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Rechenregel Folgen: Prüfung des Beweises
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:53 Di 10.09.2013
Autor: Ladon

Hallo,

da ich mir gerne alternative Beweise zur Vorlesung überlege, bitte ich darum folgenden Beweis auf seine Stichhaltigkeit zu prüfen:

Ich möchte für Folgen [mm] $a_n\to [/mm] a$ und [mm] $b_n \to [/mm] b$ in [mm] \IC [/mm] zg.:
Zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ex. ein $N [mm] \in \IR$, [/mm] s.d. [mm] $|a_n b_n [/mm] - ab|< [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] mit $n>N$. Also [mm] $a_nb_n\to [/mm] ab$ bei [mm] $n\to \infty$. [/mm]
Beweis:
[mm] $|a_n-b_n|=|a_n(b_n [/mm] - [mm] b)+(a_n [/mm] - a)b|<oder = [mm] |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b| [/mm] = (*)$
Hier kommt eine Abschätzung ins Spiel ich habe mir gedacht, dass wir [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon$ [/mm] immer für ganz kleine [mm] \epsilon>0 [/mm] betrachten und wir daher O.B.d.A. annehmen können, dass
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon<\frac{a}{2}$ [/mm] gewählt werden darf. Daraus folgt aber [mm] $\frac{a}{2} [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] \frac{3a}{2}$. [/mm] Analoges gilt auch für [mm] b_n, [/mm] weshalb ich wie folgt abschätze:
$(*) < [mm] |\frac{3a}{2}||b_n [/mm] - [mm] b|+|a_n [/mm] - a||b| = (**)$
Jetzt die nächste Abschätzung: [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] |\frac{\epsilon}{2b}|$ [/mm] und [mm] $|b_n [/mm] - [mm] b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|$. [/mm]
[mm] $(**)<|\frac{3a}{2}||\frac{2\epsilon}{6a}|+|\frac{\epsilon}{2b}||b|= \frac{\epsilon}{2} [/mm] + [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] = [mm] \epsilon$. [/mm] Q.E.D.

Was haltet ihr davon? Ich bin besonders unsicher, ob ich auch wirklich [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a|<\epsilon<\frac{a}{2}$ [/mm] und [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] |\frac{\epsilon}{2b}|$ [/mm] sowie [mm] $|b_n [/mm] - [mm] b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|$ [/mm] wählen darf. Im Voraus danke ich für eure Hilfe.

MfG Ladon

        
Bezug
Rechenregel Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:25 Di 10.09.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> da ich mir gerne alternative Beweise zur Vorlesung
> überlege, bitte ich darum folgenden Beweis auf seine
> Stichhaltigkeit zu prüfen:
>  
> Ich möchte für Folgen [mm]a_n\to a[/mm] und [mm]b_n \to b[/mm] in [mm]\IC[/mm] zg.:
>  Zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ex. ein [mm]N \in \IR[/mm], s.d. [mm]|a_n b_n - ab|< \epsilon[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n>N[/mm]. Also [mm]a_nb_n\to ab[/mm] bei [mm]n\to \infty[/mm].
>  
> Beweis:
>  [mm]|a_n-b_n|=|a_n(b_n - b)+(a_n - a)b|

das Symbol [mm] $\le$ [/mm] bekommst Du so: [mm] [nomm]$\le$[/nomm] [/mm]

> Hier kommt eine Abschätzung ins Spiel ich habe mir
> gedacht, dass wir [mm]|a_n - a|<\epsilon[/mm] immer für ganz kleine
> [mm]\epsilon>0[/mm] betrachten

Da wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ sicher für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\,$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle
$n [mm] \ge [/mm] N$ existiert, gilt das natürlich auch für "kleine" [mm] $\epsilon.$ [/mm]

> und wir daher O.B.d.A. annehmen
> können, dass
>  [mm]|a_n - a|<\epsilon<\frac{a}{2}[/mm] gewählt werden darf.

