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Regressionsmodell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:16 Do 16.07.2015
Autor: Samy12

Aufgabe
Gegeben ist das Regressionsmodell:
[mm] Y_{i} [/mm] = [mm] \gamma [/mm] + [mm] e_{i} [/mm]
i=1,...,n
a) Bestimme die Designmatrix X.
b) Bestimme die orthogonale Projektion des Vektors [mm] v_{i} [/mm] = [mm] (1,1,0,...,0)^T [/mm] auf L = L (X) [mm] \subset \mathbb R_{n} [/mm]  und die orthogonale Projektion des Vektors v auf L [mm] ^\perp  \subset \mathbb R_{n}. [/mm]
c) Bestimme den Minimum-Quadrat-Schätzer [mm] \gamma \wedge [/mm] für [mm] \gamma. [/mm]
d) Entscheide und begründe, ob es einen für [mm] \gamma [/mm] erwartungstreuen linearen Schätzer [mm] \gamma \wedge [/mm] gibt, so dass:
[mm] Var(\gamma \wedge) [/mm] < [mm] Var(\gamma\vee [/mm] ), wobei [mm] \gamma \wedge [/mm] der Minimum-Quadrat-Schäter für [mm] \gamma [/mm] ist.

a) Designmatrix X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ ...\\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

b) jetzt wollte ich erstmal die Projektionsmatrix berechnen.
Mit dieser Formel:  [mm] P_{L} [/mm]  = X [mm] *(X^T*X)^{-1}* X^T [/mm]

Kann es sein, dass man den Rest der Aufgabe gar nicht lösen kann, weil die Designmatrix keinen vollen Rang besitzt? Und dass auch [mm] X^{T}* [/mm] X keine Inverse hat?

Die beiden linearen Teilräume sind einmal der lineare Teilraum der durch die Spalten von X erzeugt wird und der andere Teilraum von orthogonalem Komplement.

Bitte helft mir bei dieser Aufgabe, ich komme einfach nicht weiter.

Danke schonmal. :)


        
Bezug
Regressionsmodell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Do 16.07.2015
Autor: luis52

  
> b) jetzt wollte ich erstmal die Projektionsmatrix
> berechnen.
> Mit dieser Formel:  [mm]P_{L}[/mm]  = X [mm]*(X^T*X)^{-1}* X^T[/mm]
>
> Kann es sein, dass man den Rest der Aufgabe gar nicht
> lösen kann, weil die Designmatrix keinen vollen Rang
> besitzt? Und dass auch [mm]X^{T}*[/mm] X keine Inverse hat?
>

Moin, wieso? Die Inverse existiert doch: $1/n$. Es gibt da ein sprachliches Problem: $X$ muss den vollen *Spalten*rang besitzen. Und das tut sie, der Spaltenrang ist 1.


Bezug
                
Bezug
Regressionsmodell: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:54 Do 16.07.2015
Autor: Samy12

Ok, dann kann ich also meine Projektionsmatrix ausrechnen.
Das wäre dann:

[mm] \pmat{ 1/n .... & 1/n \\ 1/n... & 1/n } [/mm]

Zeilen nach unten dann natürlich auch n mal.... geht hier irgendwie nicht anders.

Was muss ich dann mit dem Vektor machen?

Eigenschaften einer Projektionsmatrix sind ja:

[mm] P_{L} [/mm] * a = a für alle a [mm] \in [/mm] L
und
[mm] P_{L} [/mm] * a = = für alle a [mm] \in L^\perp [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Regressionsmodell: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Sa 18.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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