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Rechteck unter Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Sa 11.05.2013
Autor: Mathe-Andi

Aufgabe
Gegeben ist die Parabel [mm] f(x)=0,25x^2+2x+3,25. [/mm]

P sei ein Punkt der Parabel im zweiten Quadranten. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch diesen Punkt bilden mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Berechnen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an.

Hallo,

ich ärgere mich gerade über diese Aufgabe. Eigentlich so einfach, aber ich glaube ich verzettel mich mit dem Vorzeichen bzw. meine Frage: Ich befinde mich im 2. Quadranten, dann muss ich doch die x-Komponente negativ annehmen und das kompensiere ich, damit der Flächeninhalt nicht negativ wird, indem ich die Hauptbedingung A=-a*b formuliere? Ich habe ein Problem mit dieser Formulierung der Hauptbedingung. Seht meine Rechnung:

Erstmal die Skizze:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hauptbedingung:

A=-a*b

Nebenbedingung:

P(-a,b)

[mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25 [/mm]

Zwischengedanke zu obiger Gleichung: x=-a, [mm] x^{2}=+a) [/mm]


Zielfunktion (also Nebenbedingung in Hauptbedingung):

[mm] A=-a(0,25a^{2}-2a+3,25) [/mm]

[mm] =-0,25a^{3}+2a^{2}-3,25a [/mm]

[mm] A'=-0,75a^{2}+4a-3,25 [/mm]

[mm]A''=-1,5a+4[/mm]


[mm]A'=0[/mm]

[mm] -0,75a^{2}+4a-3,25=0 [/mm]

[mm] a^{2}-\bruch{16}{3}a+\bruch{13}{3}=0 [/mm]

[mm] a_{1}=\bruch{13}{3} [/mm]

[mm] a_{2}=1 [/mm]

[mm]A''=-1,5a+4[/mm]

[mm] A''(a_{1})=-2,5 [/mm] <0 , Maximum!

[mm] A''(a_{2})=2,5 [/mm] >0 , Minimum!


Hier stoppe ich mal. Ich müsste jetzt [mm] a_{1} [/mm] in die Nebenbedingung einsetzen um [mm] b_{1} [/mm] zu erhalten. [mm] a_{1} [/mm] deshalb, weil ich hierfür ein Maximum bekomme.

Oder wähle ich das Minimum? Wenn ich das Minimum wähle, bekomme ich zwar die richtigen Werte heraus, also

[mm] a_{1}=1 [/mm]

[mm] b_{1}=1,5 [/mm]

Aber wenn ich beide in die Hauptbedingung einsetze, habe ich doch wieder dieses Minus dort stehen, das kann ich doch nicht einfach wegfallen lassen

A=-1*1,5=-1,5 (negativer FE geht nicht)


Ich hoffe ihr seht mein Problem.


Gruß, Andreas

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Rechteck unter Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Sa 11.05.2013
Autor: mathmetzsch

Hallochen,

deine Ansätze und Rechnungen sind im Prinzip richtig. Deine Verwunderung entsteht aufgrund eines Vorzeichenfehlers ziemlich am Anfang. Du schreibst die Funktionsgleichung falsch ab.

Für b gilt: [mm] b=0,25a^{2}+2a+3,25 [/mm] und nicht [mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25 [/mm]

Rechne es so noch mal durch, dann gibt's auch ein sinnvolles Ergebnis.

Bezug
                
Bezug
Rechteck unter Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Sa 11.05.2013
Autor: Mathe-Andi

Hallo,

ich habe doch den Punkt P(-a,b), ich setze also x=-a und [mm] x^{2}=a^{2}. [/mm] Dann ergibt sich die Gleichung die ich angegeben habe.

[mm] f(x)=0,25x^{2}+2x+3,25 [/mm]

[mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25 [/mm]

Die x-Koordinate (von mir mit a beschrieben) des Punktes ist aufgrund der Lage im 2. Quadranten doch negativ. Die y-Koordinate (bei mir b) bleibt positiv.

Oder ist es falsch a negativ anzunehmen bei den Punktkoordinaten. Es ist ja aber im negativen Achsenabschnitt...


Gruß, Andreas

Bezug
                        
Bezug
Rechteck unter Parabel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Sa 11.05.2013
Autor: Sax

Hi,

weil du das Minus-Zeichen mit in die Skizze genommen hast, gehst du von einem positiven a-Wert aus und deshalb muss A = a*b angesetzt werden.

Gruß Sax.

Bezug
                                
Bezug
Rechteck unter Parabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:54 Sa 11.05.2013
Autor: Mathe-Andi

Das klingt sehr schlüssig :-) Jetzt passt es auch.

Vielen Dank!

Gruß, Andreas

Bezug
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