Raum der beschränkten Folgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | Sei [mm] l_{\infty} [/mm] der Raum aller beschränkten Folgen.
(i)
Prüfen Sie, ob die Folge [mm] x=(x_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] x^{n}_{i} [/mm] = [mm] \delta_{in} [/mm] für alle i und n [mm] \in \IN [/mm] beschränkt ist. Besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge? Geben sie entweder eine an, oder erklären sie warum dies nicht funktioniert. Warum ist dies kein Widerspruch zu Bolzano-Weierstraß?
(ii)
Ist [mm] \overline{B(0,1)} [/mm] in [mm] l_{\infty} [/mm] beschränkt und abgeschlossen? Zeigen Sie, dass [mm] \overline{B(0,1)} [/mm] in [mm] l_{\infty} [/mm] nicht kompakt ist. Warum ist dies kein Widerspruch zu Heine-Borel?
(iii)
Finden sie ein Beispiel für eine kompakte Teilmenge des [mm] l_{\infty}.
[/mm]
(iv)
Finden sie ein Beispiel für eine beschränkte Folge in C[0,1], welche keine konvergente Teilfolge besitzt. (Hierbei sei C[0,1] der Raum der auf dem Intervall [0,1] stetigen Funktionen.) |
Ich sitze seit einiger Zeit an dieser Aufgabe und habe sie leider wohl immer noch nicht ganz verstanden. Ich hab' die ganzen Definitionen noch nicht so gut drauf, da ich die letzten Wochen krank war und würde mich sehr über jede Hilfestellung freuen. Also schon mal im Voraus Entschuldigung für meine komischen Fragen.
Zu (i):
Ich verstehe die Formulierung mit den zwei Indizes nicht. Handelt es sich hierbei um Teilfolgen? Wenn ja, wie stelle ich mir eine durch das Kronecker-Delta beschriebene Teilfolge vor. Ich vermute, dass sie beschränkt ist, weiß aber nicht wie ich das zeigen könnte.
Zu (ii)
Kann ich das auf den Satz: "Für eine Teilmenge Y eines metrischen Raumes X gilt: [mm] Y\cup\partial [/mm] Y ist abgeschlossen" zurückführen? Beim zweiten Teil weiß ich nur, dass ich zeigen muss, dass es keine endliche Überdeckung gibt. Aber wie habe ich leider keine Ahnung...
Zu (iii) und (iv)
Fällt mir leider nichts ein. Bis auf das C[0,1] ein Spezialfall von [mm] l_{\infty} [/mm] ist.
Hoffe ich habe, die Frage verständlich gestellt.
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Di 06.06.2006 | | Autor: | choosy |
> Sei [mm]l_{\infty}[/mm] der Raum aller beschränkten Folgen.
>
> (i)
> Prüfen Sie, ob die Folge [mm]x=(x_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit
> [mm]x^{n}_{i}[/mm] = [mm]\delta_{in}[/mm] für alle i und n [mm]\in \IN[/mm] beschränkt
> ist. Besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge? Geben
> sie entweder eine an, oder erklären sie warum dies nicht
> funktioniert. Warum ist dies kein Widerspruch zu
> Bolzano-Weierstraß?
ich denke mal das x eine Folge in [mm] $l_\infty$ [/mm] ist und kein element gell?
dann macht das ganze nämlich sinn (sollte man schon angeben)
dann wäre [mm] $x_i$ [/mm] einfach die folge [mm] $(\delta_{i,j})_{j\in\IN}$.
[/mm]
du kannst das so sehen das
[mm] x_i [/mm] einfach der i-te einheitsverktor ist (natürlich ein unendlich langer)
der obere index in deiner schreibweise indiziert dann einfach die einträgen in diesem vektor.
(die schreibweise [mm] $\delta_{i,j}$ [/mm] ist nur ein kurzer ausdruck für
1, falls i=j, 0 sonst...heisst kronecker delta)
die folge ist übrigens beschränkt (norm 1) allerdings nicht konvergent (nichtmal cauchy...der abstand von 2 bel folgegliedern ist [mm] $\sqrt{2}$)
[/mm]
das liegt daran das der VR unendlichdim. ist.