Klar, aber das stimmt nur fast: o.B.d.A. sei $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \red{|}a\red{|}/2\,.$ [/mm] Wir
sind hier in [mm] $\IC$! [/mm]

> Daraus folgt aber [mm]\frac{a}{2} < a_n < \frac{3a}{2}[/mm].

Auch hier sind (kleine) Korrekturen vorzunehmen: Anstatt [mm] $a\,$ [/mm] gehört da [mm] $|a|\,$ [/mm] hin,
also

    $|a|/2 < [mm] a_n [/mm] < [mm] 3a/2\,.$ [/mm]

Allerdings gibt's da 'ne kleine Einschränkung: $|a| [mm] \not=0$ ($\iff [/mm] a [mm] \not=0$) [/mm] sollte gelten!

> Analoges gilt auch für [mm]b_n,[/mm] weshalb ich wie folgt
> abschätze:
>  [mm](*) < |\frac{3a}{2}||b_n - b|+|a_n - a||b| = (**)[/mm]
>  Jetzt
> die nächste Abschätzung: [mm]|a_n - a| < |\frac{\epsilon}{2b}|[/mm]

Hier brauchst Du $b [mm] \not=0\,$ [/mm] also eine kleine Fallunterscheidung!

> und [mm]|b_n - b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|[/mm].
>  
> [mm](**)<|\frac{3a}{2}||\frac{2\epsilon}{6a}|+|\frac{\epsilon}{2b}||b|= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/mm].
> Q.E.D.
>  
> Was haltet ihr davon? Ich bin besonders unsicher, ob ich
> auch wirklich [mm]|a_n - a|<\epsilon<\frac{a}{2}[/mm] und [mm]|a_n - a| < |\frac{\epsilon}{2b}|[/mm]
> sowie [mm]|b_n - b|<|\frac{2\epsilon}{6a}|[/mm] wählen darf.

Sowas darfst Du durchaus. Du kannst es sauberer aufschreiben: Wir nehmen
ein [mm] $N_1,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge N_1$ [/mm] gilt: $|a|/2 < [mm] a_n [/mm] < [mm] 1,5*|a|\,.$ [/mm]
Ferner existiert ein [mm] $N_2\,,$ [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge N_2$ [/mm] gilt... Am Ende definierst
Du Dir dann halt [mm] $N:=\max\{...\}$; [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann: ...

Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach, damit er
übersichtlicher wird:

1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.

2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm] $a_n \to [/mm] a$ existiert eine Konstante [mm] $C_a [/mm] > 0$ mit
[mm] $|a_n| \le C_a$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm]
(Ferner existiert eine Konstante [mm] $C_b [/mm] > 0$ mit [mm] $|b_n| \le C_b$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$) [/mm]

Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. $b [mm] \not=0$ [/mm] annehmen:

    [mm] $|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|$ [/mm] für alle [mm] $n\,.$ [/mm]

Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann existiert zu [mm] $\epsilon':=\epsilon/(2C_a) [/mm] > 0$ ein [mm] $N'\,$ [/mm] mit
[mm] $|b_n-b| \le \epsilon'$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N'\,.$ [/mm]
Ferner:  Es existiert zu [mm] $\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) [/mm] > 0$ ein [mm] $N''\,$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \epsilon''$ [/mm]
für alle $n [mm] \ge N''\,.$ [/mm]

Was folgt dann für alle $n [mm] \ge N:=\max\{N',N''\}$? [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Rechenregel Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:04 Di 10.09.2013
Autor: Ladon

Vielen Dank für deine Hilfe!
Dann waren meine Überlegungen mit ein paar kleinen Korrekturen richtig. :-)

> Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach,
> damit er
> übersichtlicher wird:
>
> 1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>  
> 2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm]a_n \to a[/mm] existiert eine
> Konstante [mm]C_a > 0[/mm] mit
> [mm]|a_n| \le C_a[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
>  (Ferner existiert eine Konstante [mm]C_b > 0[/mm] mit [mm]|b_n| \le C_b[/mm]
> für alle [mm]n\,.[/mm])
>  
> Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. [mm]b \not=0[/mm] annehmen:
>  
> [mm]|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|[/mm]
> für alle [mm]n\,.[/mm]
>  
> Sei nun [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann existiert zu
> [mm]\epsilon':=\epsilon/(2C_a) > 0[/mm] ein [mm]N'\,[/mm] mit
>  [mm]|b_n-b| \le \epsilon'[/mm] für alle [mm]n \ge N'\,.[/mm]
>  Ferner:  Es
> existiert zu [mm]\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) > 0[/mm] ein [mm]N''\,[/mm] mit
> [mm]|a_n-a| \le \epsilon''[/mm]
> für alle [mm]n \ge N''\,.[/mm]
>  
> Was folgt dann für alle [mm]n \ge N:=\max\{N',N''\}[/mm]?

Es folgt:
[mm] $C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| In der Tat ein sehr schöner, einfacher Beweis. Danke nochmals.

MfG Ladon

Bezug
                        
Bezug
Rechenregel Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Di 10.09.2013
Autor: Marcel

Hallo Ladon,

> Vielen Dank für deine Hilfe!
>  Dann waren meine Überlegungen mit ein paar kleinen
> Korrekturen richtig. :-)
>  > Übrigens würde ich den Beweis anders führen, einfach,

> > damit er
> > übersichtlicher wird:
> >
> > 1. Zeige: Jede konvergente Folge ist beschränkt.
>  >  
> > 2. Nach 1. gilt dann: Wegen [mm]a_n \to a[/mm] existiert eine
> > Konstante [mm]C_a > 0[/mm] mit
> > [mm]|a_n| \le C_a[/mm] für alle [mm]n\,.[/mm]
>  >  (Ferner existiert eine Konstante [mm]C_b > 0[/mm] mit [mm]|b_n| \le C_b[/mm]
> > für alle [mm]n\,.[/mm])
>  >  
> > Daher gilt - wenn wir im Folgenden o.E. [mm]b \not=0[/mm] annehmen:
>  >  
> > [mm]|a_nb_n-ab| \le |a_n|\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b| \le C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|[/mm]
> > für alle [mm]n\,.[/mm]
>  >  
> > Sei nun [mm]\epsilon > 0\,.[/mm] Dann existiert zu
> > [mm]\epsilon':=\epsilon/(2C_a) > 0[/mm] ein [mm]N'\,[/mm] mit
>  >  [mm]|b_n-b| \le \epsilon'[/mm] für alle [mm]n \ge N'\,.[/mm]
>  >  Ferner:
>  Es
> > existiert zu [mm]\epsilon'':=\epsilon/(2|b|) > 0[/mm] ein [mm]N''\,[/mm] mit
> > [mm]|a_n-a| \le \epsilon''[/mm]
> > für alle [mm]n \ge N''\,.[/mm]
>  >  
> > Was folgt dann für alle [mm]n \ge N:=\max\{N',N''\}[/mm]?
>  
> Es folgt:
>  
> [mm]C_a\;|b_n-b|+|a_n-a|\;|b|

"eigentlich" müßte da [mm] $\le$ [/mm] stehen - aber das Ganze ist nur "Kosmetik" (warum
eigentlich?).

>  In der Tat ein sehr schöner, einfacher Beweis. Danke
> nochmals.

Gerne - aber willst Du nicht auch mal versuchen, die Aussage

    konvergente Folgen sind beschränkt

zu beweisen? (Das ist nicht so schwer - wenn Du willst, so kannst Du die
Aussage auch so zerlegen, dass Du zunächst beweist, dass Nullfolgen
beschränkt sind.)

Gruß,
  Marcel

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