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Reelle Zahlen intuitionistisch: Frage (offen)
Status: (Frage) statuslos Status 
Datum: 15:00 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Hallo zusammen!

Zwei Verständnisfragen zu den reellen Zahlen im Rahmen einer intuitionistischen Mathematik:

1. Verstehe ich richtig, dass man unter dem Körper der reellen Zahlen in intuitionistischer Mathematik nicht einen axiomatisch eingeführten speziellen angeordneten Körper versteht, sondern einen durch Äquivalenzklassenbildung auf der Menge der Folgen rationaler Zahlen konstruierten Körper?

2. Falls ich mit 1. richtig liege:
Sehe ich richtig, dass wir intuitionistisch nicht nachweisen können, dass der Körper der reellen Zahlen angeordnet ist?
Die Aussage "für jede reelle Zahl x gilt [mm] $x>0\vee -x>0\vee [/mm] x=0$" impliziert nämlich die Aussage "für jede reelle Zahl x gilt [mm] $x=0\vee x\neq [/mm] 0$", die intuitionistisch nicht beweisbar ist?

Viele Grüße
Tobias

        
Bezug
Reelle Zahlen intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Sa 28.10.2017
Autor: UniversellesObjekt


> Die Aussage "für jede reelle Zahl x gilt $ [mm] x>0\vee -x>0\vee [/mm] x=0 $" impliziert nämlich die Aussage "für jede reelle Zahl x gilt $ [mm] x=0\vee x\neq [/mm] 0 $", die intuitionistisch nicht beweisbar ist?

Nur hierzu etwas, das ich gelernt habe, als ich vor längerem einmal etwas in "A course in constructive Algebra" von Mines, Richman und Ruitenberg geblättert habe: Es ist anscheinend relativ üblich, Mengen immer mit einer Ungleichheitsrelation [mm] $\not=$ [/mm] daherkommen zu lassen, die aber nicht unbedingt mit der Relation [mm] $x\not=y:\iff \neg(x=y)$ [/mm] übereinstimmen muss. Siehe auch []hier.

Auf den reellen Zahlen verwendet man zum Beispiel lieber die folgende Ungleichheit:

[mm] $x\not=y\iff$ [/mm] es gibt eine Nachkommastelle, an der $x$ und $y$ sich unterscheiden.

Ich würde vermuten, dass man auch eine analoge Version für eine Größer-Relation benutzt.

Liebe Grüße
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Reelle Zahlen intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Sa 28.10.2017
Autor: tobit09

Danke auch für diesen Hinweis!

Ich meinte mit [mm] $x\neq [/mm] 0$ tatsächlich [mm] $\neg\;(x=0)$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Reelle Zahlen intuitionistisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:30 Mo 30.10.2017
Autor: qweqweqwe1234

Hallo,

es gibt eine sehr intuitionistische Konstruktion der reellen Zahlen:

die findest du hier:

https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/acampo-real.pdf

vielleicht hilft dir das.

Bezug
                
Bezug
Reelle Zahlen intuitionistisch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:58 Mo 30.10.2017
Autor: tobit09

Hallo!


Vielen Dank für deinen Hinweis.


Ich finde nirgendwo in dem Paper den Hinweis, dass es sich um eine intuitionistische Konstruktion und Argumentation handelt.
Ist dies trotzdem der Fall?

Beispielsweise wird direkt auf Seite 1 das Minimum einer bewohnten Menge gebildet, so dass aus intuitionistischer Sicht ja genauer argumentiert werden müsste, warum diese Menge ein Minimum hat, was aber vermutlich möglich ist.

Wenn ich es beim ersten Überfliegen richtig verstehe, soll der so konstruierte Körper ja angeordnet und vollständig sein.
Die spannende Frage ist nun, ob das auch intuitionistisch gilt...


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Reelle Zahlen intuitionistisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 07.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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