>
> (ii)
> Ist [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] in [mm]l_{\infty}[/mm] beschränkt und
> abgeschlossen? Zeigen Sie, dass [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] in
> [mm]l_{\infty}[/mm] nicht kompakt ist. Warum ist dies kein
> Widerspruch zu Heine-Borel?
beschränkt isses, und wenn ich den abschluss nehme auch abgeschlossen...
für die kompaktheit, versuchs mit den offenen kugeln mit radius 1.1 um die einheitsvektoren...(die folgeglieder aus aufgabe 1)
>
> (iii)
> Finden sie ein Beispiel für eine kompakte Teilmenge des
> [mm]l_{\infty}.[/mm]
keine weiteren anforderungen? der machts euch aber leicht:
wähle [mm] $\{(0)_{i\in\IN}\}\subset l_\infty$ [/mm] sprich nur die nullfolge
>
> (iv)
> Finden sie ein Beispiel für eine beschränkte Folge in
> C[0,1], welche keine konvergente Teilfolge besitzt.
> (Hierbei sei C[0,1] der Raum der auf dem Intervall [0,1]
> stetigen Funktionen.)
ihr betrachtet die stetigen wohl mit der supremums, oder auch maximumsnorm oder?
versuch einfach die folge der monome: [mm] 1,X,X^2,X^3,...
[/mm]
haben auf [0,1] alle norm 1 sprich beschränkt, ist aber in C[0,1] nicht konvergent, alle teilfolgen sind auch nicht kgt in C[0,1]...
> Ich sitze seit einiger Zeit an dieser Aufgabe und habe sie
> leider wohl immer noch nicht ganz verstanden. Ich hab' die
> ganzen Definitionen noch nicht so gut drauf, da ich die
> letzten Wochen krank war und würde mich sehr über jede
> Hilfestellung freuen. Also schon mal im Voraus
> Entschuldigung für meine komischen Fragen.
>
> Zu (i):
> Ich verstehe die Formulierung mit den zwei Indizes nicht.
> Handelt es sich hierbei um Teilfolgen? Wenn ja, wie stelle
> ich mir eine durch das Kronecker-Delta beschriebene
> Teilfolge vor. Ich vermute, dass sie beschränkt ist, weiß
> aber nicht wie ich das zeigen könnte.
>
> Zu (ii)
> Kann ich das auf den Satz: "Für eine Teilmenge Y eines
> metrischen Raumes X gilt: [mm]Y\cup\partial[/mm] Y ist
> abgeschlossen" zurückführen? Beim zweiten Teil weiß ich
> nur, dass ich zeigen muss, dass es keine endliche
> Überdeckung gibt. Aber wie habe ich leider keine Ahnung...
>
> Zu (iii) und (iv)
> Fällt mir leider nichts ein. Bis auf das C[0,1] ein
> Spezialfall von [mm]l_{\infty}[/mm] ist.
>
> Hoffe ich habe, die Frage verständlich gestellt.
>
> Chris
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 06.06.2006 | | Autor: | Centaur |
Ersteinmal vielen, vielen Dank für deine Antwort. Ein paar neue Fragen sind allerdings noch aufgetaucht, deswegen wollte ich noch einmal nachfragen.
(i)
Du hast Recht, [mm] x^{n} [/mm] soll in [mm] l_{\infty} [/mm] liegen. Was ich dann aber nicht verstehe ist: Ist nicht nach Definition automatisch jede Folge, die in [mm] l_{\infty} [/mm] liegt beschränkt?
Die Definition des Kronecker-Deltas ist mir schon bekannt, allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, was ich mit [mm] x_{i}^{n} [/mm] = [mm] \delta_{n,i} [/mm] anfangen soll. Ich stelle es mir so vor: Ich habe eine Element aus [mm] l_{\infty}, [/mm] also eine reelle Folge. Dies sei: [mm] x^{n} [/mm] = [mm] x^{1},x^{2},x^{3},... [/mm] - Also sozusagen ein unendlich langer Vektor. Bezieht sich die Gleichung [mm] x_{i}^{n} [/mm] = [mm] \delta_{n,i} [/mm] nur auf ein Folgenglied (z. B. [mm] x^{2}), [/mm] das eigentlich nur eine reelle Zahl sein dürfte? Oder bezieht sich die Gleichung auf den ganzen Vektor [mm] x^{n}, [/mm] so dass da steht [mm] x^{n} [/mm] = 0,0,0,...,1,0,... . Mit der 1 an i-ter Stelle.
