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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe, Summe in Intervall
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Reihe, Summe in Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 Mo 20.04.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2) konvergiert und dass ihre Summe s zum Intervall (3/4, 13/16) gehört.



Hallo,
Konvergenz: [mm] |2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2)| [mm] \le |2^{-n}| [/mm] und [mm] \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{2})^n [/mm] konvergente Majorante.

Mein Weg wäre über: [mm] e^{i x} [/mm] = cos(x)+isin(x)
[mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} cos(\pi [/mm] n/2) = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{Re(e^{i n \pi /2})}{2^n} =\sum_{n=0}^\infty Re(\frac{(e^{i \pi /2})^n}{2^n})=Re(\sum_{n=0}^\infty \frac{(e^{i \pi /2})^n}{2^n}) [/mm]
= [mm] Re(\frac{1}{1-\frac{e^{i\pi/2}}{2}})= Re[\frac{1}{1-\frac{cos(\pi/2)+i sin(\pi/2)}{2}}]=Re[\frac{1}{1-\frac{i}{2}}]=Re[\frac{2}{2-i}]= Re[\frac{4+2i}{5}]=4/5 [/mm]
4/5 [mm] \in [/mm] (3/4, 13/16) [mm] \Box [/mm]

Frage: Gibt es einen anderen Lösungsweg der hier gewollt wird, da das mit dem Intervall angegeben ist? Ich müsste ja nicht unbedingt der Grenzwert finden, sondern nur dass er im Intervall liegt.
Würde gerne wissen auf welchen Lösungsweg der Aufgabensteller es hier abgesehen hat mit dem komischen Intervall!

LG,
sissi

EDIT: Intervall lautet (3/4, 13/16)

        
Bezug
Reihe, Summe in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:01 Mo 20.04.2015
Autor: DieAcht

Hallo sissile!


Dein Beweis ist bis auf die letzte Zeile richtig. Ich kann die
Angabe des Intervalls nicht ansatzweise nachvollziehen, denn:

1. [mm] (\frac{3}{4},\frac{3}{16})=\emptyset. [/mm] (Daher der Fehler deiner letzten Zeile. ;-))

2. Auch mit [mm] (\frac{3}{16},\frac{3}{4})=:I [/mm] erhalten wir wegen [mm] $\frac{4}{5}\not\in [/mm] I$ einen Widerspruch zur Aufgabenstellung.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Reihe, Summe in Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 Di 21.04.2015
Autor: sissile

Sry, es soll heißen (3/4, 13/16).
Habe die 1 vergessen!!:O

LG,
sissi

Bezug
        
Bezug
Reihe, Summe in Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:21 Di 21.04.2015
Autor: fred97

Das Intervall (3/4, 3/16) ist nicht komisch, denn es ist kein Intervall !

Anderer Lösungsweg: für ungerades n ist $cos(n* [mm] \bruch{\pi}{2})=0.$ [/mm]


Somit:

$ [mm] \sum_{n=0}^\infty 2^{-n} [/mm] cos(n* [mm] \bruch{\pi}{2})= \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{2^{2k}}*cos(k [/mm] * [mm] \pi)= \sum_{k=0}^\infty \bruch{1}{4^{k}}*(-1)^k= \sum_{k=0}^\infty(- \bruch{1}{4})^k$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Reihe, Summe in Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Di 21.04.2015
Autor: sissile

Vielen Dank für den eleganten Lösungsweg! Ist wahrscheinlich auch nicht der, den der Aufgabensteller im Sinn hatte aber vielen lieben Dank.
Ich habe übrigens das Intervall nun geändert. Da hatte sich nämlich ein Tippfehler eingeschlichen.

LG,
sissi

Bezug
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