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Reihe divergiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:18 Mo 26.06.2017
Autor: Paivren

Guten Abend!

Wie kann man zeigen, dass folgende Reihe für alle [mm] z\in\IC \backslash \IZ [/mm] divergiert? Jemand einen Tipp?

[mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{z-n} [/mm]


Beste Grüße

Pavren

        
Bezug
Reihe divergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Mo 26.06.2017
Autor: fred97


> Guten Abend!
>  
> Wie kann man zeigen, dass folgende Reihe für alle [mm]z\in\IC \backslash \IZ[/mm]
> divergiert? Jemand einen Tipp?
>  
> [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{z-n}[/mm]

Fasst man obige Reihe wie folgt auf:

[mm] \lim_{N \to \infty}\sum_{n=-N}^{N}(\bruch{1}{z-n}+\bruch{1}{z+n}), [/mm]

so konvergiert diese Reihe für $z [mm] \in \IR \setminus \IZ$ [/mm]

Schau mal hier:

https://www-m5.ma.tum.de/foswiki/pub/M5/Allgemeines/MA6001_2014W/Herglotz!!!.pdf

>  
>
> Beste Grüße
>  
> Pavren


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Reihe divergiert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:20 Mo 26.06.2017
Autor: Paivren

Hallo Fred,

geht das nicht auch einfacher? Ich will ja die Divergenz zeigen, und ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Aufgabe mit so einem langen Beweis gelöst werden soll, das ist nämlich nur Teil 1 der Aufgabe und gibt wenige Punkte...




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Reihe divergiert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Mo 26.06.2017
Autor: Paivren

Ok, also ich habe jetzt ausgenutzt,

dass eine Reihe von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] konvergiert,
wenn die Teilsummen von [mm] -\infty [/mm] bis -1 und von 0 bis [mm] \infty [/mm] konvergieren.

Dann habe ich die Reihe von 0 bis [mm] \infty [/mm] mit dem Quotientenkriterium nach unten abgeschätzt, um zu zeigen, dass sie divergent ist. Damit sollte auch die gesamte Reihe divergieren.

edit: habe mich aber bei der Rechnung vertan, muss es nochmal nachrechnen, Aufgabe also noch nicht gelöst ~~

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Reihe divergiert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Mo 26.06.2017
Autor: Paivren

Ok, also mit dem Quotientenkriterium kommt man nicht weiter... was ja auch eigentlich klar ist, da die Summanden eine Nullfolge sind... was nun?
Kann es sein, dass ein Fehler in der Aufgabenstellung ist? Fred meinte ja oben, dass die Reihe für [mm] \IR [/mm] / [mm] \IZ [/mm] konvergiert, was ja im Widerspruch zu meiner Aufgabenstellung steht...

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Reihe divergiert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mi 28.06.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Reihe divergiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Di 27.06.2017
Autor: HJKweseleit

Fred hat schon Recht, die Reihe konvergiert. Als Zahlenbeispiel wähle z=i.

Dann gilt:

[mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} \bruch{1}{z-n} [/mm] =  [mm] \summe_{n=-\infty}^{0} \bruch{1}{i-n}+ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{i-n}= (Fred)\bruch{1}{i}+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{i+n}+ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{i-n}= \bruch{1}{i}+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{i-n}+\bruch{1}{i+n}= \bruch{1}{i}+\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2i}{i^2-n^2}=\bruch{1}{i} [/mm] -2i [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+n^2} [/mm]

mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{1+n^2}<\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}, [/mm] und das konvergiert.

Das für andere komplexe Zahlen zu zeigen, ist etwas aufwändiger, funktioniert aber ähnlich.


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