Wenn dies so wäre, dann könnte ich doch leicht eine konvergente Teilfolge erhalten, indem ich die 1 einfach weglasse...
Gibt es ein Beispiel, mit dem man sich das veranschaulichen kann?
(ii)
Auch hier: Ist nicht [mm] \overline{B(0,1)} [/mm] einfach deshalb schon beschränkt, weil es in [mm] l_{\infty} [/mm] liegen soll?
Ich habe mir folgendes überlegt:
[mm] \overline{B(0,1)} [/mm] = B(0,1) [mm] \cup \partial [/mm] B(0,1) = [mm] \{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)<1\} \cup \{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)=1\} [/mm] = [mm] \{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)\le1\} [/mm] = 1-Folge (mit der Supremumsmetrik)
Dies müsste ich aber doch ziemlich überdecken können, oder liegt mein Fehler woanders...
(iii)
Ja wir benutzen auf C die Supremumsnorm. Diesen Teil habe ich soweit verstanden.
Wie du wahrscheinlich schon an meinen Fragen merkst, bin ich hier noch ein bisschen am Schwimmen. Ich habe wohl Beschränktheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit und Konvergenz noch nicht ganz verinnerlicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 06.06.2006 | | Autor: | choosy |
> (i)
> Du hast Recht, [mm]x^{n}[/mm] soll in [mm]l_{\infty}[/mm] liegen. Was ich
> dann aber nicht verstehe ist: Ist nicht nach Definition
> automatisch jede Folge, die in [mm]l_{\infty}[/mm] liegt
> beschränkt?
haaalt jedes element von [mm] $l_\infty$ [/mm] ist eine beschränkte Folge, eine Folge in $l_infty$ ist eine folge von Folgen, diese ist nicht notwendig beschränkt,
diese tatsache solltest du dir zuerst klar machen!
>
> Die Definition des Kronecker-Deltas ist mir schon bekannt,
> allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, was ich mit
> [mm]x_{i}^{n}[/mm] = [mm]\delta_{n,i}[/mm] anfangen soll. Ich stelle es mir
> so vor: Ich habe eine Element aus [mm]l_{\infty},[/mm] also eine
> reelle Folge. Dies sei: [mm]x^{n}[/mm] = [mm]x^{1},x^{2},x^{3},...[/mm] -
soweit ok...jedes [mm] $x^n$ [/mm] ist eine Folge,
[mm]x_{i}^{n}[/mm] = [mm]\delta_{n,i}[/mm] sagt die das
[mm] $x^n$ [/mm] die Folge ist, deren n-tes folgeglied 1 ist, alle anderen sind 0. diese ist sicherlich in [mm] $l_\infty$ [/mm] (da beschränkt) also ist [mm] $x^n$ [/mm] als folge von folgen aus [mm] $l_\infty$ [/mm] wohldefiniert.
> Also sozusagen ein unendlich langer Vektor. Bezieht sich
> die Gleichung [mm]x_{i}^{n}[/mm] = [mm]\delta_{n,i}[/mm] nur auf ein
> Folgenglied (z. B. [mm]x^{2}),[/mm] das eigentlich nur eine reelle
> Zahl sein dürfte? Oder bezieht sich die Gleichung auf den
> ganzen Vektor [mm]x^{n},[/mm] so dass da steht [mm]x^{n}[/mm] =
> 0,0,0,...,1,0,... . Mit der 1 an i-ter Stelle.
jo
>
> Wenn dies so wäre, dann könnte ich doch leicht eine
> konvergente Teilfolge erhalten, indem ich die 1 einfach
> weglasse...
das wäre keine Teilfolge, weil jede Teilfolge wieder eine Folge von Folgen ist, die alle die Form(0...010...) haben
>
> Gibt es ein Beispiel, mit dem man sich das veranschaulichen
> kann?
#
schwierig.... diese aufgabe is ganz gut dazu geeignet :)
>
> (ii)
> Auch hier: Ist nicht [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] einfach deshalb
> schon beschränkt, weil es in [mm]l_{\infty}[/mm] liegen soll?
Nein,
denke daran was folgen in [mm] $l_\infty$ [/mm] sind....
