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Forum "Topologie und Geometrie" - Regular Curves
Regular Curves < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Regular Curves: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:13 Di 24.04.2012
Autor: nureinmal

Aufgabe
Let [mm] $\gamma$ [/mm] be a regular curve in [mm] $\IR^3$ [/mm] parametrized by arc-length. If it is in a sphere with radius r and its tortion [mm] $\tau$ [/mm]  is never zero, show its curvature [mm] $\kappa$ [/mm] and torsion [mm] $\tau$ [/mm] satisfy the following equation.

[mm] $$(1/\kappa)^2 [/mm] + [mm] ((\kappa [/mm] ') / [mm] \kappa^2 \tau)^2 [/mm] = [mm] r^2$$ [/mm]

Hint: the position vector of the curve from the center of the sphere can be written as a linear combination of Frenet frame.

Hallo, ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und habe auch teils die Lösung davon, aber ich kann sie nicht so ganz nachvollziehen:

Also ich kann davon ausgehen, dass der Mittelpunkt der Sphäre im Ursprung von [mm] $\IR^3$ [/mm] liegt, da die verschobene Kurve abgesehen von einer Rigid Motion äquivalent sind.
So, und jetzt sind die Bilder der Parametrisierung [mm] $\gamma$ [/mm] auf dieser Sphäre. Also kann ich davon ausgehen, dass $$r(s) * t(s) = 0$$

Wobei $r(s)$ der Ortsvektor vom Punkt [mm] $\gamma(s)$ [/mm] ist und $s$ arc length und $t(s)$ der tangentialvektor am punkt [mm] $\gamma(s)$. [/mm]

Wie würde man nun weiter vorgehen?

        
Bezug
Regular Curves: was heißt hier "in a sphere" ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:12 Di 24.04.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Let [mm]\gamma[/mm] be a regular curve in [mm]\IR^3[/mm] parametrized by
> arc-length. If it is in a sphere with radius r and its
> tortion [mm]\tau[/mm]  is never zero, show its curvature [mm]\kappa[/mm] and
> torsion [mm]\tau[/mm] satisfy the following equation.
>  
> [mm](1/\kappa)^2 + ((\kappa ') / \kappa^2 \tau)^2 = r^2[/mm]
>  
> Hint: the position vector of the curve from the center of
> the sphere can be written as a linear combination of Frenet
> frame.
>  Hallo, ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe und habe
> auch teils die Lösung davon, aber ich kann sie nicht so
> ganz nachvollziehen:
>  
> Also ich kann davon ausgehen, dass der Mittelpunkt der
> Sphäre im Ursprung von [mm]\IR^3[/mm] liegt, da die verschobene
> Kurve abgesehen von einer Rigid Motion äquivalent sind.
>  So, und jetzt sind die Bilder der Parametrisierung
> [mm]$\gamma$[/mm] auf dieser Sphäre. Also kann ich davon ausgehen,
> dass [mm]r(s) * t(s) = 0[/mm]
>  
> Wobei [mm]r(s)[/mm] der Ortsvektor vom Punkt [mm]\gamma(s)[/mm] ist und [mm]s[/mm] arc
> length und [mm]t(s)[/mm] der tangentialvektor am punkt [mm]\gamma(s)[/mm].
>  
> Wie würde man nun weiter vorgehen?


Mit "if the curve is in a sphere with radius r"  ist hier wohl
gemeint, dass die Kurve in der Kugelfläche liegen soll -
und nicht etwa bloß innerhalb der entsprechenden (Voll-) Kugel,
oder ?

LG


Bezug
                
Bezug
Regular Curves: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:51 Di 24.04.2012
Autor: leduart

Hallo
in a sphere ist engl eindeutig auf einer Späre, sonst hiesse es in a ball, sphere ist immer eine dim niedriger als der Raum-
gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Regular Curves: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Di 24.04.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  in a sphere ist engl eindeutig auf einer Späre, sonst
> hiesse es in a ball, sphere ist immer eine dim niedriger
> als der Raum-
>  gruss leduart


Consider, however:  

a sphere divides the three dimensional space into two
regions: the inside and the outside of the sphere.
So, "in the sphere" may at least be easily confused
with "inside the sphere" ...

Greetz !   Al


Bezug
        
Bezug
Regular Curves: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Do 26.04.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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