\Omega [/mm] v [mm] \cdot [/mm] f dx = [mm] \int_\Omega [/mm] v dx = 0 ist. Wo liegt mein Denkfehler?

Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar,
LG

Bezug
                        
Bezug
Raum H_0^1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 04.04.2016
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  
> Erstmal Danke für deine Antwort.
>  
> Ok, also [mm]H^1(\Omega)[/mm] kann ich zerteilen in [mm]H^1(\Omega)[/mm] =
> [mm]H_0^1(\Omega) \oplus H_0^1(\Omega)^\perp.[/mm]
>  
> Jetzt betrachte ich die Funktion f(x) = 1. Offensichtlich
> ist f [mm]\not \in H_0^1(\Omega).[/mm]



>  Dann muss also f [mm]\in H_0^1(\Omega)^\perp[/mm]
> sein (wegen obiger Zerlegung).

Hoppla ! Das stimmt aber nicht !

Machst Du das im [mm] \IR^2 [/mm] auch so ? Dort ist

  [mm] $\IR^2=\{(x,0): x \in \IR\} \oplus \{(0,t): t \in \IR\}$ [/mm]

Nach moerni haben wir die folgenden Implikationen:

  $(1,1) [mm] \notin \{(x,0): x \in \IR\} \Rightarrow [/mm] (1,1) [mm] \in \{(t,0): t \in \IR\} \Rightarrow [/mm] 1=0$.

Puhh !





Die Zerlegung $ [mm] H^1(\Omega) [/mm] $ = $ [mm] H_0^1(\Omega) \oplus H_0^1(\Omega)^\perp [/mm] $ bedeutet:

  zu jedem $f [mm] \in H^1(\Omega)$ [/mm] gibt es eindeutig bestimmte $g [mm] \in H_0^1(\Omega) [/mm] $ und $ h [mm] \in H_0^1(\Omega)^\perp$ [/mm] mit f=g+h.


FRED

> Das würde bedeuten, dass
> für alle v [mm]\in H_0^1(\Omega)[/mm] gilt: [mm]\langle[/mm] v, f [mm]\rangle[/mm] =
> 0, dh. [mm]\int_\Omega \nabla[/mm] v [mm]\cdot \nabla[/mm] f + v [mm]\cdot[/mm] f dx =
> 0 ist. Der erste Summand ist tatsächlich null, aber es
> gilt ja nicht für alle v [mm]\in H_0^1(\Omega),[/mm] dass
> [mm]\int_\Omega[/mm] v [mm]\cdot[/mm] f dx = [mm]\int_\Omega[/mm] v dx = 0 ist. Wo
> liegt mein Denkfehler?
>  
> Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar,
>  LG  


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Raum H_0^1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:02 Mo 04.04.2016
Autor: moerni

Aaahh! Tausend Dank, lieber FRED!! Jetzt ists klar :-D

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