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
> [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] = B(0,1) [mm]\cup \partial[/mm] B(0,1) = [mm]\{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)<1\} \cup \{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)=1\}[/mm]
> = [mm]\{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)\le1\}[/mm] = 1-Folge (mit
> der Supremumsmetrik)
das verstehe ich nicht wirklich, ausserdem was war noch gleich ii?
>
> Dies müsste ich aber doch ziemlich überdecken können, oder
> liegt mein Fehler woanders...
>
kompakt ist, wenn du aus JEDER überdeckung eine ENDLICH teilüberdeckung wählen kannst
> (iii)
>
> Ja wir benutzen auf C die Supremumsnorm. Diesen Teil habe
> ich soweit verstanden.
>
>
>
> Wie du wahrscheinlich schon an meinen Fragen merkst, bin
> ich hier noch ein bisschen am Schwimmen. Ich habe wohl
> Beschränktheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit und
> Konvergenz noch nicht ganz verinnerlicht.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Centaur |
Vielen Dank noch einmal für die Mühe, die du dir gemacht hast. Einiges habe ich verstanden, einiges ist leider obwohl ich mich damit länger beschäftigt habe immer noch offen.
Verstanden habe ich, dass jede Teilfolge immer noch diese störende 1 an i-ter Stelle besitzt, weshalb keine Teilfolge konvergieren kann.
Nun:
Habe ich [mm] x^{n} [/mm] als Folge in [mm] l_{\infty} [/mm] so zu verstehen, dass wenn [mm] x^{n} [/mm] in [mm] l_{\infty} [/mm] ist, dass dann auch [mm] x^{1} [/mm] eine reelle Folge ist und [mm] x^{2} [/mm] eine reelle Folge ist, ..., etc? Das würde heißen die Nullen und die Eins wären eigentlich Folgen.
Gibt es dafür, dass eine solche Folge von Folgen nicht notwendigerweise beschränkt ist, ein nachvollziehbares Beispiel? Wäre dein Beispiel der Monome hier brauchbar?
Und zuletzt verstehe ich nicht, wie ich zeigen kann, dass [mm] \overline{B(0,1)} [/mm] in [mm] l_{\infty} [/mm] nicht kompakt ist, aber die Nullfolge eine kompakte Teilmenge von [mm] l_{\infty} [/mm] darstellt...
Gruß
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 07.06.2006 | | Autor: | choosy |
> Vielen Dank noch einmal für die Mühe, die du dir gemacht
> hast. Einiges habe ich verstanden, einiges ist leider
> obwohl ich mich damit länger beschäftigt habe immer noch
> offen.
>
> Verstanden habe ich, dass jede Teilfolge immer noch diese
> störende 1 an i-ter Stelle besitzt, weshalb keine Teilfolge
> konvergieren kann.
>
> Nun:
> Habe ich [mm]x^{n}[/mm] als Folge in [mm]l_{\infty}[/mm] so zu verstehen,
> dass wenn [mm]x^{n}[/mm] in [mm]l_{\infty}[/mm] ist, dass dann auch [mm]x^{1}[/mm]
> eine reelle Folge ist und [mm]x^{2}[/mm] eine reelle Folge ist, ...,
> etc? Das würde heißen die Nullen und die Eins wären
> eigentlich Folgen.
genau, z.b. ist [mm] $x^1\in \l_\infty$ [/mm] solch eine folge von nullen mit einer 1 an 1. stelle. also die der 1. unendlich lange einheitsvektor, oder auch die folge
[mm] $(x^1_i)_{i\in\IN}$ [/mm] als element von [mm] $l_\infty$
[/mm]
>
> Gibt es dafür, dass eine solche Folge von Folgen nicht
> notwendigerweise beschränkt ist, ein nachvollziehbares
> Beispiel? Wäre dein Beispiel der Monome hier brauchbar?
naja du nimmst als i-tes Folgeglied die Folge der ersten i natürlichen zahlen, danach nur 0en. die sind alle in [mm] $l_\infty$, [/mm] die norm geht gegen unendlich
>
> Und zuletzt verstehe ich nicht, wie ich zeigen kann, dass
> [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] in [mm]l_{\infty}[/mm] nicht kompakt ist, aber die
wie gesagt, du nimmst als überdeckung die offenen kugeln mit radius 1.1 (hauptsache kleiner wurzel 2) um die folgen aus Teil 1 sprich
zum i-ten einheitsvektor nimmst du alle elemente aus [mm] $l_\infty$ [/mm] die einen abstand kleiner als 1.1 vom diesem haben.
nun weisst du das der abstand der Einheitsvektoren wurzel 2 ist, wenn du aus dieser überdeckung also nur ein teil auslässt, so gibt es einen einheitsvektor, der nicht mehr überdeckt wird.
sprich es gibt keine endliche teilüberdeckung.
> Nullfolge eine kompakte Teilmenge von [mm]l_{\infty}[/mm]
> darstellt...
nun wenn es eine offene überdeckung dieses "Punktes" in [mm] $l_\infty$ [/mm] gibt,
dann liegt der punkt schon in einer der mengen der überdeckung, also kannst du diese eine auswählen....
>
> Gruß
> Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 08.06.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo choosy vielen, vielen Dank noch einmal für deine hilfreiche Antwort. Einiges ist mir deutlich klarer geworden. Zum tieferen Verständnis wollte ich aber trotzdem vorsichtshalber noch mal einiges nachfragen und hoffe ich nerve dich nicht zu sehr.
1) [mm] l^{\infty} [/mm] ist doch definiert als { [mm] (a_{n}) \in \IR^{ \IN} [/mm] : [mm] sup_{n \in \IN} [/mm] < [mm] \infty [/mm] }. Jetzt sind wir erst vor kurzen aus dem [mm] \IR [/mm] in höher dimensionale Räume gewechselt und ich bin hier noch nicht ganz firm. Gilt zum Beispiel für [mm] a_{n} [/mm] = (1,2,3,0,0,0,...), [mm] supa_{n} [/mm] = 3? Wir hatten bisher nur die Maximumsnorm so definiert und im Forster bin ich auch nicht so recht fündig geworden...
2) [mm] (x^{n})_{n \in \IN} [/mm] kann ich doch schreiben als ((1,0,...);(0,1,0,...);...), oder? Kann ich auch [mm] sup(x^{n})_{n \in \IN} [/mm] bilden? Was käme raus für zum Beispiel [mm] sup(a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit [mm] (a_{n})_{n \in \IN}= [/mm] ( (1,2,3,0,...), (2,3,4,0,...), (0,0,0...), ...) oder [mm] (a_{n})_{n \in \IN}=( [/mm] (1,2), (2,1), (0,0), ...)?
3) Wenn wir hier bei meiner Aufgabe davon sprechen, dass [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist, dann ist dies doch gleichbedeutend mit sup [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] oder?
4) Die Sprechweise ist also [mm] x^{n} [/mm] ist eine Folge in [mm] l_{\infty} [/mm] und [mm] x^{n}_{i} [/mm] ist ein Element von [mm] l_{\infty}, [/mm] oder?
5) Du sagst der Abstand zweier unendlich langer Vektoren ist [mm] \wurzel{2}, [/mm] ich vermute du hast hierfür die euklidische Norm verwendet. Wenn ja, wieso nicht die Supremumsnorm...? Bei den Monomen gehst du doch wieder von der Supremumsnorm aus, wenn z. B. [mm] ||X^{1}||_{\infty} [/mm] = 1 ist auf C[0,1].
6) Kann ich die Beschränktheit von [mm] \overline{B(0,1)} [/mm] = [mm] \{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)\le1\} [/mm] an dem [mm] "\le1" [/mm] erkennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Fr 09.06.2006 | | Autor: | choosy |
hi, also erstmal ne kurze antwort, nachher hab ich mehr zeit, dann wirds ausführlicher...(edit:)so jetzt
> Hallo choosy vielen, vielen Dank noch einmal für deine
> hilfreiche Antwort. Einiges ist mir deutlich klarer
> geworden. Zum tieferen Verständnis wollte ich aber trotzdem
> vorsichtshalber noch mal einiges nachfragen und hoffe ich
> nerve dich nicht zu sehr.
>
> 1) [mm]l^{\infty}[/mm] ist doch definiert als [mm] $\{(a_{n}) \in \IR^{ \IN} : sup_{n \in \IN} |a_n|< \infty\}$. [/mm]
Ja, mit der korrektur...(die betragsstriche)
Jetzt sind wir erst vor
> kurzen aus dem [mm]\IR[/mm] in höher dimensionale Räume gewechselt
> und ich bin hier noch nicht ganz firm. Gilt zum Beispiel
> für [mm]a_{n}[/mm] = (1,2,3,0,0,0,...), [mm]supa_{n}[/mm] = 3?
Ja
Wir hatten
> bisher nur die Maximumsnorm so definiert und im Forster bin
> ich auch nicht so recht fündig geworden...
>
> 2) [mm](x^{n})_{n \in \IN}[/mm] kann ich doch schreiben als
> ((1,0,...);(0,1,0,...);...), oder?
Wenn [mm](x^{n})_{n \in \IN}\subset l_\infty[/mm] ist ja
>Kann ich auch
> [mm]sup(x^{n})_{n \in \IN}[/mm] bilden?
Theoretisch ja, dann allerdings als
sup [mm] \{\|x^{n}\|_\infty:n\in\IN\}
[/mm]
aber wozu?
ausserdem muss dieses supremum dann nicht endlich sein
>Was käme raus für zum
> Beispiel [mm]sup(a_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit [mm](a_{n})_{n \in \IN}=[/mm] (
> (1,2,3,0,...), (2,3,4,0,...), (0,0,0...), ...) oder
> [mm](a_{n})_{n \in \IN}=([/mm] (1,2), (2,1), (0,0), ...)?
wozu brauchst das?
>
> 3) Wenn wir hier bei meiner Aufgabe davon sprechen, dass
> [mm]a_{n}[/mm] beschränkt ist, dann ist dies doch gleichbedeutend
> mit sup [mm]a_{n}[/mm] < [mm]\infty,[/mm] oder?
nein, mit [mm] $\sup_{n\in\IN} \|a_n\|_\infty <\infty$
[/mm]
>
> 4) Die Sprechweise ist also [mm]x^{n}[/mm] ist eine Folge in
> [mm]l_{\infty}[/mm] und [mm]x^{n}_{i}[/mm] ist ein Element von [mm]l_{\infty},[/mm]
> oder?
eher [mm] $(x^n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $l_\infty$, [/mm] und [mm] $x^n$ [/mm] ist element davon. [mm] $x^n_i$ [/mm] ist i.a. ein Körperelement
>
> 5) Du sagst der Abstand zweier unendlich langer Vektoren
> ist [mm]\wurzel{2},[/mm] ich vermute du hast hierfür die
> euklidische Norm verwendet. Wenn ja, wieso nicht die
> Supremumsnorm...? Bei den Monomen gehst du doch wieder von
> der Supremumsnorm aus, wenn z. B. [mm]||X^{1}||_{\infty}[/mm] = 1
> ist auf C[0,1].
da hast du recht, ich bin irgendwie in den [mm] $l_2$ [/mm] abgerutscht...
du musst natürlich die supremumsnorm verwenden...die wäre in deinem Fall 1, dann muss mann die überdeckung allerdings auch anders basteln (um zu zeigen das die abgeschlossene einheitskugel nicht kompakt ist)
Als überdeckung würde ich dann die Kugeln mit Radius 0.5 um die einheitsvektoren nehmen. diese überdecken den die einheitskugel zwar noch nicht, du kannst diese Kugeln aber so zu einer überdeckung vervollständigen, dass alle mengen die noch dazukommen, diese kugeln höchstens um 0.1 überlappen. wenn du nun hieraus eine Teilüberdeckung nehmen würdest, wären diese Kugeln immer dabei (sonst wären die einheitsvektoren nicht überdeckt). da du unendlich viele einheitsvektoren hast, kann es also keine endliche Teilüberdeckung geben....
sollte man natürlich noch etwas mathematischer verpacken.
>
> 6) Kann ich die Beschränktheit von [mm]\overline{B(0,1)}[/mm] = [mm]\{x \in l_{\infty}: d_{\infty}(0,x)\le1\}[/mm]
> an dem [mm]"\le1"[/mm] erkennen?
>
wenn du das richtige damit meinst... beschränkt heisst ja das der durchmesser endlich ist, sprich das
[mm] $\sup_{x,y\in\overline{B(0,1)}} \|x-y\| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist.
es gilt aber immer
[mm] $\|x-y\| [/mm] = [mm] \|x-0+0-y\| \leq \|x-0\|+\|0-y\|<2$, [/mm] also ist auch das supremum <2...
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